Кратный интеграл

В математике (в частности, многомерном исчислении ) кратный интеграл - это определенный интеграл от функции нескольких действительных переменных , например, f ( x , y ) или f ( x , y , z ) . Интегралы функции двух переменных по области в ( плоскости действительных чисел ) называются двойными интегралами , а интегралы функции трех переменных по области в (трехмерном пространстве действительных чисел) называются тройными интегралами .${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$^[1] Чтобы узнать о множественных интегралах от функции одной переменной, см. Формулу Коши для повторного интегрирования .

Введение [ править ]

Подобно тому, как определенный интеграл положительной функции одной переменной представляет собой площадь области между графиком функции и осью x , двойной интеграл положительной функции двух переменных представляет собой объем области между определенной поверхностью. функцией (на трехмерной декартовой плоскости, где z = f ( x , y ) ) и плоскостью, которая содержит ее область определения . ^[1] Если есть больше переменных, кратный интеграл даст гиперобъемы многомерных функций.

Множественное интегрирование функции от n переменных: f ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) в области D чаще всего представляется вложенными знаками интеграла в обратном порядке выполнения (крайний левый знак интеграла вычисляется последним ), за которым следует функция и аргументы интеграла в надлежащем порядке (интеграл по крайнему правому аргументу вычисляется последним). Область интегрирования либо представлена ​​символически для каждого аргумента над каждым знаком целого числа, либо сокращается с помощью переменной в крайнем правом знаке целого: ^[2]

${\displaystyle \int \cdots \int _{\mathbf {D} }\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}}$

Поскольку понятие первообразной определяется только для функций одной действительной переменной, обычное определение неопределенного интеграла не распространяется сразу на кратный интеграл.

Математическое определение [ править ]

Для п > 1 , рассмотрим так называемый «полуоткрытый» п - мерный hyperrectangular домен T , определяемый как:

${\displaystyle T=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})\subseteq \mathbf {R} ^{n}.}$

Разделите каждый интервал [ a _j , b _j ) на конечное семейство I _j неперекрывающихся подинтервалов i _{j α} , при этом каждый подынтервал закрыт на левом конце и открыт на правом конце.

Тогда конечное семейство подпрямоугольников C, заданное формулой

${\displaystyle C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}$

является разбиение на Т ; то есть, прямоугольники С _K не перекрываются и их объединение Т .

Пусть F  : T → R функция , определенная на Т . Рассмотрим разбиение C множества T, как определено выше, такое, что C является семейством из m подпрямоугольников C _m и

${\displaystyle T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}}$

Мы можем аппроксимировать общий ( n + 1) -мерный объем, ограниченный снизу n -мерным гипер прямоугольником T, а сверху n -мерным графиком f с помощью следующей суммы Римана :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})}$

где P _k - точка в C _k, а m ( C _k ) - произведение длин интервалов, декартово произведение которых равно C _k , также известное как мера C _k .

Диаметр из subrectangle C _к является самым большим из длин интервалов, декартово произведение является С _к . Диаметр данного раздела T определяется как наибольший из диаметров подпрямоугольников в разделе. Интуитивно понятно, что по мере того, как диаметр разбиения C ограничивается все меньше и меньше, количество подпрямоугольников m становится больше, а мера m ( C _k ) каждого подпрямоугольника становится меньше. Функция f называется интегрируемой по Риману, если предел

${\displaystyle S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} \,(C_{k})}$

существует, где предел берется по всем возможным разбиениям T диаметра не более δ . ^[3]

Если f интегрируема по Риману, S называется интегралом Римана от f над T и обозначается

${\displaystyle \int \cdots \int _{T}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}}$

Часто это обозначение сокращается как

${\displaystyle \int _{T}\!f(\mathbf {x} )\,d^{n}\mathbf {x} .}$

где x представляет собой n -набор ( x ₁ , ... x _n ), а d ⁿ x представляет собой разность n- мерного объема .

Интеграл Римана функции, определенной над произвольным ограниченным n- мерным множеством, может быть определен путем расширения этой функции до функции, определенной над полуоткрытым прямоугольником, значения которого равны нулю вне области определения исходной функции. Тогда интеграл исходной функции по исходной области определяется как интеграл от расширенной функции по ее прямоугольной области, если она существует.

В дальнейшем интеграл Римана в n измерениях будет называться кратным интегралом .

