В математике , А векторное расслоение является топологической конструкцией , которая делает точное представление о семье векторных пространств спараметрированной другого пространства X (например , X может быть топологическим пространство , а коллектор , или алгебраическое многообразие ): для каждой точку х из пространство X мы связываем (или «присоединяем») к векторному пространству V ( x ) таким образом, что эти векторные пространства подходят друг к другу и образуют другое пространство того же типа, что и X(например , топологическое пространство, многообразие, или алгебраическое многообразие), который затем называется векторное расслоение над X .
Простейшим примером является случай, когда семейство векторных пространств является постоянным, т. Е. Существует фиксированное векторное пространство V такое, что V ( x ) = V для всех x в X : в этом случае существует копия V для каждого x в X , и эти копии подходят друг к другу , чтобы сформировать вектор расслоение X × V над X . Такие векторные расслоения называются тривиальными . Более сложный (и прототип) класс примеров являются касательными расслоениями на гладких (или дифференцируемых) многообразий: к каждой точке такого многообразия мы присоединяем касательное пространство к многообразию в этой точке. Касательные расслоения, вообще говоря, не являются тривиальными расслоениями. Например, касательное расслоение сферы нетривиально по теореме о волосатом шаре . Вообще говоря, многообразие параллелизуемым тогда и только тогда, когда его касательное расслоение тривиально.
Однако векторные расслоения почти всегда должны быть локально тривиальными , что означает, что они являются примерами расслоений . Кроме того, векторные пространства обычно должны быть над действительными или комплексными числами, и в этом случае векторное расслоение называется действительным или комплексным векторным расслоением (соответственно). Сложные векторные расслоения можно рассматривать как реальные векторные расслоения с дополнительной структурой. В дальнейшем мы сосредоточимся на вещественных векторных расслоениях в категории топологических пространств .
Определение и первые следствия [ править ]
Вещественное векторное расслоение состоит из:
- топологические пространства X ( базовое пространство ) и E ( общее пространство )
- непрерывный сюръекция π: E → X ( расслоение проекция )
- для любого x в X структура конечномерного вещественного векторного пространства на слое π −1 ({ x })
где выполняется следующее условие совместности: для каждой точки р в X существует открытая окрестность U ⊆ X из р , А натуральное число к , и гомеоморфизм
такие , что для всех х ∈ U ,
- для всех векторов v в R k , и
- отображение является линейным изоморфизмом между векторными пространствами R k и π −1 ({ x }).
Открытая окрестность U вместе с гомеоморфизмом называется локальной тривиализацией векторного расслоения. Местная тривиализация показывает , что локально отображение я «выглядит как» проекция U × R к на U .
Каждый слой π −1 ({ x }) является конечномерным вещественным векторным пространством и, следовательно, имеет размерность k x . Местные тривиализации показывают , что функция х ↦ к й является локально постоянной , и, следовательно , постоянен на каждый компонент связности из X . Если k x равно константе k на всем X , то k называется рангом векторного расслоения, а E называется векторным расслоением ранга k. Часто определение векторного расслоения включает в себя то, что ранг определен правильно, так что k x постоянно. Векторные расслоения ранга 1 называются линейными расслоениями , тогда как расслоения ранга 2 реже называют плоскими.
Декартово произведение X × R K , оснащенный проекции X × R K → X , называется тривиальное расслоение ранга к над X .
Функции перехода [ править ]
Для векторного расслоения E → X ранга k и пары окрестностей U и V, над которыми расслоение тривиализуется с помощью
составная функция
хорошо определена на перекрытии и удовлетворяет
для некоторой GL ( k ) -значной функции
Они называются функциями перехода (или преобразованиями координат ) векторного расслоения.
Набор функций перехода образует коцикл Чеха в том смысле, что
для всех U , V , W, над которыми расслоение тривиально удовлетворяет . Таким образом, данные ( E , X , π, R k ) определяют расслоение ; дополнительные данные g UV определяют структурную группу GL ( k ), в которой действие на волокно является стандартным действием GL ( k ).
