Теория пластин

В механике сплошных сред , теории пластин являются математическими описаниями механики плоских пластин , опирающимися на теории пучков . Плиты определяются как плоские конструктивные элементы с небольшой толщиной по сравнению с плоскими размерами. ^[1] Типичное отношение толщины к ширине пластинчатой ​​конструкции составляет менее 0,1. ^{[ необходимая цитата ]} Теория пластин использует это несоответствие в масштабе длины, чтобы свести полную трехмерную проблему механики твердого тела к двумерной задаче. Целью теории пластин является расчет деформации и напряжений в плите, подверженной нагрузкам.

Из многочисленных теорий о пластинах, разработанных с конца 19 века, две получили широкое признание и используются в инженерии. Это

• Кирхгофа - Любовь теории пластин (классическая теория пластины)
• Теория пластин Уфлянда-Миндлина (теория пластин со сдвигом первого порядка)

Теория Кирхгофа – Лява для тонких пластин [ править ]

Примечание: ниже используется соглашение Эйнштейна о суммировании повторяющихся индексов.

Кирхгофа - Любовь теория является продолжением теории балок Эйлера-Бернулли для тонких пластин. Теория была развита в 1888 году Лавом ^[2] с использованием предположений, предложенных Кирхгофом. Предполагается, что плоскость средней поверхности может использоваться для представления трехмерной пластины в двухмерной форме.

В этой теории сделаны следующие кинематические допущения: ^[3]

• прямые линии, перпендикулярные средней поверхности, остаются прямыми после деформации
• прямые линии, перпендикулярные средней поверхности, остаются нормальными к средней поверхности после деформации
• толщина пластины не меняется при деформации.

Поле смещения [ править ]

Гипотеза Кирхгофа предполагает, что поле смещения имеет вид

где и - декартовы координаты на средней поверхности недеформированной пластины, - координата направления толщины, - смещения средней поверхности в плоскости, и - смещение средней поверхности в направлении.${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$${\ displaystyle x_ {3}}$${\ displaystyle u_ {1} ^ {0}, u_ {2} ^ {0}}$${\ Displaystyle ш ^ {0}}$${\ displaystyle x_ {3}}$

Если - углы поворота нормали к средней поверхности, то в теории Кирхгофа – Лява${\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha} = w _ {, \ alpha} ^ {0} \ ,.}$

Отношения деформация-смещение [ править ]

Для ситуации, когда деформации в пластине бесконечно малы и повороты нормалей средней поверхности меньше 10 ° , соотношения деформации-смещения имеют вид

${\ displaystyle {\ begin {align} \ varepsilon _ {\ alpha \ beta} & = {\ tfrac {1} {2}} (u _ {\ alpha, \ beta} ^ {0} + u _ {\ beta, \ альфа} ^ {0}) - x_ {3} ~ w _ {, \ alpha \ beta} ^ {0} \\\ varepsilon _ {\ alpha 3} & = - w _ {, \ alpha} ^ {0} + w_ {, \ alpha} ^ {0} = 0 \\\ varepsilon _ {33} & = 0 \ end {align}}}$

Следовательно, ненулевые деформации возникают только в плоскостях.

Если повороты нормалей к средней поверхности находятся в диапазоне от 10 ° до 15 °, зависимости деформации от смещения могут быть аппроксимированы с использованием деформаций фон Кармана . Тогда кинематические предположения теории Кирхгофа-Лява приводят к следующим соотношениям деформация-перемещение

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}~w_{,\beta }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

Эта теория нелинейна из-за квадратичных членов в соотношениях деформация-перемещение.

Уравнения равновесия [ править ]

Уравнения равновесия пластины можно вывести из принципа виртуальной работы . Для ситуации, когда деформации и повороты пластины малы, уравнения равновесия ненагруженной пластины имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }&=0\end{aligned}}}$

где равнодействующие напряжения и равнодействующие момента напряжения определяются как

${\displaystyle N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}}$

а толщина пластины составляет . Величины - это напряжения.${\displaystyle 2h}$${\displaystyle \sigma _{\alpha \beta }}$

Если пластина нагружена внешней распределенной нагрузкой , перпендикулярной средней поверхности и направленной в положительном направлении, принцип виртуальной работы приводит к уравнениям равновесия${\displaystyle q(x)}$${\displaystyle x_{3}}$

Для умеренных вращений соотношения деформация-перемещение принимают форму фон Кармана, а уравнения равновесия могут быть выражены как

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+[N_{\alpha \beta }~w_{,\beta }^{0}]_{,\alpha }-q&=0\end{aligned}}}$

Граничные условия [ править ]

Граничные условия, необходимые для решения уравнений равновесия теории пластин, могут быть получены из граничных условий в принципе виртуальной работы.

