В дифференциальной геометрии , прямой образ является линейной аппроксимации гладких отображений на касательных пространствах. Предположим, что φ : M → N - гладкое отображение между гладкими многообразиями ; то дифференциальное из ф,, В точке х , в некотором смысле, лучший линейном приближении по ф вблизи х . Его можно рассматривать как обобщение полной производной обычного исчисления. Явное, дифференциал представляет собой линейное отображение из касательного пространства из М при х в касательном пространстве N при ф ( х ),. Следовательно , он может быть использован , чтобы толкать касательные векторы на М вперед к касательным векторам на N . Дифференциал отображения ф называется также, различными авторами, по производной или полной производной от ф .
Мотивация
Пусть φ : U → V - гладкое отображение из открытого подмножества U воткрытому подмножеству V в. Для любой точки х в U , то якобиан из ф при х (по отношению к стандартным координатам) является матрица представление полной производной от ф при х , который представляет собой линейное отображение
Мы хотим обобщить это на случай , что φ является гладкой функцией от любых гладких многообразий M и N .
Дифференциал гладкого отображения
Пусть φ : M → N - гладкое отображение гладких многообразий. Учитывая некоторые х ∈ M , то дифференциал из ф на х есть линейное отображение
из касательного пространства из М при х в касательном пространстве N при ф ( х ). Применение d ^ х к касательному вектору Х иногда называют прямым образом из X с помощью ф . Точное определение этого направления зависит от определения, которое используется для касательных векторов (различные определения см. В касательном пространстве ).
Если касательные векторы определены как классы эквивалентности кривых через x, то дифференциал определяется выражением
Здесь γ - кривая в M с γ (0) = x иявляется касательным вектором к кривой γ в точке 0. Другими словами, прямое направление касательного вектора к кривой γ в точке 0 является касательным вектором к кривой при 0.
В качестве альтернативы, если касательные векторы определены как производные, действующие на гладкие вещественнозначные функции, то дифференциал задается формулой
для произвольной функции и произвольный вывод в точке ( вывод определяется как линейное отображение который удовлетворяет правилу Лейбница , см .: определение касательного пространства через дифференцирования ). По определению, продвижение в и поэтому само по себе является производным, .
После выбора двух диаграмм вокруг x и вокруг φ ( x ), φ локально определяется гладким отображением
между открытыми наборами а также , а dφ x имеет представление (в точке x )
в обозначении суммирования Эйнштейна , где частные производные вычисляются в точке в U, соответствующей x на данной диаграмме.
Продолжение по линейности дает следующую матрицу
Таким образом, дифференциал - это линейное преобразование между касательными пространствами, связанное с гладким отображением φ в каждой точке. Следовательно, в некоторых выбранных локальных координатах он представлен матрицей Якоби соответствующего гладкого отображения из к . В общем случае дифференциал не обязательно должен быть обратимым. Если φ является локальным диффеоморфизмом , то прямым образом при й обратят и обратный дает откат от Т ф ( х ) N .
Дифференциал часто выражается с использованием множества других обозначений, таких как
Из определения следует, что дифференциал композиции - это композиция дифференциалов (т. Е. Функториальное поведение). Это цепное правило для гладких карт.
Кроме того, дифференциал локального диффеоморфизма является линейным изоморфизмом касательных пространств.
Дифференциал на касательном расслоении
Дифференциал гладкого отображения φ очевидным образом индуцирует отображение расслоения (фактически гомоморфизм векторного расслоения ) из касательного расслоения к M в касательное расслоение к N , обозначаемое dφ или φ ∗ , которое укладывается в следующее коммутативная диаграмма :
где π M и π N обозначают проекции расслоений касательных расслоений к M и N соответственно.
индуцирует отображение расслоения из TM в обратное расслоение φ ∗ TN над M через
где а также Последнее отображение может в свою очередь , можно рассматривать в качестве секции из векторного расслоения Нот ( ТМ , φ * TN ) над M . Отображение расслоения dφ также обозначается Tφ и называется касательным отображением . Таким образом, T - функтор .
Продвижение векторных полей
Учитывая гладкое отображение ф : M → N и векторное поле X на М , то не всегда возможно определить прямой образ из X на ф с некоторым векторным полем Y на N . Например, если отображение φ не является сюръективным, нет естественного способа определить такой вывод вне образа φ . Кроме того, если φ не является инъективным, в данной точке может быть более одного варианта продвижения вперед. Тем не менее, можно уточнить эту трудность, используя понятие векторного поля вдоль карты.
Раздел из ф * TN над М называется векторное поле вдоль ф . Например, если M - подмногообразие в N, а φ - включение, то векторное поле вдоль φ - это просто сечение касательного расслоения к N вдоль M ; в частности, векторное поле на M определяет такое сечение посредством включения TM внутрь TN . Эта идея обобщается на произвольные гладкие отображения.
Предположим, что X - векторное поле на M , т. Е. Сечение TM . Потом,выходы, в указанном выше смысле, то прямой образ φ * Х , который представляет собой векторное поле вдоль ф , то есть, часть ф * TN над M .
Любое векторное поле Y на N определяет обратное сечение φ ∗ Y поля φ ∗ TN с ( φ ∗ Y ) x = Y φ ( x ) . Векторное поле X на M и векторное поле Y на N называются φ- связанными, если φ ∗ X = φ ∗ Y как векторные поля вдоль φ . Другими словами, для всех х в М , d ^ х ( X ) = Y ф ( х ) .
В некоторых ситуациях, учитывая Й векторное поле на М , существует единственное векторное поле Y на N , который является φ о связанном с Й . В частности, это верно, когда φ - диффеоморфизм . В этом случае pushforward определяет векторное поле Y на N , задаваемое формулой
Более общая ситуация возникает, когда φ сюръективен (например, проекция расслоения расслоения). Тогда векторное поле X на М называется проектируемым , если для всех у в N , d ^ х ( Х х ) не зависит от выбора х в φ -1 ({ у }). Это в точности условие, которое гарантирует, что прямая передача X как векторного поля на N правильно определена.
Смотрите также
Рекомендации
- Ли, Джон М. (2003). Введение в гладкие многообразия . Тексты для выпускников Springer по математике. 218 .
- Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2. См. Раздел 1.6 .
- Авраам, Ральф ; Марсден, Джеррольд Э. (1978). Основы механики . Лондон: Бенджамин-Каммингс. ISBN 0-8053-0102-X. См. Разделы 1.7 и 2.3 .