Теория пучка Эйлера – Бернулли

Теория балок Эйлера-Бернулли (также известная как инженерная теория балок или классическая теория балок ) ^[1] представляет собой упрощение линейной теории упругости , которая обеспечивает средства расчета характеристик несущей способности и прогиба балок . Он охватывает случай, соответствующий малым прогибам балки , на которую действуют только боковые нагрузки. Таким образом, игнорируя эффекты деформации сдвига и инерции вращения, это частный случай теории балки Тимошенко . Впервые он был провозглашен примерно в 1750 году ^[2] , но не применялся в больших масштабах до развитияЭйфелева башня и колесо обозрения в конце 19 века. После этих успешных демонстраций он быстро стал краеугольным камнем инженерии и фактором Второй промышленной революции .

Были разработаны дополнительные математические модели , такие как теория пластин , но простота теории балок делает ее важным инструментом в науках, особенно в строительстве и машиностроении .

Преобладает мнение, что Галилео Галилей предпринял первые попытки разработать теорию лучей, но недавние исследования утверждают, что Леонардо да Винчи был первым, кто сделал важные наблюдения. Да Винчи не хватало закона Гука и исчисления , чтобы завершить теорию, в то время как Галилей сдерживался сделанным им неверным предположением. ^[3]

Луч Бернулли назван в честь Якоба Бернулли , который сделал важные открытия. Леонард Эйлер и Даниэль Бернулли были первыми, кто составил полезную теорию примерно в 1750 году. ^[4]

Уравнение Эйлера–Бернулли описывает зависимость между прогибом балки и приложенной нагрузкой: ^[5]

Кривая описывает отклонение луча в направлении в некоторой точке (напомним, что луч моделируется как одномерный объект). - распределенная нагрузка, другими словами сила на единицу длины (аналогично давлению , являющемуся силой на единицу площади); это может быть функция , , или других переменных. — модуль упругости , а — второй момент площади поперечного сечения балки. должен рассчитываться относительно оси, которая перпендикулярна приложенной нагрузке и проходит через центр тяжести поперечного сечения. ^{[N 1]} В явном виде для балки, ось которой ориентирована вдоль ${\ Displaystyle ш (х)}$ ${\ Displaystyle г}$ ${\ Displaystyle х}$ ${\ Displaystyle д}$ ${\ Displaystyle х}$ ${\ Displaystyle ш}$ ${\ Displaystyle Е}$ ${\ Displaystyle я}$ ${\ Displaystyle я}$ ${\ Displaystyle х}$ при нагрузке вдоль поперечное сечение балки находится в плоскости, а соответствующий второй момент площади равен ${\ Displaystyle г}$ ${\ Displaystyle yz}$

Эта вибрирующая стеклянная балка может быть смоделирована как консольная балка с ускорением, переменной линейной плотностью, переменным модулем сечения, некоторой диссипацией, упругой нагрузкой на конце и, возможно, точечной массой на свободном конце.