Изгибающий момент

Диаграмма сдвига и момента для балки с простой опорой и сосредоточенной нагрузкой в ​​середине пролета.

В механике твердого тела , А изгибающий момент , является реакция индуцированного в структурном элементе , когда внешняя сила или момент прикладывается к элементу, в результате чего элемент согнуть . ^{[1] [2]} Самым распространенным или самым простым элементом конструкции, подверженным изгибающим моментам, является балка . На схеме показана балка, которая просто поддерживается (свободно вращается и, следовательно, не имеет изгибающих моментов) с обоих концов; концы могут реагировать только на сдвигнагрузки. У других балок оба конца могут быть закреплены; Таким образом, каждая концевая опора имеет как изгибающие моменты, так и нагрузки реакции сдвига. Балки также могут иметь фиксированный один конец и простой опорный конец. Самый простой тип балки - это консоль , которая фиксируется на одном конце и свободна на другом конце (ни простой, ни фиксированный). В действительности опоры балки обычно не являются ни абсолютно неподвижными, ни абсолютно свободно вращающимися.

Внутренние реакционные нагрузки в поперечном сечении структурного элемента можно разделить на равнодействующую силу и результирующую пару . Для достижения равновесия момент, создаваемый внешними силами (и внешними моментами), должен уравновешиваться парой, вызванной внутренними нагрузками. Результирующая внутренняя пара называется изгибающим моментом, а результирующая внутренняя сила называется поперечной силой (если она перпендикулярна плоскости элемента) или нормальной силой (если она проходит вдоль плоскости элемента).

Изгибающий момент в сечении структурного элемента может быть определен как сумма моментов по этому сечению всех внешних сил, действующих с одной стороны этого сечения. Силы и моменты по обе стороны от секции должны быть равны, чтобы противодействовать друг другу и поддерживать состояние равновесия, чтобы один и тот же изгибающий момент был результатом суммирования моментов, независимо от того, какая сторона секции выбрана. Если изгибающий момент по часовой стрелке принять как отрицательный, то отрицательный изгибающий момент внутри элемента вызовет « закручивание », а положительный момент вызовет « провисание ». Таким образом, ясно, что точка нулевого изгибающего момента внутри балки является точкой обратного прогиба.- то есть точка перехода от коробления к провисанию или наоборот.

Моменты и крутящие моменты измеряются как сила, умноженная на расстояние, поэтому они имеют единицы ньютон-метр (Н · м) или фунт-фут (фунт-сила · фут). Понятие изгибающего момента очень важно в технике (особенно в гражданском и машиностроении ) и физике .

Фон [ править ]

Растягивающие и сжимающие напряжения увеличиваются пропорционально изгибающему моменту, но также зависят от второго момента площади поперечного сечения балки (то есть формы поперечного сечения, например круга, квадрата или двутавра. являющиеся общими структурными формами). Нарушение изгиба произойдет, когда изгибающий момент будет достаточным для создания напряжений растяжения / сжатия, превышающих предел текучести материала по всему поперечному сечению. В структурном анализе это разрушение при изгибе называется пластическим шарниром, поскольку полная несущая способность элемента конструкции не достигается, пока полное поперечное сечение не превышает предел текучести. Возможно, что разрушение конструктивного элемента при сдвиге может произойти до разрушения при изгибе, однако механика разрушения при сдвиге и изгибе различна.

Моменты рассчитываются путем умножения внешних векторных сил (нагрузок или реакций) на векторное расстояние, на котором они действуют. При анализе всего элемента имеет смысл рассчитывать моменты на обоих концах элемента, в начале, в центре и в конце любых равномерно распределенных нагрузок и непосредственно под любыми точечными нагрузками. Конечно, любые «шарнирные соединения» внутри конструкции допускают свободное вращение, и поэтому в этих точках возникает нулевой момент, поскольку нет возможности передавать вращающие силы с одной стороны на другую.

Чаще используется соглашение, согласно которому изгибающий момент по часовой стрелке слева от рассматриваемой точки считается положительным. Тогда это соответствует второй производной функции, которая, если она положительна, указывает на кривизну, которая «ниже в центре», то есть прогиб. При определении моментов и кривизны таким образом легче использовать расчет для определения уклонов и прогибов.