Свойства [ править ]

Кратные интегралы имеют много общих свойств с интегралами от функций одной переменной (линейность, коммутативность, монотонность и т. Д.). Одним из важных свойств кратных интегралов является то, что значение интеграла не зависит от порядка подынтегральных выражений при определенных условиях. Это свойство широко известно как теорема Фубини . ^[4]

Частные случаи [ править ]

В случае интеграла${\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle l=\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy}$

- двойной интеграл от f на T , и если интеграл${\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle l=\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz}$

это тройной интеграл от F на T .

Обратите внимание, что по соглашению двойной интеграл имеет два знака, а тройной - три; это условное обозначение, которое удобно при вычислении кратного интеграла как повторного интеграла, как показано далее в этой статье.

Способы интеграции [ править ]

Решение проблем с множественными интегралами состоит, в большинстве случаев, в поиске способа сведения кратного интеграла к повторному интегралу , ряду интегралов одной переменной, каждый из которых является решаемым напрямую. Для непрерывных функций это подтверждается теоремой Фубини . Иногда можно получить результат интегрирования путем непосредственного изучения без каких-либо вычислений.

Ниже приведены несколько простых методов интеграции: ^[1]

Интеграция постоянных функций [ править ]

Когда подынтегральная функция является постоянной функцией c , интеграл равен произведению c и меры области интегрирования. Если c = 1 и домен является подобластью R ² , интеграл дает площадь области, а если домен является подобластью R ³ , интеграл дает объем области.

Пример. Пусть f ( x , y ) = 2 и

${\displaystyle D=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\right\}}$

в таком случае

${\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy=2\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=2\cdot \operatorname {area} (D)=2\cdot (2\cdot 3)=12,}$

поскольку по определению мы имеем:

${\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=\operatorname {area} (D).}$

Использование симметрии [ править ]

Когда область интегрирования симметрична относительно начала координат относительно хотя бы одной из переменных интегрирования, а подынтегральное выражение нечетно по этой переменной, интеграл равен нулю, поскольку интегралы по двум половинам области имеют то же абсолютное значение, но противоположные знаки. Когда подынтегральная даже по отношению к этой переменной, то интеграл равен удвоенному интегралу по одной половине области, а интегралы по двум половинам домена равны.

Пример 1. Рассмотрим функцию f ( x , y ) = 2 sin ( x ) - 3 y ³ + 5, проинтегрированную по области

${\displaystyle T=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},}$

диск радиусом  1 с центром в начале координат с включенной границей.

Используя свойство линейности, интеграл можно разложить на три части:

${\displaystyle \iint _{T}\left(2\sin x-3y^{3}+5\right)\,dx\,dy=\iint _{T}2\sin x\,dx\,dy-\iint _{T}3y^{3}\,dx\,dy+\iint _{T}5\,dx\,dy}$

Функция 2 sin ( x ) является нечетной функцией от переменной x, а диск T симметричен относительно оси y , поэтому значение первого интеграла равно 0. Аналогично, функция 3 y ³ является нечетной функцией. из у и Т симметрично по отношению к х Оу, и так единственный вклад в конечный результат в том , что третьего интеграла. Следовательно, исходный интеграл равен площади диска, умноженной на 5, или 5 π .

Пример 2. Рассмотрим функцию f ( x , y , z ) = x exp ( y ² + z ² ) и в качестве области интегрирования шар радиусом 2 с центром в начале координат,

${\displaystyle T=\left\{(x,y,z)\in \mathbf {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4\right\}.}$

«Шар» симметричен относительно всех трех осей, но его достаточно проинтегрировать по оси x, чтобы показать, что интеграл равен 0, поскольку функция является нечетной функцией этой переменной.

Обычные домены на R ² [ править ]

Этот метод применим к любому домену D, для которого:

• проекция из D на либо х оси х или у -Axis ограничена двумя значениями, и б
• любая линия, перпендикулярная этой оси, которая проходит между этими двумя значениями, пересекает область в интервале, конечные точки которого задаются графиками двух функций, α и β .