Наоборот, заданному расслоению ( E , X , π, R k ) с коциклом GL ( k ), действующим стандартным образом на слое R k , соответствует векторное расслоение. Иногда это используется как определение векторного расслоения. [ необходима цитата ]
Морфизмы векторных расслоений [ править ]
Морфизм из векторного расслоения я 1 : Е 1 → X 1 для векторного расслоения π 2 : Е 2 → Х 2 задается парой непрерывных отображений ф : E 1 → E 2 и г : Х 1 → Х 2 , такие что
- g ∘ π 1 = π 2 ∘ f
- для каждого x в X 1 отображение π 1 −1 ({ x }) → π 2 −1 ({ g ( x )}), индуцированное f, является линейным отображением между векторными пространствами.
Обратите внимание, что g определяется f (поскольку π 1 сюръективно), и тогда говорят , что f покрывает g .
Класс всех векторных расслоений вместе с морфизмами расслоений образует категорию . Ограничиваясь векторными расслоениями, для которых пространства являются многообразиями (а проекции расслоений являются гладкими отображениями) и морфизмами гладких расслоений, мы получаем категорию гладких векторных расслоений. Морфизмы векторных расслоений являются частным случаем понятия отображения расслоений между расслоениями , и их также часто называют гомоморфизмами (векторных) расслоений .
Гомоморфизм расслоения от E 1 к E 2 с обратным, который также является гомоморфизмом расслоения (от E 2 к E 1 ), называется изоморфизмом расслоений (векторов) , и тогда E 1 и E 2 называются изоморфными векторными расслоениями. Изоморфизм (ранг к ) векторному расслоение Е над X с тривиальным расслоением (ранг к над X ) называется тривиализацией из Е и Етогда называется тривиальным (или тривиализуемым ). Определение векторного расслоения показывает, что любое векторное расслоение локально тривиально .
Можно также рассмотреть категорию всех векторных расслоений над фиксированной базовой пространства X . Как морфизмов в этой категории мы возьмем те морфизмы векторных расслоений, отображение на базовом пространстве является тождественным отображением на X . То есть морфизмы расслоения, для которых коммутирует следующая диаграмма :
(Обратите внимание, что эта категория не абелева ; ядро морфизма векторных расслоений, вообще говоря, не является векторным расслоением каким-либо естественным образом.)
Морфизм векторного расслоения между векторными расслоениями π 1 : E 1 → X 1 и π 2 : E 2 → X 2, покрывающими отображение g из X 1 в X 2, также можно рассматривать как морфизм векторного расслоения над X 1 из E 1 в индуцированное расслоение г * E 2 .
Сечения и локально свободные пучки [ править ]
Учитывая векторное расслоение π: E → X и открытое подмножество U в X , мы можем рассматривать сечения π на U , т. Е. Непрерывные функции s : U → E, где композиция π∘ s такова, что (π∘ s ) ( u ) = U для всех U в U . По сути, секция непрерывно назначает каждой точке U вектор из присоединенного векторного пространства. Например, сечения касательного расслоения дифференциального многообразия - это не что иное, каквекторные поля на этом многообразии.
Пусть F ( U ) множество всех разделов на U . F ( U ) всегда содержит по крайней мере один элемент, а именно нулевое сечение : функцию s, которая отображает каждый элемент x из U в нулевой элемент векторного пространства π −1 ({ x }). При поточечном сложении и скалярном умножении сечений F ( U ) становится реальным векторным пространством. Совокупность этих векторных пространств является пучок векторных пространств на X .
Если s - элемент F ( U ) и α: U → R - непрерывное отображение, то α s (поточечное скалярное умножение) принадлежит F ( U ). Мы видим , что F ( U ) представляет собой модуль над кольцом непрерывных вещественных функций на U . Более того, если O X обозначает структурный пучок непрерывных вещественнозначных функций на X , то F становится пучком O X -модулей.
