Момент инерции

Момент инерции , иначе известный как момент инерции , угловые массы , второй момент массы , или наиболее точно, инерция вращения , из твердого тела является величиной , которая определяет крутящий момент , необходимый для требуемого углового ускорения вокруг оси вращения , сродни тому, как масса определяет силу, необходимую для желаемого ускорения . Это зависит от распределения массы тела и выбранной оси, с большими моментами, требующими большего крутящего момента для изменения скорости вращения тела.

Момент инерции
Маховики обладают большим моментом инерции для сглаживания вращательного движения.
Общие символы	я
Единица СИ	кг м ²
Прочие единицы	фунт-сила · фут · с ²
Производные от других величин	${\ displaystyle I = {\ frac {L} {\ omega}}}$
Измерение	M L ²

Канатоходцы используют момент инерции длинной штанги для баланса при ходьбе по канату. Сэмюэл Диксон пересекает реку Ниагара в 1890 году.

Это экстенсивное (аддитивное) свойство: для точечной массы момент инерции равен массе, умноженной на квадрат перпендикулярного расстояния к оси вращения. Момент инерции жесткой составной системы - это сумма моментов инерции составляющих ее подсистем (взятых относительно одной оси). Его простейшее определение - это второй момент массы по отношению к расстоянию от оси .

Для тел, вынужденных вращаться в плоскости, имеет значение только их момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости, скалярное значение. Для тел, свободно вращающихся в трех измерениях, их моменты могут быть описаны симметричной матрицей 3 × 3 с набором взаимно перпендикулярных главных осей, для которых эта матрица диагональна, а крутящие моменты вокруг осей действуют независимо друг от друга.

Вступление

Когда тело может свободно вращаться вокруг оси, необходимо приложить крутящий момент , чтобы изменить его угловой момент . Величина крутящего момента, необходимая для того, чтобы вызвать любое заданное угловое ускорение (скорость изменения угловой скорости ), пропорциональна моменту инерции тела. Момент инерции может быть выражен в единицах килограмм-метр в квадрате (кг · м ² ) в единицах СИ и фунт-фут-секунда в квадрате (фунт-сила · фут · с ² ) в британских или американских единицах.

Момент инерции играет роль во вращательной кинетике, которую масса (инерция) играет в линейной кинетике - оба показателя характеризуют сопротивление тела изменениям в его движении. Момент инерции зависит от того, как масса распределяется вокруг оси вращения, и будет варьироваться в зависимости от выбранной оси. Для точечной массы момент инерции относительно некоторой оси определяется выражением ${\ displaystyle mr ^ {2}}$ , где ${\ displaystyle r}$ - расстояние точки от оси, а ${\ displaystyle m}$ масса. Для вытянутого твердого тела момент инерции - это просто сумма всех маленьких частей массы, умноженная на квадрат их расстояний от оси вращения. Для протяженного тела правильной формы и однородной плотности это суммирование иногда дает простое выражение, которое зависит от размеров, формы и общей массы объекта.

В 1673 году Христиан Гюйгенс ввел этот параметр в свое исследование колебаний тела, висящего на стержне, известного как составной маятник . ^[1] Термин « момент инерции» был введен Леонардом Эйлером в его книге « Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum» в 1765 году ^[1]^[2] и включен во второй закон Эйлера .

Собственная частота колебаний составного маятника получается из отношения крутящего момента, создаваемого силой тяжести на массу маятника, к сопротивлению ускорению, определяемому моментом инерции. Сравнение этой собственной частоты с частотой простого маятника, состоящего из одной точки массы, дает математическую формулировку момента инерции протяженного тела. ^[3]^[4]

Момент инерции также появляется в импульсе , кинетической энергии и в законах движения Ньютона для твердого тела как физический параметр, сочетающий его форму и массу. Есть интересное различие в способе появления момента инерции при плоском и пространственном движении. Плоское движение имеет один скаляр, который определяет момент инерции, в то время как для пространственного движения те же вычисления дают матрицу моментов инерции 3 × 3, называемую матрицей инерции или тензором инерции. ^[5]^[6]

Момент инерции вращающегося маховика используется в машине, чтобы противостоять изменениям приложенного крутящего момента, чтобы сгладить его вращательную мощность. Момент инерции самолета относительно его продольной, горизонтальной и вертикальной осей определяет, как управляющие силы на управляющих поверхностях его крыльев, руля высоты и руля (ов) влияют на движения самолета по крену, тангажу и рысканью.