Такой домен мы будем называть здесь обычным доменом . В других местах в литературе нормальные домены иногда называют доменами типа I или типа II, в зависимости от того, на какой оси расслоен домен. Во всех случаях интегрируемая функция должна быть интегрируемой по Риману в области определения, что верно (например), если функция непрерывна.

x -axis [ править ]

Если область D нормальна относительно оси x и f  : D → R - непрерывная функция ; то α ( х ) и β ( х ) (оба из которых определены на интервале [ , Ь ] ) являются две функции , которые определяют D . Тогда по теореме Фубини: ^[5]

${\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,dy.}$

y- ось [ править ]

Если D нормальна относительно оси y и f  : D → R - непрерывная функция; то α ( у ) и β ( у ) (оба из которых определены на интервале [ , Ь ] ) являются две функции , которые определяют D . Опять же, по теореме Фубини:

${\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dy\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}f(x,y)\,dx.}$

Обычные домены на R ³ [ править ]

Если T - область, нормальная относительно плоскости xy и определяемая функциями α ( x , y ) и β ( x , y ) , то

${\displaystyle \iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iint _{D}\int _{\alpha (x,y)}^{\beta (x,y)}f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy}$

Это определение то же самое для других пяти случаев нормальности на R ³ . Его можно прямо обобщить на области в R ⁿ .

Изменение переменных [ править ]

Пределы интегрирования часто нелегко заменить (без нормальности или со сложными формулами для интегрирования). Производится замена переменных, чтобы переписать интеграл в более «удобной» области, которую можно описать более простыми формулами. Для этого функция должна быть адаптирована к новым координатам.

Пример 1а. Функция равна f ( x , y ) = ( x - 1) ² + √ y ; если принять замену x ′ = x - 1 , y ′ = y, следовательно, x = x ′ + 1 , y = y ′, получится новая функция f ₂ ( x , y ) = ( x ′) ² + √ y .

• Аналогично для домена, потому что он ограничен исходными переменными, которые были преобразованы ранее ( x и y в примере).
• дифференциалы dx и dy преобразуются через модуль определителя матрицы Якоби, содержащей частные производные преобразований относительно новой переменной (рассмотрим, например, дифференциальное преобразование в полярных координатах).

Существует три основных «вида» изменений переменной (один в R ² , два в R ³ ); однако можно сделать более общие замены, используя тот же принцип.

Полярные координаты [ править ]

В R ^2, если область имеет круговую симметрию и функция имеет определенные характеристики, можно применить преобразование к полярным координатам (см. Пример на рисунке), что означает, что общие точки P ( x , y ) в декартовых координатах переключаются на их соответствующие точки в полярных координатах. Это позволяет изменить форму домена и упростить операции.

Фундаментальное отношение для выполнения преобразования следующее:

${\displaystyle f(x,y)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ).}$

Пример 2а. Функция f ( x , y ) = x + y, и применяя преобразование, получаем

${\displaystyle f(\rho ,\varphi )=\rho \cos \varphi +\rho \sin \varphi =\rho (\cos \varphi +\sin \varphi ).}$

Пример 2б. Функция f ( x , y ) = x ² + y ² , в этом случае:

${\displaystyle f(\rho ,\varphi )=\rho ^{2}\left(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi \right)=\rho ^{2}}$

с использованием тригонометрического тождества Пифагора (очень полезно для упрощения этой операции).

Преобразование области выполняется путем определения длины коронки радиуса и амплитуды описанного угла для определения интервалов ρ , φ, начиная с x , y .

Пример 2в. Область D = { x ² + y ² ≤ 4} , то есть окружность радиуса 2; очевидно, что закрытый угол - это угол круга, поэтому φ изменяется от 0 до 2 π , а радиус короны изменяется от 0 до 2 (корона с внутренним радиусом нуль - это просто круг).

Пример 2г. Область D = { x ² + y ² ≤ 9, x ² + y ² ≥ 4, y ≥ 0} , то есть круглая корона в положительной полуплоскости y (см. Рисунок в примере); φ описывает плоский угол, а ρ изменяется от 2 до 3. Таким образом, преобразованная область будет иметь вид прямоугольника :

${\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq \pi \}.}$

Якобиан этого преобразования состоит в следующем:

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-\rho \sin \varphi \\\sin \varphi &\rho \cos \varphi \end{vmatrix}}=\rho }$

который был получен путем вставки частных производных x = ρ cos ( φ ) , y = ρ sin ( φ ) в первый столбец по ρ и во второй по φ , так что дифференциалы dx dy в этом преобразовании становятся ρ dρ dφ .

