Список моментов инерции

Момент инерции , обозначаемый $I$ , измеряет степень сопротивления объекта ускорению вращения вокруг определенной оси и является вращательным аналогом массы (которая определяет сопротивление объекта линейному ускорению ). Массовые моменты инерции имеют единицы по размерности ML² ([масса] × [длина]² ). Его не следует путать со вторым моментом площади , который используется при расчетах балок. Момент инерции массы часто называют инерцией вращения , а иногда и угловой массой..

Для простых объектов с геометрической симметрией часто можно определить момент инерции в точном замкнутом выражении . Обычно это происходит, когда массовая плотность постоянна, но в некоторых случаях плотность также может изменяться по всему объекту. В общем, может быть непросто символически выразить момент инерции форм с более сложным распределением масс и отсутствием симметрии. При вычислении моментов инерции полезно помнить, что это аддитивная функция, и использовать теоремы о параллельной оси и перпендикулярной оси .

В этой статье в основном рассматриваются симметричные распределения массы с постоянной плотностью по всему объекту, а ось вращения берется через центр масс, если не указано иное.

Моменты инерции [ править ]

Ниже приведены скалярные моменты инерции. В общем, момент инерции - это тензор , см. Ниже.

Описание	Фигура	Момент (ы) инерции
Точечная масса M на расстоянии r от оси вращения. Точечная масса не имеет момента инерции вокруг своей оси, но с помощью теоремы о параллельных осях достигается момент инерции вокруг удаленной оси вращения.		${\ displaystyle I = мистер ^ {2}}$
Две точечные массы m ₁ и m ₂ с приведенной массой μ, разделенные расстоянием x , вокруг оси, проходящей через центр масс системы и перпендикулярной линии, соединяющей две частицы.		${\ displaystyle I = {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} \! + \! m_ {2}}} x ^ {2} = \ mu x ^ {2}}$
Тонкий стержень длиной L и массой m , перпендикулярный оси вращения, вращается вокруг своего центра. Это выражение предполагает, что стержень представляет собой бесконечно тонкую (но жесткую) проволоку. Это частный случай тонкой прямоугольной пластины с осью вращения в центре пластины с w = L и h = 0.		${\ displaystyle I _ {\ mathrm {center}} = {\ frac {1} {12}} mL ^ {2} \, \!}$ ^[1]
Тонкий стержень длиной L и массой m , перпендикулярный оси вращения, вращается вокруг одного конца. Это выражение предполагает, что стержень представляет собой бесконечно тонкую (но жесткую) проволоку. Это также частный случай тонкой прямоугольной пластины с осью вращения на конце пластины с h = L и w = 0.		${\ displaystyle I _ {\ mathrm {end}} = {\ frac {1} {3}} mL ^ {2} \, \!}$ ^[1]
Тонкая круговая петля радиуса r и массы m . Это частный случай тора при a = 0 (см. Ниже), а также толстостенной цилиндрической трубы с открытыми концами, где r ₁ = r ₂ и h = 0.		${\ displaystyle I_ {z} = мистер ^ {2} \!}$ ${\ Displaystyle I_ {x} = I_ {y} = {\ frac {1} {2}} г-н ^ {2} \, \!}$
Тонкий твердый диск радиуса r и массы m . Это частный случай твердого цилиндра с h = 0. Это следствие теоремы о перпендикулярной оси . ${\ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = {\ frac {I_ {z}} {2}} \,}$		${\ displaystyle I_ {z} = {\ frac {1} {2}} мистер ^ {2} \, \!}$ ${\ Displaystyle I_ {x} = I_ {y} = {\ frac {1} {4}} г-н ^ {2} \, \!}$
Равномерное кольцевое пространство (диск с концентрическим отверстием) массой m , внутренним радиусом r ₁ и внешним радиусом r _2.		${\ displaystyle I = {\ frac {1} {2}} m (r_ {1} ^ {2} + r_ {2} ^ {2})}$
Кольцо с постоянной плотностью поверхности ${\ displaystyle \ rho _ {A}}$		$I={\frac {1}{2}}\pi \rho _{A}(r_{2}^{4}-r_{1}^{4})$