Для малых деформаций и малых вращений граничные условия таковы:

${\displaystyle {\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\\n_{\beta }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad w_{,\alpha }^{0}\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что величина представляет собой эффективную силу сдвига.${\displaystyle n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }}$

Отношения напряжения и деформации [ править ]

Соотношения между напряжениями и деформациями для линейной упругой пластины Кирхгофа имеют вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$

Поскольку и не фигурируют в уравнениях равновесия, неявно предполагается, что эти величины не влияют на баланс импульса и ими пренебрегают.${\displaystyle \sigma _{\alpha 3}}$${\displaystyle \sigma _{33}}$

Удобнее работать с равнодействующими напряжений и моментов, которые входят в уравнения равновесия. Они связаны с перемещениями по

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}\,.}$

В экстенсиональных жесткостях являются величинами

${\displaystyle A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}}$

В гибочные жесткостей (называемые также жесткость при изгибе ) являются величинами

${\displaystyle D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}}$

Изотропная и однородная пластина Кирхгофа [ править ]

Для изотропной и однородной пластины зависимости напряжение – деформация имеют вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.}$

Моменты, соответствующие этим напряжениям, равны

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}}$

Чистый изгиб [ править ]

Смещения и равны нулю в условиях чистого изгиба . Для изотропной однородной пластины при чистом изгибе основное уравнение имеет вид${\displaystyle u_{1}^{0}}$${\displaystyle u_{2}^{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{2}^{4}}}=0\quad {\text{where}}\quad w:=w^{0}\,.}$

В индексной записи

${\displaystyle w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0\,.}$

В прямых тензорных обозначениях определяющее уравнение имеет вид

Поперечная нагрузка [ править ]

Для поперечно нагруженной пластины без осевых деформаций определяющее уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{2}^{4}}}=-{\frac {q}{D}}}$

где

${\displaystyle D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}$

В индексной записи

${\displaystyle w_{,1111}^{0}+2\,w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=-{\frac {q}{D}}}$

и в прямой записи

В цилиндрических координатах основное уравнение имеет вид${\displaystyle (r,\theta ,z)}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left[r{\cfrac {d}{dr}}\left\{{\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\right\}\right]=-{\frac {q}{D}}\,.}$

Ортотропная и однородная пластина Кирхгофа [ править ]

Для ортотропной пластины

${\displaystyle {\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {1}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}\,.}$

Следовательно,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {2h}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle {\begin{bmatrix}D_{11}&D_{12}&D_{13}\\D_{21}&D_{22}&D_{23}\\D_{31}&D_{32}&D_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {2h^{3}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}\,.}$

Поперечная нагрузка [ править ]

Основное уравнение ортотропной пластины Кирхгофа, нагруженной поперечно распределенной нагрузкой на единицу площади, имеет вид${\displaystyle q}$

${\displaystyle D_{x}w_{,1111}^{0}+2D_{xy}w_{,1122}^{0}+D_{y}w_{,2222}^{0}=-q}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{x}&=D_{11}={\frac {2h^{3}E_{1}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\\D_{y}&=D_{22}={\frac {2h^{3}E_{2}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\\D_{xy}&=D_{33}+{\tfrac {1}{2}}(\nu _{21}D_{11}+\nu _{12}D_{22})=D_{33}+\nu _{21}D_{11}={\frac {4h^{3}G_{12}}{3}}+{\frac {2h^{3}\nu _{21}E_{1}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\,.\end{aligned}}}$

Динамика тонких пластин Кирхгофа [ править ]

Динамическая теория пластин определяет распространение волн в пластинах, а также изучение стоячих волн и режимов колебаний.

Управляющие уравнения [ править ]

Основные уравнения динамики пластины Кирхгофа – Лява:

где, для пластины с плотностью ,${\displaystyle \rho =\rho (x)}$

${\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2~\rho ~h~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}~\rho ~h^{3}}$

и

${\displaystyle {\dot {u}}_{i}={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}}$

На рисунках ниже показаны некоторые формы колебаний круглой пластины.

• режим k = 0, p = 1

• режим k = 1, p = 2

Изотропные плиты [ править ]

Определяющие уравнения значительно упрощаются для изотропных и однородных пластин, для которых деформациями в плоскости можно пренебречь, и имеют вид

${\displaystyle D\,\left({\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{2}^{4}}}\right)=-q(x_{1},x_{2},t)-2\rho h\,{\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial t^{2}}}\,.}$

где - жесткость пластины на изгиб. Для однородной пластины толщины ,${\displaystyle D}$${\displaystyle 2h}$

${\displaystyle D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}$

В прямой записи

Теория Уфлянд-Миндлина для толстых пластин [ править ]

Примечание: ниже используется соглашение Эйнштейна о суммировании повторяющихся индексов.