Определение

Момент инерции определяется как произведение массы сечения на квадрат расстояния между исходной осью и центром тяжести сечения.

Фигуристы, занимающиеся вращением, могут уменьшить свой момент инерции, потянув за руки, что позволяет им вращаться быстрее благодаря сохранению углового момента .

">

Воспроизвести медиа

Видео эксперимента с вращающимся стулом, иллюстрирующее момент инерции. Когда вращающийся профессор тянет руки, его момент инерции уменьшается; чтобы сохранить угловой момент, его угловая скорость увеличивается.

Момент инерции $I$ определяется как отношение чистого углового момента $L$ системы к ее угловой скорости $ω$ вокруг главной оси ^[7]^[8], то есть

{\ displaystyle I = {\ frac {L} {\ omega}}.}

Если угловой момент системы постоянен, то по мере уменьшения момента инерции угловая скорость должна увеличиваться. Это происходит, когда вращающиеся фигуристы вытягивают вытянутые руки или ныряльщики сгибают свои тела в положение группировки во время прыжка, чтобы вращаться быстрее. ^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]^[13]

Если форма тела не меняется, то его момент инерции появляется в законе движения Ньютона как отношение крутящего момента $τ,$ приложенного к телу, к угловому ускорению $α$ вокруг главной оси, т. Е.

{\ displaystyle \ tau = I \ alpha.}

Для простого маятника это определение дает формулу для момента инерции $I$ через массу $m$ маятника и его расстояние $r$ от точки поворота:

{\ displaystyle I = мистер ^ {2}.}

Таким образом, момент инерции маятника зависит как от массы тела $m, так$ и от его геометрии или формы, определяемой расстоянием $r$ до оси вращения.

Эта простая формула обобщает, чтобы определить момент инерции для тела произвольной формы как сумму всех элементарных точечных масс $d m,$ каждая из которых умножена на квадрат его перпендикулярного расстояния $r$ до оси $k$ . Таким образом, момент инерции произвольного объекта зависит от пространственного распределения его массы.

В общем, для объекта массы $m$ можно определить эффективный радиус $k$ , в зависимости от конкретной оси вращения, с таким значением, чтобы его момент инерции вокруг оси был равен

{\ displaystyle I = mk ^ {2},}

где $k$ известен как радиус вращения вокруг оси.

Примеры

Простой маятник

Момент инерции можно измерить с помощью простого маятника, потому что это сопротивление вращению, вызванное силой тяжести. Математически момент инерции маятника - это отношение крутящего момента, создаваемого силой тяжести вокруг оси маятника, к его угловому ускорению относительно этой точки поворота. Для простого маятника это произведение массы частицы. ${\ displaystyle m}$ с квадратом расстояния ${\ displaystyle r}$ к оси, то есть

{\ displaystyle I = мистер ^ {2}.}

Это можно показать следующим образом: сила тяжести, действующая на массу простого маятника, создает крутящий момент. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}}$ вокруг оси, перпендикулярной плоскости движения маятника. Здесь ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ - вектор расстояния, перпендикулярный силе к оси крутящего момента и от нее, и ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ это чистая сила, действующая на массу. С этим крутящим моментом связано угловое ускорение , ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$ , струны и массы вокруг этой оси. Поскольку масса ограничена кругом, тангенциальное ускорение массы равно ${\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ mathbf {r}}$ . С ${\ displaystyle F = ma}$ уравнение крутящего момента принимает следующий вид:

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ tau}} & = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} = \ mathbf {r} \ times (m {\ boldsymbol {\ alpha}} \ раз \ mathbf {r}) \\ & = m ((\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {r}) {\ boldsymbol {\ alpha}} - (\ mathbf {r} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha }}) \ mathbf {r}) \\ & = mr ^ {2} {\ boldsymbol {\ alpha}} = I \ alpha \ mathbf {\ hat {k}}, \ end {align}}}

где ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}$ - единичный вектор, перпендикулярный плоскости маятника. (На предпоследнем шаге используется разложение векторных троек с перпендикулярностью ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$ а также ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ .) Количество ${\ Displaystyle I = г-н ^ {2}}$ - момент инерции этой единственной массы вокруг точки поворота.

Количество ${\ Displaystyle I = г-н ^ {2}}$ также появляется в угловом моменте простого маятника, который вычисляется из скорости ${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}}$ массы маятника вокруг оси, где ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ - угловая скорость массы относительно точки поворота. Этот угловой момент определяется выражением

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {L} & = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {r} \ times (m {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}) \\ & = m ((\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {r}) {\ boldsymbol {\ omega}} - (\ mathbf {r} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}) \ mathbf {r}) \\ & = mr ^ {2} {\ boldsymbol {\ omega}} = I \ omega \ mathbf {\ hat {k}}, \ end {align}}}

используя аналогичный вывод к предыдущему уравнению.

