Теорема о перпендикулярной оси утверждает, что момент инерции плоской пластинки (т.е. двумерного тела) относительно оси, перпендикулярной плоскости пластинки, равен сумме моментов инерции пластинки относительно двух осей справа. углы друг к другу, в собственной плоскости, пересекающие друг друга в точке, где перпендикулярная ось проходит через них.
Определить перпендикулярные оси , , а также (которые встречаются в начале ) так, чтобы тело лежало в самолет, и ось перпендикулярна плоскости тела. Пусть I x , I y и I z - моменты инерции относительно осей x, y, z соответственно, теорема о перпендикулярной оси утверждает, что [1]
Это правило можно применить с теоремой о параллельных осях и правилом растяжения, чтобы найти полярные моменты инерции для различных форм.
Если плоский объект (или призма, по правилу растяжения ) обладает такой симметрией вращения, что а также равны [2] , то теорема о перпендикулярных осях дает полезное соотношение:
Вывод
Работая в декартовых координатах, момент инерции плоского тела относительно ось задается следующим образом: [3]
На самолете, , так что эти два члена являются моментами инерции относительно а также оси соответственно, что дает теорему о перпендикулярной оси. Обратное утверждение этой теоремы также выводится аналогично.
Обратите внимание, что потому что в , измеряет расстояние от оси вращения , поэтому для вращения по оси Y расстояние отклонения от оси вращения точки равно ее координате x.
Рекомендации
- ^ Пол А. Типлер (1976). «Глава 12: Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси». Физика . ISBN компании Worth Publishers Inc. 0-87901-041-X.
- ^ Обрегон, Хоакин (2012). Механическая симметрия . Авторский Дом. ISBN 978-1-4772-3372-6.
- ^ К.Ф. Райли, член парламента Хобсон и С.Дж. Бенс (2006). «Глава 6: Кратные интегралы». Математические методы для физики и техники . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-67971-8.