После преобразования функции и оценки области можно определить формулу для изменения переменных в полярных координатах:

${\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )\rho \,d\rho \,d\varphi .}$

φ действителен в интервале [0, 2π], в то время как ρ , которая является мерой длины, может иметь только положительные значения.

Пример 2д. Функция f ( x , y ) = x, а область определения такая же, как в примере 2d. Из предыдущего анализа D мы знаем интервалы ρ (от 2 до 3) и φ (от 0 до π ). Теперь меняем функцию:

${\displaystyle f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho ,\varphi )=\rho \cos \varphi .}$

наконец, применим формулу интегрирования:

${\displaystyle \iint _{D}x\,dx\,dy=\iint _{T}\rho \cos \varphi \rho \,d\rho \,d\varphi .}$

Как только интервалы известны, у вас есть

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \varphi \,d\rho \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\cos \varphi \ d\varphi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}={\Big [}\sin \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0.}$

Цилиндрические координаты [ править ]

В R ³ интегрирование по доменам с круглым основанием можно производить переходом к цилиндрическим координатам ; преобразование функции осуществляется следующим соотношением:

${\displaystyle f(x,y,z)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)}$

Преобразование домена может быть достигнуто графически, поскольку изменяется только форма основания, а высота повторяет форму начальной области.

Пример 3а. Область имеет вид D = { x ² + y ² ≤ 9, x ² + y ² ≥ 4, 0 ≤ z ≤ 5} (то есть «трубка», основание которой является круглой короной из примера 2d, а высота равна 5). ; если преобразование применяется, получается эта область:

${\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq z\leq 5\}}$

(то есть параллелепипед, основание которого аналогично прямоугольнику из примера 2d, а высота 5).

Поскольку компонент z не меняется во время преобразования, дифференциалы dx dy dz меняются, как при переходе к полярным координатам: поэтому они становятся ρ dρ dφ dz .

Наконец, можно применить окончательную формулу к цилиндрическим координатам:

${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz.}$

Этот метод удобен в случае цилиндрических или конических областей или в областях, где легко выделить интервал z и даже преобразовать круглое основание и функцию.

Пример 3б. Функция f ( x , y , z ) = x ² + y ² + z, а в качестве области интегрирования этот цилиндр : D = { x ² + y ² ≤ 9, −5 ≤ z ≤ 5} . Преобразование D в цилиндрических координатах следующее:

${\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -5\leq z\leq 5\}.}$

в то время как функция становится

${\displaystyle f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)=\rho ^{2}+z}$

Наконец, можно применить формулу интегрирования:

${\displaystyle \iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\left(\rho ^{2}+z\right)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz;}$

разработка формулы у вас есть

${\displaystyle \int _{-5}^{5}dz\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3}\left(\rho ^{3}+\rho z\right)\,d\rho =2\pi \int _{-5}^{5}\left[{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\,dz=2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z\right)\,dz=\cdots =405\pi .}$

Сферические координаты [ править ]

В R ³ некоторые области обладают сферической симметрией, поэтому можно указать координаты каждой точки области интегрирования двумя углами и одним расстоянием. Поэтому можно использовать переход к сферическим координатам ; функция преобразуется этим соотношением:

${\displaystyle f(x,y,z)\longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \varphi ,\rho \sin \theta \sin \varphi ,\rho \cos \varphi )}$

Точки на оси z не имеют точной характеристики в сферических координатах, поэтому θ может варьироваться от 0 до 2 π .

Лучшая область интеграции для этого отрывка - сфера.

Пример 4а. Область имеет вид D = x ² + y ² + z ² ≤ 16 (сфера с радиусом 4 и центром в начале координат); применив преобразование, вы получите регион

${\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}.}$

Определитель якобиана этого преобразования следующий:

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \varphi &0&-\rho \sin \varphi \end{vmatrix}}=\rho ^{2}\sin \varphi }$

Следовательно, дифференциалы dx dy dz преобразуются в ρ ² sin ( φ ) dρ dθ dφ .

Это дает окончательную формулу интегрирования:

${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi .}$

Лучше использовать этот метод в случае сферических областей и в случае функций, которые могут быть легко упрощены первым фундаментальным соотношением тригонометрии, распространенным на R ³ (см. Пример 4b); в других случаях может быть лучше использовать цилиндрические координаты (см. Пример 4c).