Критические значения в балке обычно аннотируются с помощью диаграммы изгибающего момента , где отрицательные моменты нанесены в масштабе над горизонтальной линией, а положительные - под ней. Изгибающий момент изменяется линейно по ненагруженным участкам и параболически по равномерно нагруженным участкам.

Технические описания расчета изгибающих моментов могут сбивать с толку из-за необъяснимых условных обозначений и неявных предположений. В приведенных ниже описаниях используется векторная механика для вычисления моментов силы и изгибающих моментов в попытке объяснить, исходя из первых принципов, почему выбраны определенные условные обозначения.

Вычисление момента силы [ править ]

Важной частью определения изгибающих моментов в практических задачах является вычисление силовых моментов. Пусть - вектор силы, действующий в точке A тела. Момент этой силы относительно контрольной точки ( O ) определяется как ^[2]${\ displaystyle \ mathbf {F}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}}$

где есть момент вектора и находится вектор положения от опорной точки ( O ) до точки приложения силы ( A ). Символ обозначает векторное произведение. Для многих проблем, это более удобно , чтобы вычислить момент силы относительно оси , которая проходит через опорную точку О . Если единичный вектор вдоль оси равен , момент силы вокруг оси определяется как${\ displaystyle \ mathbf {M}}$${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle \ times}$${\ displaystyle \ mathbf {e}}$

${\ Displaystyle M = \ mathbf {e} \ cdot \ mathbf {M} = \ mathbf {e} \ cdot (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {F})}$

где указывает скалярное произведение вектора.${\ displaystyle \ cdot}$

Пример [ править ]

На соседнем рисунке показана балка, на которую действует сила . Если система координат определяется тремя единичными векторами , мы имеем следующие ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {x}, \ mathbf {e} _ {y}, \ mathbf {e} _ {z}}$

${\ displaystyle \ mathbf {F} = 0 \, \ mathbf {e} _ {x} -F \, \ mathbf {e} _ {y} +0 \, \ mathbf {e} _ {z} \ quad { \ text {and}} \ quad \ mathbf {r} = x \, \ mathbf {e} _ {x} +0 \, \ mathbf {e} _ {y} +0 \, \ mathbf {e} _ { z} \ ,.}$

Следовательно,

${\ displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} = \ left | {\ begin {matrix} \ mathbf {e} _ {x} & \ mathbf {e} _ {y} & \ mathbf {e} _ {z} \\ x & 0 & 0 \\ 0 & -F & 0 \ end {matrix}} \ right | = -Fx \, \ mathbf {e} _ {z} \ ,.}$

Момент вокруг оси тогда${\displaystyle \mathbf {e} _{z}}$

${\displaystyle M_{z}=\mathbf {e} _{z}\cdot \mathbf {M} =-Fx\,.}$

Соглашения о знаках [ править ]

Отрицательное значение предполагает, что момент, который имеет тенденцию вращать тело по часовой стрелке вокруг оси, должен иметь отрицательный знак. Однако фактический знак зависит от выбора трех осей . Например, если мы выберем другую правостороннюю систему координат с , мы имеем${\displaystyle \mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}}$${\displaystyle \mathbf {E} _{x}=\mathbf {e} _{x},\mathbf {E} _{y}=-\mathbf {e} _{z},\mathbf {E} _{z}=\mathbf {e} _{y}}$

${\displaystyle \mathbf {F} =0\,\mathbf {E} _{x}+0\,\mathbf {E} _{y}-F\,\mathbf {E} _{z}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {r} =x\,\mathbf {E} _{x}+0\,\mathbf {E} _{y}+0\,\mathbf {E} _{z}\,.}$

Потом,

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\left|{\begin{matrix}\mathbf {E} _{x}&\mathbf {E} _{y}&\mathbf {E} _{z}\\x&0&0\\0&0&-F\end{matrix}}\right|=Fx\,\mathbf {E} _{y}\quad {\text{and}}\quad M_{y}=\mathbf {E} _{y}\cdot \mathbf {M} =Fx\,.}$

Для этого нового выбора осей положительный момент имеет тенденцию вращать тело по часовой стрелке вокруг оси.

Расчет изгибающего момента [ править ]

В твердом теле или в свободном деформируемом теле приложение момента силы вызывает чистое вращение. Но если деформируемое тело сковано, оно развивает внутренние силы в ответ на внешнюю силу, так что равновесие сохраняется. Пример показан на рисунке ниже. Эти внутренние силы вызовут локальные деформации в теле.