Точно так же кинетическая энергия маятниковой массы определяется скоростью маятника вокруг оси поворота, что дает

{\ displaystyle E _ {\ text {K}} = {\ frac {1} {2}} m \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} = {\ frac {1} {2}} \ left (mr ^ {2} \ right) \ omega ^ {2} = {\ frac {1} {2}} I \ omega ^ {2}.}

Это показывает, что количество ${\ Displaystyle I = г-н ^ {2}}$ как масса сочетается с формой тела, чтобы определить инерцию вращения. Момент инерции тела произвольной формы складывается из значений ${\ displaystyle mr ^ {2}}$ для всех элементов массы тела.

Составной маятник

Маятники, используемые в гравиметре Менденхолла , из научного журнала 1897 г. Портативный гравиметр, разработанный в 1890 году Томасом К. Менденхоллом, обеспечил наиболее точные относительные измерения местного гравитационного поля Земли.

Соединение маятник представляет собой тело , сформированное из сборки частиц непрерывной формы , которая вращается вокруг жестко шарнира. Его момент инерции - это сумма моментов инерции каждой из частиц, из которых он состоит. ^[14]^[15]^{: 395-396}^[16]^{: 51-53} естественная частота ( ${\ displaystyle \ omega _ {\ text {n}}}$ ) составного маятника зависит от его момента инерции, ${\ displaystyle I_ {P}}$ ,

{\ displaystyle \ omega _ {\ text {n}} = {\ sqrt {\ frac {mgr} {I_ {P}}}},}

где ${\ displaystyle m}$ масса объекта, ${\ displaystyle g}$ - местное ускорение свободного падения, и ${\ displaystyle r}$ расстояние от точки поворота до центра масс объекта. Измерение этой частоты колебаний при малых угловых перемещениях обеспечивает эффективный способ измерения момента инерции тела. ^[17]^{: 516–517}

Таким образом, чтобы определить момент инерции тела, просто подвесьте его за удобную точку поворота. ${\ displaystyle P}$ так, чтобы он свободно качался в плоскости, перпендикулярной направлению желаемого момента инерции, затем измерьте его собственную частоту или период колебаний ( ${\ displaystyle t}$ ), чтобы получить

{\ displaystyle I_ {P} = {\ frac {mgr} {\ omega _ {\ text {n}} ^ {2}}} = {\ frac {mgrt ^ {2}} {4 \ pi ^ {2} }},}

где ${\ displaystyle t}$ - период (продолжительность) колебаний (обычно усредненный за несколько периодов).

Центр колебаний

Простой маятник с той же собственной частотой, что и составной маятник, определяет длину ${\ displaystyle L}$ от оси до точки, называемой центром колебаний составного маятника. Эта точка также соответствует центру удара . Длина ${\ displaystyle L}$ определяется по формуле,

{\ displaystyle \ omega _ {\ text {n}} = {\ sqrt {\ frac {g} {L}}} = {\ sqrt {\ frac {mgr} {I_ {P}}}},}

или же

{\ displaystyle L = {\ frac {g} {\ omega _ {\ text {n}} ^ {2}}} = {\ frac {I_ {P}} {mr}}.}

Секунд маятник , который обеспечивает «тик» и «так» на напольные часы, занимает одну секунду , чтобы качаться из стороны в сторону. Это период в две секунды или собственная частота ${\ Displaystyle \ пи \ \ mathrm {рад / с}}$ для маятника. В этом случае расстояние до центра колебаний, ${\ displaystyle L}$ , можно вычислить как

{\ displaystyle L = {\ frac {g} {\ omega _ {\ text {n}} ^ {2}}} \ приблизительно {\ frac {9,81 \ \ mathrm {m / s ^ {2}}} {( 3.14 \ \ mathrm {rad / s}) ^ {2}}} \ приблизительно 0.99 \ \ mathrm {m}.}

Обратите внимание, что расстояние до центра колебаний секундного маятника должно быть отрегулировано, чтобы соответствовать различным значениям местного ускорения свободного падения. Маятник Катера - это составной маятник, который использует это свойство для измерения местного ускорения свободного падения и называется гравиметром .