Не каждый пучок O X -модулей возникает таким образом из векторного расслоения: только локально свободные . (Причина: локально мы ищем сечения проекции U × R k → U ; это в точности непрерывные функции U → R k , и такая функция является k -набором непрерывных функций U → R. )
Даже больше: категория вещественных векторных расслоений на X является эквивалентом в категории локально свободных и конечно порожденных пучков O X -модулей. Таким образом, мы можем рассматривать категорию вещественных векторных расслоений на X как находящуюся внутри категории пучков O X -модулей ; эта последняя категория абелева, поэтому здесь мы можем вычислять ядра и коядра морфизмов векторных расслоений.
Векторное расслоение ранга n тривиально тогда и только тогда, когда оно имеет n линейно независимых глобальных секций.
Операции с векторными связками [ править ]
Большинство операций с векторными пространствами можно распространить на векторные расслоения, выполняя операцию с векторным пространством послойно .
Например, если E - векторное расслоение над X , то существует расслоение E * над X , называемое дуальным расслоением , слой которого в точке x ∈ X является двойственным векторным пространством ( E x ) *. Формально E * можно определить как множество пар ( x , φ), где x ∈ X и φ ∈ ( E x ) *. Двойственное расслоение локально тривиально, потому что двойственное пространство, обратное к локальной тривиализации E, является локальной тривиализацией E *: ключевым моментом здесь является то, что операция взятия двойственного векторного пространства является функториальной .
Существует множество функториальных операций, которые могут быть выполнены с парами векторных пространств (над одним и тем же полем), и они напрямую распространяются на пары векторных расслоений E , F на X (над данным полем). Ниже приведены несколько примеров.
- Сумма Уитни (названная по Hassler Уитни ) или прямой пучок суммы из Е и F является векторным расслоением E ⊕ F над X , слой которого над й является прямой суммой Е х ⊕ Р х векторных пространств Е х и Р х .
- Тензорное произведение расслоения E ⊗ F определяется таким же образом, используя послойное тензорное произведение векторных пространств.
- Хомы-расслоение Хомы ( Е , F ) является векторным расслоением, слой которого на й есть пространство линейных отображений из Х х с F х (которое часто обозначаются Хомы ( Е х , Р х ) или L ( Е х , F х )). Хом-пучок так называемый (и полезно) , потому что существует взаимно однозначное соответствие между вектором пучка гомоморфизмов из E в F над X и сечений Hom ( E , F ) над X .
- Основываясь на предыдущем примере, учитывая сечение s расслоения эндоморфизмов Hom ( E , E ) и функцию f : X → R , можно построить собственное расслоение , взяв слой над точкой x ∈ X как f ( x ) - собственное подпространство линейного отображения s ( x ): E x → E x . Хотя эта конструкция естественна, если не позаботиться о ней, результирующий объект не будет иметь локальной тривиализации. Рассмотрим случай s- нулевое сечение, а f - изолированные нули. Слой над этими нулями в получившемся «собственном расслоении» будет изоморфен слою над ними в E , в то время как везде слой является тривиальным 0-мерным векторным пространством.
- Двойные векторное расслоение Е * является Хомы Хомы расслоения ( Е , Р × Х ) из пучка гомоморфизмов Е и тривиального расслоение R × X . Существует канонический изоморфизм векторного расслоения Hom ( E , F ) = E * ⊗ F .
Каждая из этих операций представляет собой частный пример общей особенностью пучков: что многие операции , которые могут быть выполнены на категории векторных пространств также может быть выполнена на категории векторных расслоений в функторном образом. Это уточняется на языке гладких функторов . Операцией иного характера является построение обратного пучка . Учитывая векторное расслоение E → Y и непрерывное отображение F : X → Y можно «тянуть обратно» E в расслоении F * E над X . Слой над точкой x ∈ Xпо существу только слой над ф ( х ) ∈ Y . Следовательно, Уитни суммирования Е ⊕ F может быть определен как индуцированное расслоение диагонали карты от Й до Х × Х , где расслоение над Х × Х является Е × F .
