Второй момент площади

Второй момент площади , или второй область момента , или квадратичного момента площади и также известно как область момента инерции , является геометрическим свойством области , которая отражает как его точки распределены относительно произвольной оси. Второй момент площади обычно обозначается либо (для оси, лежащей в плоскости), либо с (для оси, перпендикулярной плоскости). В обоих случаях он вычисляется с помощью кратного интеграла по рассматриваемому объекту. Его размерность L (длина) в четвертой степени. Его единица размерности, при работе с Международной системой единиц${\ displaystyle I}$${\ displaystyle J}$, это метры в четвертой степени, м ⁴ , или дюймы в четвертой степени, в ⁴ , при работе в Имперской системе единиц .

В проектировании конструкций второй момент площади балки является важным свойством, используемым при расчете прогиба балки и расчете напряжения, вызванного моментом, приложенным к балке. Для того чтобы максимизировать второй момент площади, большая доля площади поперечного сечения в качестве двутавровой балки расположен на максимально возможном расстоянии от центра тяжести поперечного сечения I-балки. Планарной второй момент площади дает представление пучка по стойкости к изгибу вследствие приложенного момента, силы , или распределенной нагрузкиперпендикулярно его нейтральной оси в зависимости от его формы. Полярный второй момент площади дает представление о сопротивлении балки крутильному отклонению из-за приложенного момента, параллельного ее поперечному сечению, в зависимости от ее формы.

В разных дисциплинах термин « момент инерции» (MOI) используется для обозначения разных моментов . Это может относиться к любому из плоских вторых моментов области (часто или , по отношению к некоторой плоскости отсчета), или полярным вторым момент площади ( где г есть расстояние до некоторой опорной оси). В каждом случае интеграл берется по всем бесконечно малым элементам площади dA в некотором двумерном сечении. В физике , момент инерции строго второй момент массы по отношению к расстоянию от оси:${\ displaystyle I_ {x} = \ textstyle \ iint _ {R} y ^ {2} \, \ mathrm {d} A}$${\ displaystyle I_ {y} = \ textstyle \ iint _ {R} x ^ {2} \, \ mathrm {d} A}$${\ Displaystyle I = \ textstyle \ iint _ {R} r ^ {2} \, \ mathrm {d} A}$${\ displaystyle I = \ textstyle \ int _ {Q} r ^ {2} \ mathrm {d} m}$, Где г есть расстояние до некоторой потенциальной оси вращения, а интеграл по всем бесконечно малым элементам массовых , де, в трехмерном пространстве занимает объект  Q . MOI в этом смысле является аналогом массы для задач вращения. В машиностроении (особенно механическом и гражданском) момент инерции обычно относится ко второму моменту площади. ^[1]

Определение [ править ]

Произвольной формы. ρ - радиальное расстояние до элемента d A с выступами x и y на оси.

Второй момент площади для произвольной формы  R относительно произвольной оси определяется как${\ displaystyle BB '}$

${\displaystyle J_{BB'}=\iint \limits _{R}{\rho }^{2}\,\mathrm {d} A}$

где

${\displaystyle \mathrm {d} A}$ - элемент бесконечно малой площади, и

${\displaystyle \rho }$- перпендикулярное расстояние от оси . ^[2]${\displaystyle BB'}$

Например, когда желаемое Ось отсчета представляет собой ось х, второй момент площади (часто обозначается как ) , могут быть вычислены в декартовой системе координат , как${\displaystyle I_{xx}}$${\displaystyle I_{x}}$

${\displaystyle I_{x}=\iint \limits _{R}y^{2}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$

Второй момент площади имеет решающее значение в теории тонких балок Эйлера – Бернулли .

Момент продукта области [ править ]

В более общем смысле момент площади продукта определяется как ^[3]

${\displaystyle I_{xy}=\iint \limits _{R}yx\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$

Теорема о параллельной оси [ править ]

Иногда необходимо вычислить второй момент площади формы относительно оси, отличной от центральной оси формы. Однако часто бывает проще получить второй момент площади относительно его центральной оси , и использовать теорему о параллельности оси, чтобы получить второй момент площади относительно оси. Теорема о параллельной оси утверждает${\displaystyle x'}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x'}$

${\displaystyle I_{x'}=I_{x}+Ad^{2}}$

где

${\displaystyle A}$ площадь фигуры, а

${\displaystyle d}$это перпендикулярное расстояние между и осями. ^{[4] [5]}${\displaystyle x}$${\displaystyle x'}$

Аналогичное утверждение можно сделать относительно оси и параллельной центральной оси. Или вообще любая центроидная ось и параллельная ось.${\displaystyle y'}$${\displaystyle y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B'}$

Теорема о перпендикулярной оси [ править ]

Для простоты расчета часто требуется определить полярный момент площади (относительно перпендикулярной оси) в терминах двух моментов инерции площади (оба относительно осей в плоскости). Самый простой случай относится к и .${\displaystyle J_{z}}$${\displaystyle I_{x}}$${\displaystyle I_{y}}$

${\displaystyle J_{z}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}\,\mathrm {d} A=\iint \limits _{R}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,\mathrm {d} A=\iint \limits _{R}x^{2}\,\mathrm {d} A+\iint \limits _{R}y^{2}\,\mathrm {d} A=I_{x}+I_{y}}$

Эта связь основана на теореме Пифагора , которая относится и к и на линейность интеграции .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \rho }$

Составные формы [ править ]

Для более сложных областей часто бывает проще разделить область на ряд «более простых» форм. Второй момент площади для всей формы - это сумма второго момента площадей всех ее частей вокруг общей оси. Это может включать формы, которые «отсутствуют» (например, отверстия, полые формы и т. Д.), И в этом случае второй момент площади «недостающих» областей вычитается, а не добавляется. Другими словами, второй момент площади «недостающих» деталей считается отрицательным для метода составных форм.