Тонкая цилиндрическая оболочка с открытыми торцами радиуса r и массы m . Это выражение предполагает, что толщиной оболочки можно пренебречь. Это частный случай толстостенной цилиндрической трубы при r ₁ = r ₂ . Кроме того, точечная масса m на конце стержня длиной r имеет тот же момент инерции, а значение r называется радиусом вращения .		$I\approx mr^{2}\,\!$ ^[1]
Сплошной цилиндр радиуса r , высоты h и массы m . Это частный случай толстостенной цилиндрической трубы с r ₁ = 0.		$I_{z}={\frac {1}{2}}mr^{2}\,\!$ ^[1] $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m\left(3r^{2}+h^{2}\right)$
Толстостенная цилиндрическая труба с открытыми концами, внутренним радиусом r ₁ , внешним радиусом r ₂ , длиной h и массой m .		$I_{z}={\frac {1}{2}}m\left(r_{2}^{2}+r_{1}^{2}\right)=mr_{2}^{2}\left(1-t+{\frac {t^{2}}{2}}\right)$ ^[1]^[2] где t = ( r ₂ - r ₁ ) / r ₂ - нормализованное отношение толщины; Вышеупомянутая формула предназначена для плоскости xy, находящейся в середине цилиндра. Если плоскость xy находится в основании цилиндра, применяется следующая формула: $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m\left(3\left(r_{2}^{2}+r_{1}^{2}\right)+h^{2}\right)$ $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m\left(3\left(r_{2}^{2}+r_{1}^{2}\right)+4h^{2}\right)$
При плотности ρ и той же геометрии примечание: это для объекта с постоянной плотностью		$I_{z}={\frac {\pi \rho h}{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)$ $I_{x}=I_{y}={\frac {\pi \rho h}{12}}\left(3(r_{2}^{4}-r_{1}^{4})+h^{2}(r_{2}^{2}-r_{1}^{2})\right)$
Правильный тетраэдр со стороной s и массой m		$I_{\mathrm {solid} }={\frac {1}{20}}ms^{2}\,\!$ $I_{\mathrm {hollow} }={\frac {1}{12}}ms^{2}\,\!$ ^[3]
Правильный октаэдр со стороной s и массой m		$I_{x,\mathrm {hollow} }=I_{y,\mathrm {hollow} }=I_{z,\mathrm {hollow} }={\frac {1}{6}}ms^{2}\,\!$ ^[3]^[3] $I_{x,\mathrm {solid} }=I_{y,\mathrm {solid} }=I_{z,\mathrm {solid} }={\frac {1}{10}}ms^{2}\,\!$
Правильный додекаэдр со стороной s и массой m		$I_{x,\mathrm {hollow} }=I_{y,\mathrm {hollow} }=I_{z,\mathrm {hollow} }={\frac {39\phi +28}{90}}ms^{2}$ $I_{x,\mathrm {solid} }=I_{y,\mathrm {solid} }=I_{z,\mathrm {solid} }={\frac {39\phi +28}{150}}ms^{2}\,\!$ (где ) ^[3] $\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$
Правильный икосаэдр со стороной s и массой m		$I_{x,\mathrm {hollow} }=I_{y,\mathrm {hollow} }=I_{z,\mathrm {hollow} }={\frac {\phi ^{2}}{6}}ms^{2}$ $I_{x,\mathrm {solid} }=I_{y,\mathrm {solid} }=I_{z,\mathrm {solid} }={\frac {\phi ^{2}}{10}}ms^{2}\,\!$ ^[3]
Полая сфера радиуса r и массы m . Полую сферу можно рассматривать как состоящую из двух стопок бесконечно тонких круглых обручей с радиусом от 0 до r .		$I={\frac {2}{3}}mr^{2}\,\!$ ^[1]
Твердая сфера (шар) радиуса r и массы m . Сфера может быть представлена как состоящая из двух стопок бесконечно тонких твердых дисков с радиусом от 0 до r (или одной стопки с радиусом от - r до r ).		$I={\frac {2}{5}}mr^{2}\,\!$ ^[1]
Сфера (оболочка) радиуса r ₂ и массы m , с центрированной сферической полостью радиуса r ₁ . Когда радиус полости r ₁ = 0, объект представляет собой сплошной шар (вверху). Когда г ₁ = г ₂ , и объект представляет собой полый шар. $\left({\frac {r_{2}^{5}-r_{1}^{5}}{r_{2}^{3}-r_{1}^{3}}}\right)={\frac {5}{3}}r_{2}^{2}$		$I={\frac {2}{5}}m\left({\frac {r_{2}^{5}-r_{1}^{5}}{r_{2}^{3}-r_{1}^{3}}}\right)\,\!$ ^[1]
Правый круговой конус радиусом r , высотой h и массой m		$I_{z}={\frac {3}{10}}mr^{2}\,\!$ ^[4] Об оси, проходящей через наконечник: ^[4] Об оси, проходящей через основание: Об оси, проходящей через центр масс: $I_{x}=I_{y}=m\left({\frac {3}{20}}r^{2}+{\frac {3}{5}}h^{2}\right)\,\!$ $I_{x}=I_{y}=m\left({\frac {3}{20}}r^{2}+{\frac {1}{10}}h^{2}\right)\,\!$ $I_{x}=I_{y}=m\left({\frac {3}{20}}r^{2}+{\frac {3}{80}}h^{2}\right)\,\!$