В теории толстых пластин или теории Якова С. Уфлянда ^[4] (подробности см. В справочнике Элишакова ^[5] ), Раймонда Миндлина ^[6] и Эрика Рейсснера нормаль к средней поверхности остается прямой. но не обязательно перпендикулярно средней поверхности. Если и обозначить углы, которые средняя поверхность образует с осью, то${\displaystyle \varphi _{1}}$${\displaystyle \varphi _{2}}$${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle \varphi _{1}\neq w_{,1}~;~~\varphi _{2}\neq w_{,2}}$

Тогда из гипотезы Миндлина – Рейсснера следует, что

Отношения деформация-смещение [ править ]

В зависимости от величины вращения нормалей пластины из основных кинематических допущений могут быть получены два разных приближения для деформаций.

Для малых деформаций и малых вращений соотношения деформация-перемещение для пластин Миндлина – Рейсснера имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-{\frac {x_{3}}{2}}~(\varphi _{\alpha ,\beta }+\varphi _{\beta ,\alpha })\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\cfrac {1}{2}}\left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

В этой теории не игнорируется деформация сдвига и, следовательно, напряжение сдвига по толщине пластины. Однако деформация сдвига постоянна по толщине пластины. Это не может быть точным, поскольку известно, что напряжение сдвига параболическое даже для пластин простой формы. Чтобы учесть неточность деформации сдвига, применяется поправочный коэффициент сдвига ( ), так что правильное количество внутренней энергии предсказывается теорией. Затем${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \varepsilon _{\alpha 3}={\cfrac {1}{2}}~\kappa ~\left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)}$

Уравнения равновесия [ править ]

Уравнения равновесия имеют несколько разные формы в зависимости от величины ожидаемого изгиба пластины. Для ситуации, когда деформации и повороты пластины малы, уравнения равновесия пластины Миндлина – Рейсснера имеют вид

Результирующие поперечные силы в приведенных выше уравнениях определяются как

${\displaystyle Q_{\alpha }:=\kappa ~\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha 3}~dx_{3}\,.}$

Граничные условия [ править ]

Граничные условия обозначаются граничными членами в принципе виртуальной работы.

Если единственная внешняя сила - это вертикальная сила на верхней поверхности пластины, граничные условия таковы:

${\displaystyle {\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad \varphi _{\alpha }\\n_{\alpha }~Q_{\alpha }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\end{aligned}}}$

Учредительные отношения [ править ]

Соотношения между напряжениями и деформациями для линейной упругой пластины Миндлина – Рейсснера имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\alpha \beta }&=C_{\alpha \beta \gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{\alpha 3}&=C_{\alpha 3\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{33}&=C_{33\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\end{aligned}}}$

Поскольку он не фигурирует в уравнениях равновесия, неявно предполагается, что он не влияет на баланс импульса и им пренебрегают. Это предположение также называется предположением о плоском напряжении . Остальные соотношения напряжение-деформация для ортотропного материала в матричной форме могут быть записаны как${\displaystyle \sigma _{33}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&0&0&0\\0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$

Затем,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}\varphi _{1,1}\\\varphi _{2,2}\\{\frac {1}{2}}~(\varphi _{1,2}+\varphi _{2,1})\end{bmatrix}}}$

Для условий сдвига

${\displaystyle {\begin{bmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{bmatrix}}={\cfrac {\kappa }{2}}\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{55}&0\\0&C_{44}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,1}^{0}-\varphi _{1}\\w_{,2}^{0}-\varphi _{2}\end{bmatrix}}}$

В экстенсиональных жесткостях являются величинами

${\displaystyle A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}}$

В гибочных жесткостях являются величинами

${\displaystyle D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}}$

Изотропные и однородные пластины Уфлянд-Миндлина [ править ]

Для однородно толстых, однородных и изотропных пластин зависимости напряжения от деформации в плоскости пластины имеют вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.}$

где - модуль Юнга, - коэффициент Пуассона, - деформации в плоскости. Напряжения и деформации сдвига по толщине связаны соотношением${\displaystyle E}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }}$

${\displaystyle \sigma _{31}=2G\varepsilon _{31}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{32}=2G\varepsilon _{32}}$

где - модуль сдвига .${\displaystyle G=E/(2(1+\nu ))}$

Учредительные отношения [ править ]