Для равновесия сумма векторов внутренней силы равна отрицательному значению суммы приложенных внешних сил, а сумма векторов момента, созданных внутренними силами, равна отрицательному значению момента внешней силы. Векторы внутренней силы и момента ориентированы таким образом, что полная сила (внутренняя + внешняя) и момент (внешний + внутренний) системы равны нулю. Вектор внутреннего момента называется изгибающим моментом . ^[1]

Хотя изгибающие моменты использовались для определения напряженного состояния в конструкциях произвольной формы, физическая интерпретация вычисленных напряжений проблематична. Однако физические интерпретации изгибающих моментов в балках и пластинах имеют прямую интерпретацию как результирующие напряжения в поперечном сечении структурного элемента. Например, в балке на рисунке вектор изгибающего момента из-за напряжений в поперечном сечении A, перпендикулярном оси x, определяется выражением

${\displaystyle \mathbf {M} _{x}=\int _{A}\mathbf {r} \times (\sigma _{xx}\mathbf {e} _{x}+\sigma _{xy}\mathbf {e} _{y}+\sigma _{xz}\mathbf {e} _{z})\,dA\quad {\text{where}}\quad \mathbf {r} =y\,\mathbf {e} _{y}+z\,\mathbf {e} _{z}\,.}$

Расширяя это выражение, мы имеем

${\displaystyle \mathbf {M} _{x}=\int _{A}\left(-y\sigma _{xx}\mathbf {e} _{z}+y\sigma _{xz}\mathbf {e} _{x}+z\sigma _{xx}\mathbf {e} _{y}-z\sigma _{xy}\mathbf {e} _{x}\right)dA=:M_{xx}\,\mathbf {e} _{x}+M_{xy}\,\mathbf {e} _{y}+M_{xz}\,\mathbf {e} _{z}\,.}$

Определим составляющие изгибающего момента как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{xx}\\M_{xy}\\M_{xz}\end{bmatrix}}:=\int _{A}{\begin{bmatrix}y\sigma _{xz}-z\sigma _{xy}\\z\sigma _{xx}\\-y\sigma _{xx}\end{bmatrix}}\,dA\,.}$

Внутренние моменты вычисляются относительно начала координат, которое находится на нейтральной оси балки или пластины, а интегрирование проводится по толщине ( )${\displaystyle h}$

Пример [ править ]

В балке, показанной на соседнем рисунке, внешние силы - это приложенная сила в точке A ( ) и реакции в двух опорных точках O и B ( и ). В этой ситуации единственной ненулевой составляющей изгибающего момента является${\displaystyle -F\mathbf {e} _{y}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{O}=R_{O}\mathbf {e} _{y}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{B}=R_{B}\mathbf {e} _{y}}$

${\displaystyle \mathbf {M} _{xz}=-\left[\int _{z}\left[\int _{0}^{h}y\,\sigma _{xx}\,dy\right]\,dz\right]\mathbf {e} _{z}\,.}$

где - высота в направлении луча. Знак минус включен, чтобы удовлетворить условию знаков.${\displaystyle h}$${\displaystyle y}$

Чтобы вычислить , мы начинаем с уравновешивания сил, что дает одно уравнение с двумя неизвестными реакциями:${\displaystyle \mathbf {M} _{xz}}$

${\displaystyle R_{O}+R_{B}-F=0\,.}$

Для получения каждой реакции требуется второе уравнение. Уравновешивание моментов относительно любой произвольной точки X дало бы нам второе уравнение, которое мы можем использовать для решения относительно и в терминах . Уравновесить точку O проще всего, но давайте уравновесим точку A, чтобы проиллюстрировать эту точку, т.е.${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle R_{B}}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle -\mathbf {r} _{A}\times \mathbf {R} _{O}+(\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A})\times \mathbf {R} _{B}=\mathbf {0} \,.}$

Если - длина балки, имеем${\displaystyle L}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{A}=x_{A}\mathbf {e} _{x}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {r} _{B}=L\mathbf {e} _{x}\,.}$

Оценка перекрестных продуктов:

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\-x_{A}&0&0\\0&R_{0}&0\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\L-x_{A}&0&0\\0&R_{B}&0\end{matrix}}\right|=-x_{A}R_{0}\,\mathbf {e} _{z}+(L-x_{A})R_{B}\,\mathbf {e} _{z}=0\,.}$

Если мы решим реакции, у нас есть

${\displaystyle R_{O}=\left(1-{\frac {x_{A}}{L}}\right)F\quad {\text{and}}\quad R_{B}={\frac {x_{A}}{L}}\,F\,.}$

Теперь, чтобы получить внутренний изгибающий момент в точке X, мы суммируем все моменты относительно точки X за счет всех внешних сил справа от X (с положительной стороны), и в этом случае есть только один вклад,${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathbf {M} _{xz}=(\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{X})\times \mathbf {R} _{B}=\left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\L-x&0&0\\0&-R_{B}&0\end{matrix}}\right|={\frac {Fx_{A}}{L}}(L-x)\,\mathbf {e} _{z}\,.}$

Мы можем проверить этот ответ, посмотрев на диаграмму свободного тела и часть балки слева от точки X , и полный момент, создаваемый этими внешними силами, равен

${\displaystyle \mathbf {M} =(\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{X})\times \mathbf {F} +(-\mathbf {r} _{X})\times \mathbf {R} _{O}=\left[(x_{A}-x)\mathbf {e} _{x}\right]\times \left(-F\mathbf {e} _{y}\right)+\left(-x\mathbf {e} _{x}\right)\times \left(R_{O}\mathbf {e} _{y}\right)\,.}$

Если мы вычислим перекрестные произведения, мы получим

${\displaystyle \mathbf {M} =\left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\x_{A}-x&0&0\\0&-F&0\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\-x&0&0\\0&R_{0}&0\end{matrix}}\right|=F(x-x_{A})\,\mathbf {e} _{z}-R_{0}x\,\mathbf {e} _{z}=-{\frac {Fx_{A}}{L}}(L-x)\,\mathbf {e} _{z}\,.}$

Благодаря равновесию внутренний изгибающий момент из-за внешних сил слева от X должен быть точно уравновешен внутренней поворотной силой, полученной при рассмотрении части балки справа от X

${\displaystyle \mathbf {M} +\mathbf {M} _{xz}=\mathbf {0} \,.}$

что явно так.

Соглашение о подписи [ править ]

В приведенном выше обсуждении неявно предполагается, что изгибающий момент положительный, когда верхняя часть балки сжимается. Это можно увидеть, если мы рассмотрим линейное распределение напряжений в балке и найдем результирующий изгибающий момент. Пусть верх балки сжимается под действием напряжения, а нижняя часть балки испытывает напряжение . Тогда распределение напряжений в балке равно . Изгибающий момент из-за этих напряжений равен${\displaystyle -\sigma _{0}}$${\displaystyle \sigma _{0}}$${\displaystyle \sigma _{xx}(y)=-y\sigma _{0}}$

${\displaystyle M_{xz}=-\left[\int _{z}\int _{-h/2}^{h/2}y\,(-y\sigma _{0})\,dy\,dz\right]=\sigma _{0}\,I}$

где - момент инерции площади поперечного сечения балки. Следовательно, изгибающий момент положительный, когда верхняя часть балки сжимается.${\displaystyle I}$

Многие авторы придерживаются другого соглашения, в котором результат напряжения определяется как${\displaystyle M_{xz}}$

${\displaystyle \mathbf {M} _{xz}=\left[\int _{z}\int _{-h/2}^{h/2}y\,\sigma _{xx}\,dy\,dz\right]\mathbf {e} _{z}\,.}$

В этом случае положительные изгибающие моменты означают, что верхняя часть балки находится в растяжении. Конечно, определение вершины зависит от используемой системы координат. В приведенных выше примерах верхняя часть - это место с наибольшей координатой.${\displaystyle y}$

См. Также [ править ]

• Коробление
• Прогиб, включая прогиб балки
• Крутящий момент
• Диаграммы сдвига и момента
• Результирующие напряжения
• Первый момент области
• Линия влияния
• Второй момент площади
• Список моментов инерции площадей
• Разгрузка изгиба крыла

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме изгибающего момента .

В Викиверситете есть учебные ресурсы о диаграммах поперечного усилия и изгибающего момента.

• Результирующие напряжения для балок