Плоская пластинка

В этой статье не процитировать какие - либо источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . Найти источники:  "Planar lamina"  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( сентябрь 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Эта статья может быть слишком технической, чтобы ее могло понять большинство читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технические детали. ( Октябрь 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , А плоская пластина представляет собой фигура , представляющая собой тонкий, как правило, плоский равномерный слой твердого тела. Он также служит идеализированной моделью плоского поперечного сечения твердого тела при интеграции .

Плоские пластинки можно использовать для определения моментов инерции или центра масс плоских фигур, а также для помощи в соответствующих расчетах для трехмерных тел.

Определение [ править ]

По сути, плоская пластина определяется как фигура ( замкнутое множество ) D конечной площади на плоскости с некоторой массой m . ^[1]

Это полезно при вычислении моментов инерции или центра масс для постоянной плотности, потому что масса пластинки пропорциональна ее площади. В случае переменной плотности, задаваемой некоторой (неотрицательной) функцией поверхностной плотности , масса плоской пластинки D представляет собой плоский интеграл от ρ по фигуре: ^[2]${\ Displaystyle \ rho (х, у)}$${\ displaystyle m}$

${\ Displaystyle м = \ iint _ {D} \ rho (x, y) \, dx \, dy}$

Свойства [ править ]

Центр масс пластинки находится в точке

${\ displaystyle \ left ({\ frac {M_ {y}} {m}}, {\ frac {M_ {x}} {m}} \ right)}$

где - момент всей пластинки вокруг оси y, а - момент всей пластинки вокруг оси x:${\ displaystyle M_ {y}}$${\ displaystyle M_ {x}}$

${\ displaystyle M_ {y} = \ lim _ {m, n \ to \ infty} \, \ sum _ {i = 1} ^ {m} \, \ sum _ {j = 1} ^ {n} \, x {_ {ij}} ^ {*} \, \ rho \ (x {_ {ij}} ^ {*}, y {_ {ij}} ^ {*}) \, \ Delta D = \ iint _ {D} х \, \ rho \ (x, y) \, dx \, dy}$

${\ Displaystyle M_ {x} = \ lim _ {m, n \ to \ infty} \, \ sum _ {i = 1} ^ {m} \, \ sum _ {j = 1} ^ {n} \, y {_ {ij}} ^ {*} \, \ rho \ (x {_ {ij}} ^ {*}, y {_ {ij}} ^ {*}) \, \ Delta D = \ iint _ {D} y \, \ rho \ (x, y) \, dx \, dy}$

с суммированием и интегрированием по плоской области .${\ displaystyle D}$

Пример [ править ]

Найдите центр масс пластинки с краями, обозначенными линиями, а плотность - как . ${\ displaystyle x = 0,}$ ${\ displaystyle y = x}$${\ Displaystyle у = 4-х}$${\ Displaystyle \ rho \ (х, у) \, = 2х + 3у + 2}$

Для этого необходимо найти массу , а также моменты и .${\ displaystyle m}$${\ displaystyle M_ {y}}$${\ displaystyle M_ {x}}$

Масса равна массе, которая может быть эквивалентно выражена в виде повторного интеграла :${\ Displaystyle м = \ iint _ {D} \ rho (x, y) \, dx \, dy}$

${\ displaystyle m = \ int _ {x = 0} ^ {2} \ int _ {y = x} ^ {4-x} \, (2x + 3y + 2) \, dy \, dx}$

Внутренний интеграл:

${\displaystyle \int _{y=x}^{4-x}\,(2x+3y+2)\,dy}$

${\displaystyle \qquad =\left.\left(2xy+{\frac {3y^{2}}{2}}+2y\right)\right|_{y=x}^{4-x}}$

${\displaystyle \qquad =\left[2x(4-x)+{\frac {3(4-x)^{2}}{2}}+2(4-x)\right]-\left[2x(x)+{\frac {3(x)^{2}}{2}}+2(x)\right]}$

${\displaystyle \qquad =-4x^{2}-8x+32}$

Вставка этого во внешний интеграл приводит к:

${\displaystyle {\begin{aligned}m&=\int _{x=0}^{2}\left(-4x^{2}-8x+32\right)\,dx\\&=\left.\left(-{\frac {4x^{3}}{3}}-4x^{2}+32x\right)\right|_{x=0}^{2}\\&={\frac {112}{3}}\end{aligned}}}$

Аналогично рассчитываются оба момента:

${\displaystyle M_{y}=\iint _{D}x\,\rho (x,y)\,dx\,dy=\int _{x=0}^{2}\int _{y=x}^{4-x}x\,(2x+3y+2)\,dy\,dx}$

с внутренним интегралом:

${\displaystyle \int _{y=x}^{4-x}x\,(2x+3y+2)\,dy}$

${\displaystyle \qquad =\left.\left(2x^{2}y+{\frac {3xy^{2}}{2}}+2xy\right)\right|_{y=x}^{4-x}}$

${\displaystyle \qquad =-4x^{3}-8x^{2}+32x}$

что делает:

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{y}&=\int _{x=0}^{2}(-4x^{3}-8x^{2}+32x)\,dx\\&=\left.\left(-x^{4}-{\frac {8x^{3}}{3}}+16x^{2}\right)\right|_{x=0}^{2}\\&={\frac {80}{3}}\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{x}&=\iint _{D}y\,\rho (x,y)\,dx\,dy=\int _{x=0}^{2}\int _{y=x}^{4-x}y\,(2x+3y+2)\,dy\,dx\\&=\int _{0}^{2}(xy^{2}+y^{3}+y^{2}){\Big |}_{y=x}^{4-x}\,dx\\&=\int _{0}^{2}(-2x^{3}+4x^{2}-40x+80)\,dx\\&=\left.\left(-{\frac {x^{4}}{2}}+{\frac {4x^{3}}{3}}-20x^{2}+80x\right)\right|_{x=0}^{2}\\&={\frac {248}{3}}\end{aligned}}}$

Наконец, центр масс

${\displaystyle \left({\frac {M_{y}}{m}},{\frac {M_{x}}{m}}\right)=\left({\frac {\frac {80}{3}}{\frac {112}{3}}},{\frac {\frac {248}{3}}{\frac {112}{3}}}\right)=\left({\frac {5}{7}},{\frac {31}{14}}\right)}$

Ссылки [ править ]