Примеры [ править ]

См. Список секундных моментов площади для других форм.

Прямоугольник с центром тяжести в начале координат [ править ]

Рассмотрим прямоугольник с основанием и высотой , центроид которого расположен в начале координат. представляет второй момент площади относительно оси x; представляет второй момент площади относительно оси y; представляет собой полярный момент инерции относительно оси z.${\displaystyle b}$${\displaystyle h}$${\displaystyle I_{x}}$${\displaystyle I_{y}}$${\displaystyle J_{z}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{x}&=\iint \limits _{R}y^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}y^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}{\frac {1}{3}}{\frac {h^{3}}{4}}\,\mathrm {d} x={\frac {bh^{3}}{12}}\\I_{y}&=\iint \limits _{R}x^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}x^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}hx^{2}\,\mathrm {d} x={\frac {b^{3}h}{12}}\end{aligned}}}$

Используя теорему о перпендикулярной оси, мы получаем значение .${\displaystyle J_{z}}$

${\displaystyle J_{z}=I_{x}+I_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}+{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {bh}{12}}\left(b^{2}+h^{2}\right)}$

Кольцо с центром в исходной точке [ править ]

Рассмотрим кольцо с центром в начале координат, внешним радиусом и внутренним радиусом . Из-за симметрии кольца центр тяжести также находится в начале координат. Мы можем определить полярный момент инерции вокруг оси методом составных форм. Этот полярный момент инерции эквивалентен полярному моменту инерции круга с радиусом минус полярный момент инерции круга с радиусом , оба центра расположены в начале координат. Во-первых, давайте вычислим полярный момент инерции окружности с радиусом относительно начала координат. В этом случае проще вычислить напрямую, поскольку у нас уже есть , где есть и${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle J_{z}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle J_{z}}$${\displaystyle r^{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$компонент. Вместо получения второго момента площади из декартовых координат, как это было сделано в предыдущем разделе, мы будем вычислять и напрямую использовать полярные координаты .${\displaystyle I_{x}}$${\displaystyle J_{z}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{x,circle}&=\iint \limits _{R}y^{2}\,dA=\iint \limits _{R}(r\sin {\theta )}^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}(r\sin {\theta })^{2}\left(r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \right)\\&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{3}\sin ^{2}{\theta }\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}\sin ^{2}{\theta }}{4}}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{4}}r^{4}\\J_{z,circle}&=\iint \limits _{R}r^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{2}\left(r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{3}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}}{4}}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}r^{4}\end{aligned}}}$

Теперь полярный момент инерции относительно оси для кольцевого пространства - это просто, как указано выше, разность вторых моментов площади круга с радиусом и круга с радиусом .${\displaystyle z}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle r_{1}}$

${\displaystyle J_{z}=J_{z,r_{2}}-J_{z,r_{1}}={\frac {\pi }{2}}r_{2}^{4}-{\frac {\pi }{2}}r_{1}^{4}={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)}$

В качестве альтернативы мы могли бы изменить пределы интеграла в первый раз, чтобы отразить факт наличия дыры. Это было бы сделано так.${\displaystyle \mathrm {d} r}$

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}&=\iint \limits _{R}r^{2}\,\mathrm {d} A=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{2}\left(r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{3}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }\left[{\frac {r_{2}^{4}}{4}}-{\frac {r_{1}^{4}}{4}}\right]\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)\end{aligned}}}$

Любой многоугольник [ править ]

Простой многоугольник. Здесь, обратите внимание, точка «7» идентична точке 1.${\displaystyle n=6}$

Второй момент площади относительно начала координат для любого простого многоугольника на плоскости XY может быть вычислен в общем случае путем суммирования вкладов от каждого сегмента многоугольника после разделения области на набор треугольников. Эта формула связана с формулой шнурка и может считаться частным случаем теоремы Грина .

Предполагается, что многоугольник имеет вершины, пронумерованные против часовой стрелки. Если вершины многоугольника пронумерованы по часовой стрелке, возвращаемые значения будут отрицательными, но абсолютные значения будут правильными.${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{y}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}^{2}+x_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2}\right)\\I_{x}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(y_{i}^{2}+y_{i}y_{i+1}+y_{i+1}^{2}\right)\\I_{xy}&={\frac {1}{24}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}y_{i+1}+2x_{i}y_{i}+2x_{i+1}y_{i+1}+x_{i+1}y_{i}\right)\end{aligned}}}$

^{[6] [7]}

где - координаты вершины -го многоугольника, при . Кроме того , предполагаются равными координатам первой вершины, т и .^{[8] [9]}${\displaystyle x_{i},y_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$${\displaystyle x_{n+1},y_{n+1}}$${\displaystyle x_{n+1}=x_{1}}$${\displaystyle y_{n+1}=y_{1}}$

См. Также [ править ]

• Список вторых моментов площади
• Список моментов инерции
• Момент инерции
• Теорема о параллельной оси
• Теорема о перпендикулярной оси
• Радиус вращения

Ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме Вторые моменты области .