Соотношения между результирующими напряжениями и обобщенными смещениями для изотропной пластины Миндлина – Рейсснера следующие:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {2Eh}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}\,,}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2Eh^{3}}{3(1-\nu ^{2})}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varphi _{1,1}\\\varphi _{2,2}\\{\frac {1}{2}}(\varphi _{1,2}+\varphi _{2,1})\end{bmatrix}}\,,}$

и

${\displaystyle {\begin{bmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{bmatrix}}=\kappa Gh{\begin{bmatrix}w_{,1}^{0}-\varphi _{1}\\w_{,2}^{0}-\varphi _{2}\end{bmatrix}}\,.}$

Жесткость при изгибе определяется как количество

${\displaystyle D={\cfrac {2Eh^{3}}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}$

Для толстого листа жесткость на изгиб имеет вид${\displaystyle H}$

${\displaystyle D={\cfrac {EH^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\,.}$

где ${\displaystyle h={\frac {H}{2}}}$

Управляющие уравнения [ править ]

Если мы проигнорируем продолжение пластины в плоскости, основные уравнения будут следующими:

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }&=0\\Q_{\alpha ,\alpha }+q&=0\,.\end{aligned}}}$

В терминах обобщенных деформаций три основных уравнения:${\displaystyle w^{0},\varphi _{1},\varphi _{2}}$

Граничные условия по краям прямоугольной пластины:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{simply supported}}\quad &\quad w^{0}=0,M_{11}=0~({\text{or}}~M_{22}=0),\varphi _{1}=0~({\text{or}}~\varphi _{2}=0)\\{\text{clamped}}\quad &\quad w^{0}=0,\varphi _{1}=0,\varphi _{2}=0\,.\end{aligned}}}$

Статическая теория Рейсснера – Штейна для изотропных консольных пластин [ править ]

В общем, точные решения для консольных пластин с использованием теории пластин довольно сложны, и в литературе можно найти несколько точных решений. Рейсснер и Стейн ^[7] предлагают упрощенную теорию консольных пластин, которая является улучшением по сравнению с более старыми теориями, такими как теория пластин Сен-Венана.

Теория Рейсснера-Штейна предполагает, что поле поперечных смещений имеет вид

${\displaystyle w(x,y)=w_{x}(x)+y\,\theta _{x}(x)\,.}$

Затем основные уравнения для пластины сводятся к двум связанным обыкновенным дифференциальным уравнениям:

где

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{1}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~q_{2}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{1}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\\n_{2}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}y\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{3}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y^{2}\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\,.\end{aligned}}}$

При , поскольку балка зажата, граничные условия таковы:${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle w(0,y)={\cfrac {dw}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\qquad \implies \qquad w_{x}(0)={\cfrac {dw_{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=\theta _{x}(0)={\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\,.}$

Граничные условия при равны${\displaystyle x=a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&bD{\cfrac {d^{3}w_{x}}{dx^{3}}}+n_{1}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+q_{x1}=0\\&{\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{3}\theta _{x}}{dx^{3}}}+\left[n_{3}(x)-2bD(1-\nu )\right]{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+t=0\\&bD{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}+m_{1}=0\quad ,\quad {\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}+m_{2}=0\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=\int _{-b/2}^{b/2}m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~m_{2}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~q_{x1}=\int _{-b/2}^{b/2}q_{x}(y)\,{\text{d}}y\\t&=q_{x2}+m_{3}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q_{x}(y)\,{\text{d}}y+\int _{-b/2}^{b/2}m_{xy}(y)\,{\text{d}}y\,.\end{aligned}}}$

Вывод уравнений консоли Рейсснера – Штейна.