Замечание : Пусть X - компактное пространство. Любое векторное расслоение E над X является прямым слагаемым тривиального расслоения; т.е. существует такое расслоение E ' , что E ⊕ E ' тривиально. Это не удается, если X не компактно: например, тавтологическое линейное расслоение над бесконечным вещественным проективным пространством не обладает этим свойством. [1]
Дополнительные структуры и обобщения [ править ]
Векторным расслоениям часто придают большую структуру. Например, векторные расслоения могут быть снабжены метрикой векторного расслоения . Обычно требуется, чтобы эта метрика была положительно определенной , и в этом случае каждый слой E становится евклидовым пространством. Векторное расслоение со сложной структурой соответствует сложному векторному расслоению , которое также можно получить, заменив вещественные векторные пространства в определении на комплексные и требуя, чтобы все отображения были комплексно-линейными в слоях. В более общем смысле, можно обычно понимать дополнительную структуру, налагаемую на векторное расслоение, в терминах результирующего сокращения структурной группы расслоения . Векторные расслоения в более общем смыслетакже могут использоваться топологические поля .
Если вместо конечномерного векторного пространства взять слой F за банахово пространство, то получится банахово расслоение . [2] В частности, необходимо потребовать, чтобы локальные тривиализации были изоморфизмами банаховых пространств (а не просто линейными изоморфизмами) на каждом из слоев и, кроме того, чтобы переходы
являются непрерывными отображениями банаховых многообразий . В соответствующей теории для расслоений C p требуется, чтобы все отображения были C p .
Векторные расслоения - это специальные расслоения , слои которых являются векторными пространствами, а коцикл соответствует структуре векторного пространства. Могут быть созданы более общие пучки волокон, в которых волокно может иметь другие структуры; например, пучки сфер расслоены сферами.
Гладкие векторные пучки [ править ]
Векторное расслоение ( E , p , M ) является гладким , если E и M - гладкие многообразия , p: E → M - гладкое отображение и локальные тривиализации являются диффеоморфизмами . В зависимости от требуемой степени гладкости существуют различные соответствующие понятия C p- расслоений, бесконечно дифференцируемых C ∞ -расслоений и вещественно-аналитических C ω -расслоений. В этом разделе мы сконцентрируемся на C ∞ -расслоениях. Самый важный примерС ∞ -векторного расслоением является касательным расслоением ( ТМ , π ТМ , М ) из C ∞ -многообразия M .
C ∞ -векторных расслоения ( Е , р , М ) имеет очень важное свойство не разделяет более общими C ∞ -fibre пучков. А именно, касательное пространство T v ( E x ) при любом v ∈ E x можно естественным образом отождествить с самим слоем E x . Эта идентификация достигается за счет вертикального подъема vl v : E x → T v ( E x ), определяемого как
Вертикальный подъем также можно рассматривать как естественный изоморфизм расслоений C ∞- векторов p * E → VE , где ( p * E , p * p , E ) - расслоение обратного движения ( E , p , M ) над E через p : E → M , а VE : = Ker ( p * ) ⊂ TE - вертикальное касательное расслоение , естественное векторное подрасслоение касательного расслоения ( TE , π TE , E) От общего пространства Е .
Тотальное пространство E любого гладкого векторного расслоения содержит естественное векторное поле V v : = vl v v , известное как каноническое векторное поле . Более формально V является гладким сечением ( TE , π TE , E ), и его также можно определить как бесконечно малый генератор действия группы Ли ( t , v ) ↦ e t v, заданный послойным скалярным умножением. Каноническое векторное поле V полностью характеризует структуру гладкого векторного расслоения следующим образом. В качестве подготовки обратите внимание, что когда X- гладкое векторное поле на гладком многообразии M и x ∈ M такое, что X x = 0, линейное отображение
не зависит от выбора линейной ковариантны производной ∇ на M . Каноническое векторное поле V на E удовлетворяет аксиомам
- Поток ( t , v ) → Φ t V ( v ) в V определен глобально.
