В физике , угловое ускорение относится к скорости времени изменения угловой скорости . Поскольку существует два типа угловой скорости, а именно угловая скорость вращения и орбитальная угловая скорость, естественно также существуют два типа углового ускорения, называемые угловым ускорением вращения и орбитальным угловым ускорением соответственно. Угловое ускорение вращения относится к угловому ускорению твердого тела относительно его центра вращения, а орбитальное угловое ускорение относится к угловому ускорению точечной частицы относительно фиксированного начала координат.
Радиан на секунду в квадрате | |
---|---|
Система единиц | Производная единица СИ |
Единица | Угловое ускорение |
Символ | рад / с 2 |
Угловое ускорение измеряется в единицах угла на единицу квадрата времени (что в единицах СИ - радианы на секунду в квадрате) и обычно обозначается символом альфа ( α ). В двух измерениях угловое ускорение представляет собой псевдоскаляр , знак которого считается положительным, если угловая скорость увеличивается против часовой стрелки или уменьшается по часовой стрелке, и считается отрицательным, если угловая скорость увеличивается по часовой стрелке или уменьшается против часовой стрелки. В трех измерениях угловое ускорение - это псевдовектор . [1]
Для твердых тел угловое ускорение должно быть вызвано чистым внешним крутящим моментом . Однако это не так для нежестких тел: например, фигуристка может ускорить свое вращение (тем самым получая угловое ускорение), просто сжимая руки и ноги внутрь, что не требует внешнего крутящего момента.
Орбитальное угловое ускорение точечной частицы.
Частица в двух измерениях
В двух измерениях орбитальное угловое ускорение - это скорость, с которой изменяется двумерная орбитальная угловая скорость частицы относительно начала координат. Мгновенная угловая скорость ω в любой момент времени определяется выражением
- ,
где расстояние от начала координат и представляет собой поперечно-радиальную составляющую мгновенной скорости (т.е. составляющую, перпендикулярную вектору положения), которая по соглашению является положительной для движения против часовой стрелки и отрицательной для движения по часовой стрелке.
Следовательно, мгновенное угловое ускорение частицы α определяется выражением
- . [2]
Расширяя правую часть с помощью правила произведения из дифференциального исчисления, это становится
- .
В частном случае, когда частица совершает круговое движение вокруг начала координат, становится просто тангенциальным ускорением , а также исчезает (так как расстояние от начала координат остается постоянным), поэтому приведенное выше уравнение упрощается до
- .
В двух измерениях угловое ускорение - это число со знаком плюс или минус, указывающее ориентацию, но не указывающее в направлении. Знак обычно считается положительным, если угловая скорость увеличивается в направлении против часовой стрелки или уменьшается в направлении по часовой стрелке, и знак считается отрицательным, если угловая скорость увеличивается в направлении по часовой стрелке или уменьшается в направлении против часовой стрелки. Тогда угловое ускорение можно назвать псевдоскалярным , числовой величиной, которая меняет знак при инверсии четности , такой как инвертирование одной оси или переключение двух осей.
Частица в трех измерениях
В трех измерениях орбитальное угловое ускорение - это скорость, с которой трехмерный вектор орбитальной угловой скорости изменяется со временем. Вектор мгновенной угловой скорости в любой момент времени дается
- ,
где - вектор положения частицы, его расстояние от начала координат, и его вектор скорости. [2]
Следовательно, орбитальное угловое ускорение - это вектор определяется
- .
Расширяя эту производную с помощью правила произведения для перекрестных произведений и обычного правила частного, получаем:
С просто , второй член можно переписать как . В случае, когда расстояние частицы из исходной точки не изменяется со временем (что включает в себя круговое движение как подслучай), второй член исчезает, а приведенная выше формула упрощается до
- .
Из приведенного выше уравнения можно восстановить поперечное радиальное ускорение в этом частном случае как:
- .
В отличие от двухмерного, угловое ускорение в трех измерениях не обязательно связано с изменением угловой скорости.: Если вектор положения частицы "закручивается" в пространстве, изменяя ее мгновенную плоскость углового смещения, изменение направления угловой скоростипо-прежнему будет производить ненулевое угловое ускорение. Этого не может не произойти, если вектор положения ограничен фиксированной плоскостью, и в этом случае имеет фиксированное направление, перпендикулярное плоскости.
Вектор углового ускорения более правильно называть псевдовектором : он имеет три компонента, которые трансформируются при поворотах так же, как декартовы координаты точки, но не трансформируются, как декартовы координаты при отражениях.
Отношение к крутящему моменту
Чистый крутящий момент на точечной частице определяется как псевдовектор
- ,
где - чистая сила, действующая на частицу. [3]
Крутящий момент - это вращательный аналог силы: он вызывает изменение вращательного состояния системы, точно так же, как сила вызывает изменение поступательного состояния системы. Поскольку сила, действующая на частицу, связана с ускорением уравнением, можно написать аналогичное уравнение, связывающее крутящий момент на частице с угловым ускорением, хотя это соотношение обязательно более сложное. [4]
Во-первых, подставив в приведенное выше уравнение для крутящего момента, получаем
- .
Из предыдущего раздела:
- ,
где орбитальное угловое ускорение и - орбитальная угловая скорость. Следовательно:
В частном случае постоянного расстояния частицы из начала координат (), второй член в приведенном выше уравнении обращается в нуль и уравнение упрощается до
- ,
что можно интерпретировать как «вращательный аналог» , где величина (известный как момент инерции частицы) играет роль массы. Однако в отличие от, это уравнение не применяется к произвольной траектории, только к траектории, содержащейся внутри сферической оболочки относительно начала координат.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ «Вращательные переменные» . LibreTexts . MindTouch . Дата обращения 1 июля 2020 .
- ^ а б Сингх, Сунил К. "Угловая скорость" . Университет Райса.
- ^ Сингх, Сунил К. «Крутящий момент» . Университет Райса.
- ^ Mashood, KK Разработка и оценка концептуального инвентаря в вращательной кинематике (PDF) . Институт фундаментальных исследований Тата, Мумбаи. С. 52–54.