Момент инерции измерения

Момент инерции сложной системы, такой как транспортное средство или самолет, вокруг своей вертикальной оси можно измерить, подвесив систему в трех точках, чтобы сформировать трехниточный маятник . Трехзаходный маятник - это платформа, поддерживаемая тремя проволоками, которые могут колебаться при кручении вокруг своей вертикальной центроидной оси. ^[18] Период колебаний трехзаходного маятника дает момент инерции системы. ^[19]

Движение в неподвижной плоскости

Точечная масса

Четыре объекта с одинаковыми массами и радиусами мчатся по самолету без скольжения.

Сзади на перед:

сферическая оболочка,
твердая сфера,
цилиндрическое кольцо и
цельный цилиндр.

Время, когда каждый объект достигает финишной черты, зависит от его момента инерции. ( Версия OGV )

Момент инерции относительно оси тела вычисляется суммированием ${\ displaystyle mr ^ {2}}$ для каждой частицы в теле, где ${\ displaystyle r}$ - перпендикулярное расстояние к указанной оси. Чтобы увидеть, как возникает момент инерции при изучении движения протяженного тела, удобно рассмотреть жесткую совокупность точечных масс. (Это уравнение можно использовать для осей, которые не являются главными осями, при условии, что понимается, что это не полностью описывает момент инерции. ^[20] )

Рассмотрим кинетическую энергию сборки ${\ displaystyle N}$ массы ${\ displaystyle m_ {i}}$ что лежат на расстоянии ${\ displaystyle r_ {i}}$ от точки поворота ${\ displaystyle P}$ , которая является ближайшей точкой на оси вращения. Это сумма кинетической энергии отдельных масс, ^[17]^{: 516–517}^[21]^{: 1084–1085}^[21]^{: 1296–1300}

{\ displaystyle E _ {\ text {K}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {1} {2}} \, m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {1} {2}} \, m_ {i} \ left (\ omega r_ {i} \ right ) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \, \ omega ^ {2} \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} r_ {i} ^ {2}.}

Это показывает, что момент инерции тела - это сумма каждого из ${\ displaystyle mr ^ {2}}$ сроки, то есть

{\ displaystyle I_ {P} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} r_ {i} ^ {2}.}

Таким образом, момент инерции - это физическое свойство, объединяющее массу и распределение частиц вокруг оси вращения. Обратите внимание, что вращение вокруг разных осей одного и того же тела дает разные моменты инерции.

Момент инерции сплошного тела, вращающегося вокруг заданной оси, вычисляется таким же образом, за исключением бесконечного числа точечных частиц. Таким образом, пределы суммирования снимаются, и сумма записывается следующим образом:

{\ displaystyle I_ {P} = \ sum _ {i} m_ {i} r_ {i} ^ {2}}

Другое выражение заменяет суммирование интегралом ,

{\ Displaystyle I_ {P} = \ iiint \ limits _ {Q} \ rho \ left (x, y, z \ right) \ left \ | \ mathbf {r} \ right \ | ^ {2} \ mathrm {d } V}

Здесь функция ${\ displaystyle \ rho}$ дает плотность массы в каждой точке ${\ Displaystyle (х, у, г)}$ , ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ вектор, перпендикулярный оси вращения и идущий от точки на оси вращения до точки ${\ Displaystyle (х, у, г)}$ в твердом теле, а интегрирование оценивается по объему ${\ displaystyle V}$ тела ${\ displaystyle Q}$ . Момент инерции плоской поверхности аналогичен тому, что плотность массы заменяется ее поверхностной плотностью массы с интегралом, вычисляемым по ее площади.

Примечание о втором моменте площади : момент инерции тела, движущегося в плоскости, и второй момент площади поперечного сечения балки часто путают. Момент инерции тела с формой поперечного сечения - это второй момент этой области относительно ${\ displaystyle z}$ -ось, перпендикулярная поперечному сечению, взвешенная по его плотности. Это также называется полярным моментом области и представляет собой сумму секундных моментов относительно ${\ displaystyle x}$ - а также ${\ displaystyle y}$ -акси. ^[22] Напряжения в балке рассчитываются с использованием второго момента площади поперечного сечения вокруг либо ${\ displaystyle x}$ -ось или ${\ displaystyle y}$ -ось в зависимости от нагрузки.