- Для каждого об ∈ V существует единственное Пт т ∞ → Ф т V ( V ) ∈ V .
- C v ( V ) ∘ C v ( V ) = C v ( V ), если V v = 0.
- Нулевое множество V является гладким подмногообразием E , коразмерность которого равна рангу C v ( V ).
И наоборот, если Е любое гладкое многообразие, V является гладким векторным полем на Е , удовлетворяющее 1-4, то существует единственная векторное расслоение структура на Е , каноническое векторное поле V .
Для любого гладкого векторного расслоения ( E , p , M ) тотальное пространство TE его касательного расслоения ( TE , π TE , E ) имеет естественную структуру вторичного векторного расслоения ( TE , p * , TM ), где p * - толчок -forward канонической проекции р : E → M . Операции векторного расслоения в этой вторичной структуре векторного расслоения - это прямая передача + * : T ( E × E ) →TE и λ * : TE → TE оригинального дополнение +: E × E → E и скалярное умножение λ: E → E .
K-теория [ править ]
К-теории групп, К ( Х ) , компактного хаусдорфова топологического пространства определяется как абелевой группы , порожденной классами изоморфизма [ Е ] из комплексных векторных расслоений по модулю отношения , что всякий раз , когда мы имеем точную последовательность
тогда
в топологической K-теории . KO-теория - это версия этой конструкции, которая рассматривает вещественные векторные расслоения. Также может быть определена K-теория с компактными носителями и группы высшей K-теории.
Известная теорема периодичности из Рауля Ботт утверждает , что К-теория любого пространства X изоморфно , что из S 2 X , двойной суспензии X .
В алгебраической геометрии рассматриваются группы K-теории, состоящие из когерентных пучков на схеме X , а также группы K-теории векторных расслоений на схеме с указанным выше отношением эквивалентности. Эти две конструкции идентичны при условии, что лежащая в основе схема гладкая .
См. Также [ править ]
Общие понятия [ править ]
- Грассманиан : классифицирующие пространства для векторного расслоения, среди которых проективные пространства для линейных расслоений
- Характеристический класс
- Принцип разделения
- Стабильный набор
Топология и дифференциальная геометрия [ править ]
- Калибровочная теория : общее изучение связности векторных расслоений и главных расслоений и их отношения к физике.
- Связь : понятие, необходимое для различения участков векторных расслоений.
Алгебраическая и аналитическая геометрия [ править ]
- Алгебраическое векторное расслоение
- Группа Пикард
- Голоморфное векторное расслоение
Заметки [ править ]
- ^ Hatcher 2003 , Пример 3.6.
- ^ Lang 1995 .
Источники [ править ]
- Авраам, Ральф Х .; Марсден, Джеррольд Э. (1978), Основы механики , Лондон: Бенджамин-Каммингс, см. Раздел 1.5, ISBN 978-0-8053-0102-1.
- Хэтчер, Аллен (2003), Vector Bundles & K-Theory (2.0 ed.).
- Йост, Юрген (2002), Риманова геометрия и геометрический анализ (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42627-1, см. раздел 1.5.
- Ланг, Серж (1995), Дифференциальные и римановы многообразия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94338-1.
- Ли, Джеффри М. (2009), Многообразия и дифференциальная геометрия , Аспирантура по математике , Vol. 107, Провиденс: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4815-9
|volume=
has extra text (help). - Ли, Джон М. (2003), Введение в гладкие многообразия , Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-95448-1 см. главу 5
- Рубей, Елена (2014), Алгебраическая геометрия, краткий словарь , Берлин / Бостон: Вальтер Де Грюйтер, ISBN 978-3-11-031622-3.
Внешние ссылки [ править ]
- "Векторное расслоение" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Почему полезно изучать векторные расслоения? на MathOverflow
- Почему полезно классифицировать векторные расслоения пространства?