Правый полый круговой конус радиусом r , высотой h и массой m		$I_{z}={\frac {1}{2}}mr^{2}\,\!$ ^[4]^[4] $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{4}}m\left(r^{2}+2h^{2}\right)\,\!$
Тор с малым радиусом a , большим радиусом b и массой m .		Об оси, проходящей через центр и перпендикулярной диаметру: ^[5] Об диаметре: ^[5] ${\frac {1}{4}}m\left(4b^{2}+3a^{2}\right)$ ${\frac {1}{8}}m\left(5a^{2}+4b^{2}\right)$
Эллипсоид (твердое тело) полуосей a , b и c с массой m		$I_{a}={\frac {1}{5}}m\left(b^{2}+c^{2}\right)\,\!$ $I_{b}={\frac {1}{5}}m\left(a^{2}+c^{2}\right)\,\!$ $I_{c}={\frac {1}{5}}m\left(a^{2}+b^{2}\right)\,\!$
Тонкая прямоугольная пластина высотой h , шириной w и массой m (ось вращения на конце пластины)		$I_{e}={\frac {1}{12}}m\left(4h^{2}+w^{2}\right)\,\!$
Тонкая прямоугольная пластина высотой h , шириной w и массой m (ось вращения в центре)		$I_{c}={\frac {1}{12}}m\left(h^{2}+w^{2}\right)\,\!$ ^[1]
Тонкая прямоугольная пластина радиуса r ^[a] и массы m (Ось вращения вдоль боковой стороны пластины)		$I={\frac {1}{3}}mr^{2}$
Твердый кубоид высотой h , шириной w , глубиной d и массой m . Для аналогично ориентированного куба со сторонами длиной , $s$ $I_{\mathrm {CM} }={\frac {1}{6}}ms^{2}\,\!$		$I_{h}={\frac {1}{12}}m\left(w^{2}+d^{2}\right)$ $I_{w}={\frac {1}{12}}m\left(d^{2}+h^{2}\right)$ $I_{d}={\frac {1}{12}}m\left(w^{2}+h^{2}\right)$
Твердый кубоид высотой D , шириной W , длиной L и массой m , вращающийся вокруг самой длинной диагонали. Для куба со сторонами , . $s$ $I={\frac {1}{6}}ms^{2}\,\!$		$I={\frac {1}{6}}m\left({\frac {W^{2}D^{2}+D^{2}L^{2}+W^{2}L^{2}}{W^{2}+D^{2}+L^{2}}}\right)$
Наклонный сплошной кубоид глубины d , ширины w , длины l и массы m , вращающийся вокруг вертикальной оси (ось y, как показано на рисунке). Для куба со сторонами , . $s$ $I={\frac {1}{6}}ms^{2}\,\!$		$I={\frac {m}{12}}\left(l^{2}\cos ^{2}\beta +d^{2}\sin ^{2}\beta +w^{2}\right)$ ^[6]
Треугольник с вершинами в начале координат и в точках P и Q , с массой m , вращающийся вокруг оси, перпендикулярной плоскости, и проходящей через начало координат.		$I={\frac {1}{6}}m(\mathbf {P} \cdot \mathbf {P} +\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} +\mathbf {Q} \cdot \mathbf {Q} )$
Плоский многоугольник с вершинами P ₁ , P ₂ , P ₃ , ..., P _N и массой m, равномерно распределенной внутри него, вращающийся вокруг оси, перпендикулярной плоскости, и проходящей через начало координат.		$I=m\left({\frac {\sum \limits _{n=1}^{N}\\|\mathbf {P} _{n+1}\times \mathbf {P} _{n}\\|\left(\left(\mathbf {P} _{n}\cdot \mathbf {P} _{n}\right)+\left(\mathbf {P} _{n}\cdot \mathbf {P} _{n+1}\right)+\left(\mathbf {P} _{n+1}\cdot \mathbf {P} _{n+1}\right)\right)}{6\sum \limits _{n=1}^{N}\\|\mathbf {P} _{n+1}\times \mathbf {P} _{n}\\|}}\right)$
Самолет правильный многоугольник с п -vertices и масс - м равномерно распределены по его внутренней, вращающийся вокруг оси , перпендикулярной плоскости и проходящей через его барицентра. R - радиус описанной окружности.		$I={\frac {1}{2}}mR^{2}\left(1-{\frac {2}{3}}\sin ^{2}\left({\tfrac {\pi }{n}}\right)\right)$ ^[7]
Равнобедренный треугольник массы M , угла при вершине 2β и длины общей стороны L (ось, проходящая через вершину, перпендикулярна плоскости)		$I={\frac {1}{2}}mL^{2}\left(1-{\frac {2}{3}}\sin ^{2}\left(\beta \right)\right)$ ^[7]
Бесконечный диск с массой, распределенной в двумерном гауссовском распределении по двум осям вокруг оси вращения с плотностью массы как функцией вектора положения ${\mathbf {x} }$ $\rho ({\mathbf {x} })=m{\frac {\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\mathbf {x} }^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\mathbf {x} }\right)}{\sqrt {(2\pi )^{2}\|{\boldsymbol {\Sigma }}\|}}}$		$I=m\cdot \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\Sigma }})\,\!$