Примеры

Момент инерции составного маятника, созданного из тонкого диска, установленного на конце тонкого стержня, который колеблется вокруг оси на другом конце стержня, начинается с вычисления момента инерции тонкого стержня и тонкого диска. об их соответствующих центрах масс. ^[21]

Момент инерции тонкого стержня постоянного сечения ${\ displaystyle s}$ и плотность ${\ displaystyle \ rho}$ и с длиной ${\ displaystyle \ ell}$ относительно перпендикулярной оси, проходящей через его центр масс, определяется интегрированием. ^[21]^{: 1301} Выровняйте ${\ displaystyle x}$ -оси со стержнем и поместите начало координат его центр масс в центре стержня, затем
${\ displaystyle I_ {C, {\ text {rod}}} = \ iiint \ limits _ {Q} \ rho \, x ^ {2} \, \ mathrm {d} V = \ int _ {- {\ frac {\ ell} {2}}} ^ {\ frac {\ ell} {2}} \ rho \, x ^ {2} s \, \ mathrm {d} x = \ left. \ rho s {\ frac { x ^ {3}} {3}} \ right | _ {- {\ frac {\ ell} {2}}} ^ {\ frac {\ ell} {2}} = {\ frac {\ rho s} { 3}} \ left ({\ frac {\ ell ^ {3}} {8}} + {\ frac {\ ell ^ {3}} {8}} \ right) = {\ frac {m \ ell ^ { 2}} {12}},}$
где ${\ displaystyle m = \ rho s \ ell}$ - масса стержня.
Момент инерции тонкого диска постоянной толщины ${\ displaystyle s}$ , радиус ${\ displaystyle R}$ , и плотность ${\ displaystyle \ rho}$ вокруг оси, проходящей через его центр и перпендикулярной его грани (параллельной оси вращательной симметрии ), определяется интегрированием. ^[21]^{: 1301}^{[ неудачная проверка ]} Выровняйте ${\ displaystyle z}$ -осью с осью диска и определите элемент объема как ${\ Displaystyle \ mathrm {d} V = SR \ mathrm {d} r \ mathrm {d} \ theta}$ , тогда
${\ displaystyle I_ {C, {\ text {disc}}} = \ iiint \ limits _ {Q} \ rho \, r ^ {2} \, \ mathrm {d} V = \ int _ {0} ^ { 2 \ pi} \ int _ {0} ^ {R} \ rho r ^ {2} sr \, \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ theta = 2 \ pi \ rho s {\ frac { R ^ {4}} {4}} = {\ frac {1} {2}} mR ^ {2},}$
где ${\ displaystyle m = \ pi R ^ {2} \ rho s}$ это его масса.
Момент инерции составного маятника теперь получается путем сложения момента инерции стержня и диска вокруг точки поворота. ${\ displaystyle P}$ в виде,
${\ displaystyle I_ {P} = I_ {C, {\ text {rod}}} + M _ {\ text {rod}} \ left ({\ frac {L} {2}} \ right) ^ {2} + I_ {C, {\ text {disc}}} + M _ {\ text {disc}} (L + R) ^ {2},}$
где ${\ displaystyle L}$ - длина маятника. Обратите внимание, что теорема о параллельных осях используется для смещения момента инерции от центра масс к точке поворота маятника.

Список моментов инерции формул для стандартных форм тела дает возможность получить момент инерции сложного тела как совокупность простых фасонных тел. Теорема о параллельных осях используется для смещения контрольной точки отдельных тел в контрольную точку сборки.

В качестве еще одного примера рассмотрим момент инерции твердого шара постоянной плотности вокруг оси, проходящей через его центр масс. Это определяется суммированием моментов инерции тонких дисков, образующих сферу. Если поверхность шара определяется уравнением ^[21]^{: 1301}

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = R ^ {2},}

тогда квадрат радиуса ${\ displaystyle r}$ диска в поперечном сечении ${\ displaystyle z}$ вдоль ${\ displaystyle z}$ ось

{\ displaystyle r (z) ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} = R ^ {2} -z ^ {2}.}

Следовательно, момент инерции шара - это сумма моментов инерции дисков по направлению движения. ${\ displaystyle z}$ -ось,

{\ displaystyle {\ begin {align} I_ {C, {\ text {ball}}} & = \ int _ {- R} ^ {R} {\ frac {\ pi \ rho} {2}} r (z ) ^ {4} \, \ mathrm {d} z = \ int _ {- R} ^ {R} {\ frac {\ pi \ rho} {2}} \ left (R ^ {2} -z ^ { 2} \ right) ^ {2} \, \ mathrm {d} z \\ & = \ left. {\ Frac {\ pi \ rho} {2}} \ left (R ^ {4} z - {\ frac {2} {3}} R ^ {2} z ^ {3} + {\ frac {1} {5}} z ^ {5} \ right) \ right | _ {- R} ^ {R} \\ & = \ pi \ rho \ left (1 - {\ frac {2} {3}} + {\ frac {1} {5}} \ right) R ^ {5} \\ & = {\ frac {2} {5}} mR ^ {2}, \ end {align}}}

где ${\ Displaystyle м = {\ гидроразрыва {4} {3}} \ pi R ^ {3} \ rho}$ масса шара.