${\displaystyle \iiint _{T}f(a,b,c)\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi .}$

Дополнительные ρ ² и sin φ происходят из якобиана.

В следующих примерах роли φ и θ поменялись местами.

Пример 4б. D - та же область, что и в примере 4a, а f ( x , y , z ) = x ² + y ² + z ² - функция, которую нужно интегрировать. Его трансформация очень проста:

${\displaystyle f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )=\rho ^{2},}$

в то время как мы знаем интервалы преобразованной области T из D :

${\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}.}$

Поэтому мы применяем формулу интегрирования:

${\displaystyle \iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\rho ^{2}\,\rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi ,}$

и, развиваясь, получаем

${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\,d\varphi =2\pi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4096\pi }{5}}.}$

Пример 4в. Область D представляет собой шар с центром в начале координат и радиусом 3 a ,

${\displaystyle D=\left\{x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9a^{2}\right\}}$

и f ( x , y , z ) = x ² + y ² - функция, которую нужно интегрировать.

Глядя на область, кажется удобным принять переход к сферическим координатам, на самом деле интервалы переменных, которые ограничивают новую область T , очевидно:

${\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi \}.}$

Однако применяя преобразование, получаем

${\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\longrightarrow \rho ^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi =\rho ^{2}\sin ^{2}\theta }$.

Применяя формулу интегрирования, получаем:

${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi }$

что очень сложно решить. Эта проблема будет решена с помощью перехода к цилиндрическим координатам. Новые интервалы T равны

${\displaystyle T=\left\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\leq z\leq {\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\right\};}$

г интервал был получен путем деления шар на две полусферы просто путем решения неравенства из формулы D (а затем непосредственно преобразование х ² + у ² в р ² ). Новая функция - это просто ρ ² . Применяя формулу интегрирования

${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz.}$

Тогда получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3a}\rho ^{3}d\rho \int _{-{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}}^{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,dz&=2\pi \int _{0}^{3a}2\rho ^{3}{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,d\rho \\&=-2\pi \int _{9a^{2}}^{0}(9a^{2}-t){\sqrt {t}}\,dt&&t=9a^{2}-\rho ^{2}\\&=2\pi \int _{0}^{9a^{2}}\left(9a^{2}{\sqrt {t}}-t{\sqrt {t}}\right)\,dt\\&=2\pi \left(\int _{0}^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\,dt-\int _{0}^{9a^{2}}t{\sqrt {t}}\,dt\right)\\&=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}\\&=2\cdot 27\pi a^{5}\left(6-{\frac {18}{5}}\right)\\&={\frac {648\pi }{5}}a^{5}.\end{aligned}}}$

Благодаря переходу к цилиндрическим координатам тройной интеграл удалось свести к более простому интегралу с одной переменной.

См. Также ввод дифференциального объема в набле в цилиндрических и сферических координатах .

Примеры [ править ]

Двойной интеграл по прямоугольнику [ править ]

Предположим, что мы хотим проинтегрировать функцию многих переменных f по области A :

${\displaystyle A=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ 11\leq x\leq 14\ ;\ 7\leq y\leq 10\right\}{\mbox{ and }}f(x,y)=x^{2}+4y\,}$

Отсюда сформулируем повторный интеграл

${\displaystyle \int _{7}^{10}\int _{11}^{14}(x^{2}+4y)\,dx\,dy}$

Сначала выполняется внутренний интеграл, интегрируя по x и принимая y как константу, поскольку это не переменная интегрирования . Результат этого интеграла, который является функцией, зависящей только от y , затем интегрируется по y .

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\left(x^{2}+4y\right)\,dx&=\left[{\frac {1}{3}}x^{3}+4yx\right]_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}+4y(14)-{\frac {1}{3}}(11)^{3}-4y(11)\\&=471+12y\end{aligned}}}$

Затем мы проинтегрируем результат по y .