Энергия деформации изгиба тонкой прямоугольной пластины однородной толщины определяется выражением${\displaystyle h}$ ${\displaystyle U={\frac {1}{2}}\int _{0}^{a}\int _{-b/2}^{b/2}D\left\{\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)^{2}+2(1-\nu )\left[\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)^{2}-{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right]\right\}{\text{d}}x{\text{d}}y}$ где - поперечное смещение, - длина, - ширина, - коэффициент Пуассона, - модуль Юнга, и${\displaystyle w}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle D={\frac {Eh^{3}}{12(1-\nu )}}.}$ Потенциальная энергия поперечных нагрузок (на единицу длины) равна${\displaystyle q(x,y)}$ ${\displaystyle P_{q}=\int _{0}^{a}\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,w(x,y)\,{\text{d}}x{\text{d}}y\,.}$ Потенциальная энергия плоских нагрузок (на единицу ширины) равна${\displaystyle n_{x}(x,y)}$ ${\displaystyle P_{n}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{a}\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,\left({\frac {\partial w}{\partial x}}\right)^{2}\,{\text{d}}x{\text{d}}y\,.}$ Потенциальная энергия концевых сил (на единицу ширины) и изгибающих моментов и (на единицу ширины) равна${\displaystyle q_{x}(y)}$${\displaystyle m_{x}(y)}$${\displaystyle m_{xy}(y)}$ ${\displaystyle P_{t}=\int _{-b/2}^{b/2}\left(q_{x}(y)\,w(x,y)-m_{x}(y)\,{\frac {\partial w}{\partial x}}+m_{xy}(y)\,{\frac {\partial w}{\partial y}}\right){\text{d}}x{\text{d}}y\,.}$ Баланс энергии требует, чтобы общая энергия была ${\displaystyle W=U-(P_{q}+P_{n}+P_{t})\,.}$ С предположением Райссенера – Стейна для смещения имеем ${\displaystyle U=\int _{0}^{a}{\frac {bD}{24}}\left[12\left({\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}\right)^{2}+b^{2}\left({\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}\right)^{2}+24(1-\nu )\left({\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}\right)^{2}\right]\,{\text{d}}x\,,}$ ${\displaystyle P_{q}=\int _{0}^{a}\left[\left(\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,{\text{d}}y\right)w_{x}+\left(\int _{-b/2}^{b/2}yq(x,y)\,{\text{d}}y\right)\theta _{x}\right]\,dx\,,}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{a}\left[\left(\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\right)\left({\cfrac {dw_{x}}{dx}}\right)^{2}+\left(\int _{-b/2}^{b/2}yn_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\right){\cfrac {dw_{x}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}\right.\\&\left.\qquad \qquad +\left(\int _{-b/2}^{b/2}y^{2}n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\right)\left({\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}\right)^{2}\right]{\text{d}}x\,,\end{aligned}}}$ и ${\displaystyle {\begin{aligned}P_{t}&=\left(\int _{-b/2}^{b/2}q_{x}(y)\,{\text{d}}y\right)w_{x}-\left(\int _{-b/2}^{b/2}m_{x}(y)\,{\text{d}}y\right){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+\left[\int _{-b/2}^{b/2}\left(yq_{x}(y)+m_{xy}(y)\right)\,{\text{d}}y\right]\theta _{x}\\&\qquad \qquad -\left(\int _{-b/2}^{b/2}ym_{x}(y)\,{\text{d}}y\right){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}\,.\end{aligned}}}$ Взяв первую вариацию по и положив ее на ноль, мы получим уравнения Эйлера${\displaystyle W}$${\displaystyle (w_{x},\theta _{x},x)}$ ${\displaystyle {\text{(1)}}\qquad bD{\frac {\mathrm {d} ^{4}w_{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}=q_{1}(x)-n_{1}(x){\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}-{\cfrac {dn_{1}}{dx}}\,{\cfrac {dw_{x}}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\cfrac {dn_{2}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}-{\frac {n_{2}(x)}{2}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}}$ и ${\displaystyle {\text{(2)}}\qquad {\frac {b^{3}D}{12}}\,{\frac {\mathrm {d} ^{4}\theta _{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}-2bD(1-\nu ){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=q_{2}(x)-n_{3}(x){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}-{\cfrac {dn_{3}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}-{\frac {n_{2}(x)}{2}}\,{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\cfrac {dn_{2}}{dx}}\,{\cfrac {dw_{x}}{dx}}}$ где ${\displaystyle {\begin{aligned}q_{1}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~q_{2}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{1}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\\n_{2}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}y\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{3}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y^{2}\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y.\end{aligned}}}$ Поскольку балка зажата , мы имеем${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle w(0,y)={\cfrac {dw}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\qquad \implies \qquad w_{x}(0)={\cfrac {dw_{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=\theta _{x}(0)={\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\,.}$ Граничные условия при можно найти интегрированием по частям:${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}&bD{\cfrac {d^{3}w_{x}}{dx^{3}}}+n_{1}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+q_{x1}=0\\&{\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{3}\theta _{x}}{dx^{3}}}+\left[n_{3}(x)-2bD(1-\nu )\right]{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+t=0\\&bD{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}+m_{1}=0\quad ,\quad {\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}+m_{2}=0\end{aligned}}}$ где ${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=\int _{-b/2}^{b/2}m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~m_{2}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~q_{x1}=\int _{-b/2}^{b/2}q_{x}(y)\,{\text{d}}y\\t&=q_{x2}+m_{3}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q_{x}(y)\,{\text{d}}y+\int _{-b/2}^{b/2}m_{xy}(y)\,{\text{d}}y.\end{aligned}}}$