Жесткое тело

Цилиндры с более высоким моментом инерции катятся по склону с меньшим ускорением, так как большая часть их потенциальной энергии должна быть преобразована в кинетическую энергию вращения.

Если механическая система вынуждена двигаться параллельно фиксированной плоскости, то вращение тела в системе происходит вокруг оси. ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}$ перпендикулярно этой плоскости. В этом случае момент инерции массы в этой системе является скаляром, известным как полярный момент инерции . Определение полярного момента инерции можно получить, рассматривая импульс, кинетическую энергию и законы Ньютона для плоского движения жесткой системы частиц. ^[14]^[17]^[23]^[24]

Если система ${\ displaystyle n}$ частицы ${\ displaystyle P_ {i}, i = 1, ..., n}$ , собраны в твердое тело, то импульс системы можно записать в терминах положений относительно реперной точки ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ , а абсолютные скорости ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {я}}$ :

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta \ mathbf {r} _ {i} & = \ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R}, \\\ mathbf {v} _ {i} & = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R} \ right) + \ mathbf {V} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Дельта \ mathbf {r} _ {i} + \ mathbf {V}, \ end {align}}}

где ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ - угловая скорость системы и ${\ displaystyle \ mathbf {V}}$ скорость ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ .

При плоском движении вектор угловой скорости направлен вдоль единичного вектора ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ которая перпендикулярна плоскости движения. Введем единичные векторы ${\ Displaystyle \ mathbf {е} _ {я}}$ с точки отсчета ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ в точку ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {я}}$ , а единичный вектор ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} = \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ mathbf {\ hat {e}} _ {i}}$ , так

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} & = {\ frac {\ Delta \ mathbf {r} _ {i}} {\ Delta r_ {i}}}, \ quad \ mathbf {\ hat {k}} = {\ frac {\ boldsymbol {\ omega}} {\ omega}}, \ quad \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} = \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ mathbf {\ hat {e}} _ {i}, \\\ mathbf {v} _ {i} & = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} + \ mathbf {V} = \ omega \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} + \ mathbf {V} = \ omega \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} + \ mathbf {V} \ end {выровнено}}}

Это определяет вектор относительного положения и вектор скорости для жесткой системы частиц, движущихся в плоскости.

Примечание относительно векторного произведения : когда тело движется параллельно плоскости земли, траектории всех точек тела лежат в плоскостях, параллельных этой плоскости земли. Это означает, что любое вращение тела должно происходить вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости. Плоское движение часто проецируется на эту плоскость земли, так что ось вращения отображается как точка. В этом случае угловая скорость и угловое ускорение тела являются скалярами, и тот факт, что они являются векторами вдоль оси вращения, игнорируется. Обычно это предпочтительнее для введения в тему. Но в случае момента инерции сочетание массы и геометрии выигрывает от геометрических свойств перекрестного произведения. По этой причине в этом разделе, посвященном плоскому движению, угловая скорость и ускорения тела являются векторами, перпендикулярными плоскости земли, а операции с поперечным произведением такие же, как и при исследовании пространственного движения твердого тела.

Угловой момент

Вектор момента количества движения для плоского движения жесткой системы частиц определяется выражением ^[14]^[17]

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {L} & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {v} _ {i} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} \ times \ left ( \ omega \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) \\ & = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n } m_ {i} \, \ Delta r_ {i} ^ {2} \ right) \ omega \ mathbf {\ hat {k}} + \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i } \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} \ right) \ times \ mathbf {V}. \ End {align}}}

Используйте центр масс ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$ как ориентир так

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} & = \ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C}, \\\ сумма _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} & = 0, \ end {выровнено}}}

и определим момент инерции относительно центра масс ${\ displaystyle I _ {\ mathbf {C}}}$ в виде

{\ displaystyle I _ {\ mathbf {C}} = \ sum _ {i} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} ^ {2},}

тогда уравнение для углового момента упрощается до ^[21]^{: 1028}

{\ displaystyle \ mathbf {L} = I _ {\ mathbf {C}} \ omega \ mathbf {\ hat {k}}.}

Момент инерции ${\ displaystyle I _ {\ mathbf {C}}}$ вокруг оси, перпендикулярной движению жесткой системы и проходящей через центр масс, называется полярным моментом инерции . В частности, это второй момент массы по отношению к ортогональному расстоянию от оси (или полюса).