Список трехмерных тензоров инерции [ править ]

Этот список тензоров момента инерции дан для главных осей каждого объекта.

Чтобы получить скалярные моменты инерции I, указанные выше, тензорный момент инерции I проецируется вдоль некоторой оси, определяемой единичным вектором n, в соответствии с формулой:

\mathbf {n} \cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {n} \equiv n_{i}I_{ij}n_{j}\,,

где точки обозначают тензорное сжатие и используется соглашение Эйнштейна о суммировании . В приведенной выше таблице n будет единичным декартовым базисом e _x , e _y , e _z для получения I _x , I _y , I _z соответственно.

Описание	Фигура	Момент тензора инерции
Твердая сфера радиуса r и массы m		$I={\begin{bmatrix}{\frac {2}{5}}mr^{2}&0&0\\0&{\frac {2}{5}}mr^{2}&0\\0&0&{\frac {2}{5}}mr^{2}\end{bmatrix}}$
Полая сфера радиуса r и массы m		$I={\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}mr^{2}&0&0\\0&{\frac {2}{3}}mr^{2}&0\\0&0&{\frac {2}{3}}mr^{2}\end{bmatrix}}$
Твердый эллипсоид полуосей a , b , c и массы m		$I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{5}}m(b^{2}+c^{2})&0&0\\0&{\frac {1}{5}}m(a^{2}+c^{2})&0\\0&0&{\frac {1}{5}}m(a^{2}+b^{2})\end{bmatrix}}$
Правый круговой конус радиусом r , высотой h и массой m около вершины		$I={\begin{bmatrix}{\frac {3}{5}}mh^{2}+{\frac {3}{20}}mr^{2}&0&0\\0&{\frac {3}{5}}mh^{2}+{\frac {3}{20}}mr^{2}&0\\0&0&{\frac {3}{10}}mr^{2}\end{bmatrix}}$
Сплошной кубоид шириной w , высотой h , глубиной d и массой m		$I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{12}}m(h^{2}+d^{2})&0&0\\0&{\frac {1}{12}}m(w^{2}+d^{2})&0\\0&0&{\frac {1}{12}}m(w^{2}+h^{2})\end{bmatrix}}$
Тонкий стержень по оси y длиной l и массой m на конце		$I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{3}}ml^{2}&0&0\\0&0&0\\0&0&{\frac {1}{3}}ml^{2}\end{bmatrix}}$
Тонкий стержень по оси y длиной l и массой m относительно центра		$I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{12}}ml^{2}&0&0\\0&0&0\\0&0&{\frac {1}{12}}ml^{2}\end{bmatrix}}$
Сплошной цилиндр радиуса r , высоты h и массы m		$I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{12}}m(3r^{2}+h^{2})&0&0\\0&{\frac {1}{12}}m(3r^{2}+h^{2})&0\\0&0&{\frac {1}{2}}mr^{2}\end{bmatrix}}$
Толстостенная цилиндрическая труба с открытыми концами, внутренним радиусом r ₁ , внешним радиусом r ₂ , длиной h и массой m		$I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{12}}m(3(r_{2}^{2}+r_{1}^{2})+h^{2})&0&0\\0&{\frac {1}{12}}m(3(r_{2}^{2}+r_{1}^{2})+h^{2})&0\\0&0&{\frac {1}{2}}m(r_{2}^{2}+r_{1}^{2})\end{bmatrix}}$