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{7}^{10}(471+12y)\ dy&={\Big [}471y+6y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\\&=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\&=1719\end{aligned}}}$

В случаях, когда двойной интеграл абсолютного значения функции конечен, порядок интегрирования является взаимозаменяемым, то есть сначала интегрирование по x, а сначала интегрирование по y дает тот же результат. Это теорема Фубини . Например, выполнение предыдущего расчета с обратным порядком дает тот же результат:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\int _{7}^{10}\,\left(x^{2}+4y\right)\,dy\,dx&=\int _{11}^{14}{\Big [}x^{2}y+2y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\,dx\\&=\int _{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\&={\Big [}x^{3}+102x{\Big ]}_{x=11}^{x=14}\\&=1719.\end{aligned}}}$

Двойной интеграл по нормальной области [ править ]

Рассмотрим регион (см. Рисунок в примере):

${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}\}}$

Рассчитать

${\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy.}$

Эта область нормальна по отношению к осям x и y . Для применения формул требуется найти функции, определяющие D, и интервалы, на которых эти функции определены. В этом случае две функции:

${\displaystyle \alpha (x)=x^{2}{\text{ and }}\beta (x)=1}$

в то время как интервал задается пересечениями функций с x  = 0, поэтому интервал равен [ a ,  b ] = [0, 1] (нормальность была выбрана по отношению к оси x для лучшего визуального понимания).

Теперь можно применить формулу:

${\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}}$

(сначала вычисляется второй интеграл, считая x константой). Остальные операции состоят из применения основных техник интеграции:

${\displaystyle \int _{0}^{1}\left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx=\cdots ={\frac {13}{20}}.}$

Если мы выберем нормальность по оси y, мы сможем вычислить

${\displaystyle \int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,dx.}$

и получите такое же значение.

Расчет объема [ править ]

Используя ранее описанные методы, можно рассчитать объемы некоторых обычных твердых веществ.

• Цилиндр : Объем цилиндра высотой h и круглым основанием радиуса R может быть вычислен путем интегрирования постоянной функции h по круглому основанию с использованием полярных координат.

${\displaystyle \mathrm {Volume} =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\int _{0}^{R}h\rho \,d\rho =2\pi h\left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h}$

Это согласуется с формулой для объема призмы

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={\text{base area}}\times {\text{height}}.}$

• Сфера : Объем сферы с радиусом R может быть вычислен путем интегрирования постоянной функции 1 по сфере с использованием сферических координат.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\&=\iiint _{D}1\,dV\\&=\iiint _{S}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi \\&=\int _{0}^{2\pi }\,d\theta \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi {\frac {R^{3}}{3}}\,d\varphi \\&={\frac {2}{3}}\pi R^{3}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.\end{aligned}}}$

• Тетраэдр (треугольная пирамида или 3- симплекс ): Объем тетраэдра с его вершиной в начале координат и ребрами длины ℓ вдольосей x -, y - и z может быть вычислен путем интегрирования постоянной функции 1 по тетраэдру.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}\,dy\int _{0}^{\ell -x-y}\,dz\\&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}(\ell -x-y)\,dy\\&=\int _{0}^{\ell }\left(l^{2}-2\ell x+x^{2}-{\frac {(\ell -x)^{2}}{2}}\right)\,dx\\&=\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac {\ell ^{3}}{3}}-\left[{\frac {\ell ^{2}x}{2}}-{\frac {\ell x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}\right]_{0}^{\ell }\\&={\frac {\ell ^{3}}{3}}-{\frac {\ell ^{3}}{6}}={\frac {\ell ^{3}}{6}}\end{aligned}}}$

Это согласуется с формулой для объема пирамиды.

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={\frac {1}{3}}\times {\text{base area}}\times {\text{height}}={\frac {1}{3}}\times {\frac {\ell ^{2}}{2}}\times \ell ={\frac {\ell ^{3}}{6}}.}$

Множественный несобственный интеграл [ править ]

В случае неограниченных областей или функций, не ограниченных вблизи границы области, мы должны ввести двойной несобственный интеграл или тройной несобственный интеграл .

Множественные интегралы и повторные интегралы [ править ]

Теорема Фубини утверждает, что если ^[4]

${\displaystyle \iint _{A\times B}\left|f(x,y)\right|\,d(x,y)<\infty ,}$

то есть, если интеграл абсолютно сходится, то кратный интеграл даст тот же результат, что и любой из двух повторных интегралов:

${\displaystyle \iint _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy.}$

В частности, это произойдет, если | f ( x , y ) | - ограниченная функция, а A и B - ограниченные множества .