Для данного количества углового момента уменьшение момента инерции приводит к увеличению угловой скорости. Фигуристы могут изменить момент инерции, потянув за руки. Таким образом, угловая скорость, достигаемая фигуристом с вытянутыми руками, приводит к большей угловой скорости, когда руки втянуты внутрь, из-за уменьшенного момента инерции. Однако фигурист - не твердое тело.

Кинетическая энергия

Эти роторные ножницы 1906 года используют момент инерции двух маховиков для хранения кинетической энергии, которая при высвобождении используется для резки металлической заготовки (Международная технологическая библиотека, 1906).

Кинетическая энергия жесткой системы частиц, движущихся в плоскости, дается формулой ^[14]^[17]

{\ displaystyle {\ begin {align} E _ {\ text {K}} & = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i}, \\ & = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left (\ omega \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) \ cdot \ left (\ omega \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} + \ mathbf {V} \ right), \\ & = {\ frac {1} {2}} \ omega ^ {2} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} ^ {2} \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} \ cdot \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} \ right ) + \ omega \ mathbf {V} \ cdot \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {t}} _ {i } \ right) + {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ right) \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {V}. \ конец {выровнено}}}

Пусть точкой отсчета будет центр масс ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$ системы так, чтобы второй член стал равным нулю, и введем момент инерции ${\ displaystyle I _ {\ mathbf {C}}}$ поэтому кинетическая энергия дается формулой ^[21]^{: 1084}

{\ displaystyle E _ {\ text {K}} = {\ frac {1} {2}} I _ {\ mathbf {C}} \ omega ^ {2} + {\ frac {1} {2}} M \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {V}.}

Момент инерции ${\ displaystyle I _ {\ mathbf {C}}}$ - полярный момент инерции тела.

Законы Ньютона

Трактор John Deere 1920-х годов с маховиком со спицами на двигателе. Большой момент инерции маховика облегчает работу трактора.

Законы Ньютона для жесткой системы ${\ displaystyle n}$ частицы ${\ displaystyle P_ {i}, i = 1, ..., n}$ , можно записать в терминах равнодействующей силы и крутящего момента в контрольной точке ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ , чтобы получить ^[14]^[17]

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {F} & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {A} _ {i}, \\ {\ boldsymbol {\ tau }} & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times m_ {i} \ mathbf {A} _ {i}, \ end {align}}}

где ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {я}}$ обозначает траекторию каждой частицы.

В Кинематика твердого тела дает формулу для ускорения частицы ${\ displaystyle P_ {i}}$ с точки зрения должности ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ и ускорение ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ опорной частицы, а также вектора угловой скорости ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ и вектор углового ускорения ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$ жесткой системы частиц как,

{\ displaystyle \ mathbf {A} _ {i} = {\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} + \ mathbf {A}.}

Для систем, ограниченных плоским движением, векторы угловой скорости и углового ускорения направлены вдоль ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}$ перпендикулярно плоскости движения, что упрощает это уравнение ускорения. В этом случае векторы ускорения можно упростить, введя единичные векторы ${\ Displaystyle \ mathbf {\ шляпа {е}} _ {я}}$ с точки отсчета ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ в точку ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {я}}$ и единичные векторы ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} = \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ mathbf {\ hat {e}} _ {i}}$ , так

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {A} _ {i} & = \ alpha \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ { i} - \ omega \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ omega \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} + \ mathbf {A} \\ & = \ alpha \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} - \ omega ^ {2} \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e} } _ {i} + \ mathbf {A}. \ end {выравнивается}}}

Это дает результирующий крутящий момент в системе как

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ tau}} & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e }} _ {i} \ times \ left (\ alpha \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} - \ omega ^ {2} \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} + \ mathbf {A} \ right) \\ & = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} ^ { 2} \ right) \ alpha \ mathbf {\ hat {k}} + \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta r_ {i} \ mathbf {\ hat { e}} _ {i} \ right) \ times \ mathbf {A}, \ end {align}}}

где ${\ Displaystyle \ mathbf {\ шляпа {е}} _ {я} \ раз \ mathbf {\ шляпа {е}} _ {я} = \ mathbf {0}}$ , а также ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} \ times \ mathbf {\ hat {t}} _ {i} = \ mathbf {\ hat {k}}}$ - единичный вектор, перпендикулярный плоскости для всех частиц ${\ displaystyle P_ {i}}$ .