См. Также [ править ]

Список вторых моментов площади
Теорема о параллельной оси
Теорема о перпендикулярной оси

Заметки [ править ]

^ Ширина перпендикулярно оси вращения (сторона пластины); высота (параллельно оси) значения не имеет.

Ссылки [ править ]

^ a b c d e f g h i Раймонд А. Сервей (1986). Физика для ученых и инженеров (2-е изд.). Издательство колледжа Сондерс. п. 202 . ISBN 0-03-004534-7.
^ Классическая механика - Момент инерции однородного полого цилиндра. Архивировано 7 февраля 2008 г. на Wayback Machine . LivePhysics.com. Проверено 31 января 2008.
^ a b c d e Саттерли, Джон (1958). «Моменты инерции некоторых многогранников». Математический вестник . Математическая ассоциация. 42 (339): 11–13. DOI : 10.2307 / 3608345 . JSTOR 3608345 .
^ a b c d Фердинанд П. Бир и Э. Рассел Джонстон-младший (1984). Векторная механика для инженеров, четвертое изд . Макгроу-Хилл. п. 911. ISBN 0-07-004389-2.
^ а б Эрик В. Вайстейн . «Момент инерции - кольцо» . Wolfram Research . Проверено 14 декабря 2016 .
^ А. Панагопулос и Г. Халкиадакис. Момент инерции потенциально наклонных кубоидов. Технический отчет, Саутгемптонский университет, 2015 г.
^ а б Дэвид Морин (2010). Введение в классическую механику: проблемы и решения; первое издание (8 января 2010 г.) . Издательство Кембриджского университета. п. 320 . ISBN 978-0521876223.

Внешние ссылки [ править ]

Тензор инерции тетраэдра
Учебное пособие по определению момента инерции для обычных форм

[6] Ширина перпендикулярно оси вращения (сторона пластины); высота (параллельно оси) значения не имеет.

[serway-1] ^ a b c d e f g h i Раймонд А. Сервей (1986). Физика для ученых и инженеров (2-е изд.). Издательство колледжа Сондерс. п. 202 . ISBN 0-03-004534-7.

[2] Классическая механика - Момент инерции однородного полого цилиндра. Архивировано 7 февраля 2008 г. на Wayback Machine . LivePhysics.com. Проверено 31 января 2008.

[satterly-3] Саттерли, Джон (1958). «Моменты инерции некоторых многогранников». Математический вестник . Математическая ассоциация. 42 (339): 11–13. DOI : 10.2307 / 3608345 . JSTOR 3608345 .

[beer-4] Фердинанд П. Бир и Э. Рассел Джонстон-младший (1984). Векторная механика для инженеров, четвертое изд . Макгроу-Хилл. п. 911. ISBN 0-07-004389-2.

[weisstein_torus-5] а б Эрик В. Вайстейн . «Момент инерции - кольцо» . Wolfram Research . Проверено 14 декабря 2016 .

[7] А. Панагопулос и Г. Халкиадакис. Момент инерции потенциально наклонных кубоидов. Технический отчет, Саутгемптонский университет, 2015 г.

[six-8] а б Дэвид Морин (2010). Введение в классическую механику: проблемы и решения; первое издание (8 января 2010 г.) . Издательство Кембриджского университета. п. 320 . ISBN 978-0521876223.

[1]