Если интеграл не является абсолютно сходящимся, необходимо соблюдать осторожность, чтобы не путать понятия множественного интеграла и повторного интеграла , тем более что для обоих понятий часто используются одни и те же обозначения. Обозначение

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx}$

в некоторых случаях означает повторный интеграл, а не истинный двойной интеграл. В повторном интеграле внешний интеграл

${\displaystyle \int _{0}^{1}\cdots \,dx}$

представляет собой интеграл по x от следующей функции x :

${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy.}$

С другой стороны, двойной интеграл определяется относительно площади на плоскости xy . Если двойной интеграл существует, то он равен каждому из двух повторных интегралов (либо « dy dx », либо « dx dy »), и его часто вычисляют путем вычисления любого из повторяемых интегралов. Но иногда два повторных интеграла существуют, когда двойного интеграла нет, и в некоторых таких случаях два повторных интеграла - это разные числа, т. Е. Один имеет

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx\neq \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\,dy.}$

Это пример перестановки условно сходящегося интеграла.

С другой стороны, некоторые условия гарантируют, что два повторных интеграла равны, даже если нет необходимости в двойном интеграле. По теореме Фихтенхольца - Лихтенштейна , если f ограничено на [0, 1] × [0, 1] и существуют оба повторных интеграла, то они равны. Кроме того, наличие внутренних интегралов обеспечивает существование внешних интегралов. ^{[6] [7] [8]} Двойной интеграл не существует необходимость в этом случае , даже как интеграл Лебега , согласно Серпинскому . ^[9]

Обозначение

${\displaystyle \int _{[0,1]\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy}$

может использоваться, если кто-то хочет выразить намерение иметь двойной интеграл, а не повторный интеграл.

Некоторые практические приложения [ править ]

В общем, как и в случае с одной переменной, можно использовать кратный интеграл, чтобы найти среднее значение функции по заданному набору. Для множества D ⊆ R ⁿ и интегрируемой функции f над D среднее значение f по его области определения задается выражением

${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(x)\,dx,}$

где т ( Д ) является мерой из D .

Кроме того, множественные интегралы используются во многих приложениях в физике . В приведенных ниже примерах также показаны некоторые варианты обозначений.

В механике , то момент инерции вычисляются как интеграл объема (тройной интеграл) от плотности взвешиваемого квадрату расстояния от оси:

${\displaystyle I_{z}=\iiint _{V}\rho r^{2}\,dV.}$

Гравитационный потенциал , связанный с распределением массы , заданной массовой мерой дм на трехмерном евклидовом пространстве R ³ представляет ^[10]

${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,dm(\mathbf {y} ).}$

Если существует непрерывная функция ρ ( x ), представляющая плотность распределения в точке x , так что dm ( x ) = ρ ( x ) d ³ x , где d ³ x - евклидов элемент объема , то гравитационный потенциал равен

${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,\rho (\mathbf {y} )\,d^{3}\mathbf {y} .}$

В электромагнетизма , уравнения Максвелла можно записать с помощью многократных интегралов для расчета суммарных магнитных и электрических полей. ^[11] В следующем примере электрическое поле, создаваемое распределением зарядов, заданным объемной плотностью заряда ρ ( r → ) , получается тройным интегралом векторной функции:

${\displaystyle {\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{\left\|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right\|^{3}}}\rho ({\vec {r}}')\,d^{3}r'.}$

Это также может быть записано в виде интеграла по отношению к показателю со знаком, представляющему распределение заряда.

См. Также [ править ]

• Основные теоремы анализа , связывающие множественные интегралы:
  • Теорема расходимости
  • Теорема Стокса
  • Теорема Грина

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Адамс, Роберт А. (2003). Исчисление: полный курс (5-е изд.). ISBN 0-201-79131-5.
• Джайн, РК; Айенгар, SRK (2009). Высшая инженерная математика (3-е изд.). Издательство Нароса. ISBN 978-81-7319-730-7.
• Герман, Эдвин «Джед» и Стрэнг, Гилберт (2016)  : Расчет : Том 3 : OpenStax, Университет Райса, Хьюстон, Техас, США. ISBN 978-1-50669-805-2 . ( PDF ) 

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Кратный интеграл» . MathWorld .
• Л. Д. Кудрявцев (2001) [1994], "Кратный интеграл" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Помощник по математике в Интернете онлайн-оценка двойных интегралов в декартовых и полярных координатах (включает промежуточные этапы решения, на базе Maxima (программное обеспечение) )