Используйте центр масс ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$ в качестве точки отсчета и определим момент инерции относительно центра масс ${\ displaystyle I _ {\ mathbf {C}}}$ , то уравнение для результирующего крутящего момента упрощается до ^[21]^{: 1029}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = I _ {\ mathbf {C}} \ alpha \ mathbf {\ hat {k}}.}

Движение твердого тела в пространстве и матрица инерции

Скалярные моменты инерции появляются как элементы в матрице, когда система частиц собирается в твердое тело, которое движется в трехмерном пространстве. Эта матрица инерции появляется при вычислении углового момента, кинетической энергии и результирующего момента жесткой системы частиц. ^[3]^[4]^[5]^[6]^[25]

Пусть система ${\ displaystyle n}$ частицы ${\ displaystyle P_ {i}, i = 1, ..., n}$ находиться в координатах ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {я}}$ со скоростями ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {я}}$ относительно фиксированной системы отсчета. Для (возможно движущейся) контрольной точки ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ , относительные положения

{\ displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R}}

а (абсолютные) скорости равны

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {i} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} + \ mathbf {V} _ {\ mathbf {R}}}

где ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ - угловая скорость системы, а ${\ Displaystyle \ mathbf {V_ {R}}}$ скорость ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ .

Угловой момент

Обратите внимание, что перекрестное произведение может быть эквивалентно записано как матричное умножение путем объединения первого операнда и оператора в кососимметричную матрицу, ${\ displaystyle \ left [\ mathbf {b} \ right]}$ , построенный из компонентов ${\ Displaystyle \ mathbf {b} = (b_ {x}, b_ {y}, b_ {z})}$ :

{\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ mathbf {b} \ times \ mathbf {y} & \ Equiv \ left [\ mathbf {b} \ right] \ mathbf {y} \\\ left [\ mathbf {b} \ right] & \ Equiv {\ begin {bmatrix} 0 & -b_ {z} & b_ {y} \\ b_ {z} & 0 & -b_ {x} \\ - b_ {y} & b_ {x} & 0 \ end {bmatrix }}. \ end {выровнены}}}

Матрица инерции строится с учетом углового момента с точкой отсчета ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ тела, выбранного в качестве центра масс ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$ : ^[3]^[6]

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {L} & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf { v} _ {i} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ omega }} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} + \ mathbf {V} _ {\ mathbf {R}} \ right) \\ & = \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ { n} m_ {i} \, \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ left (\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) \ right ) + \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \, \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {V} _ {\ mathbf {R}} \ справа), \ end {align}}}

где термины, содержащие ${\ Displaystyle \ mathbf {V_ {R}}}$ ( ${\ displaystyle = \ mathbf {C}}$ ) сумма к нулю по определению центра масс .

Тогда кососимметричная матрица ${\ displaystyle [\ Delta \ mathbf {r} _ {i}]}$ полученный из вектора относительного положения ${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C}}$ , можно использовать для определения,

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {2} \ right) {\ boldsymbol {\ omega}} = \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} {\ boldsymbol {\ omega}},}

где ${\ displaystyle \ mathbf {I_ {C}}}$ определяется

{\ displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right ] ^ {2},}

- симметричная инерционная матрица жесткой системы частиц, измеренная относительно центра масс ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$ .

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия жесткой системы частиц может быть сформулирована в терминах центра масс и матрицы моментов инерции системы. Пусть система ${\ displaystyle n}$ частицы ${\ displaystyle P_ {i}, i = 1, ..., n}$ находиться в координатах ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {я}}$ со скоростями ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {я}}$ , то кинетическая энергия равна ^[3]^[6]

{\ displaystyle E _ {\ text {K}} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} + \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ right) \ cdot \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ { i} + \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ right),}

где ${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C}}$ - вектор положения частицы относительно центра масс.

Это уравнение расширяется и дает три члена

{\ displaystyle E _ {\ text {K}} = {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left ({\ boldsymbol {\ omega }} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ cdot \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ right) + \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ cdot \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ right) + {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ cdot \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ right).}

Второй член в этом уравнении равен нулю, потому что ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$ это центр масс. Введем кососимметричную матрицу ${\ displaystyle [\ Delta \ mathbf {r} _ {i}]}$ так кинетическая энергия становится

{\ displaystyle {\ begin {align} E _ {\ text {K}} & = {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left (\ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) \ cdot \ left (\ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right ] {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) \ right) + {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ right) \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ cdot \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \\ & = {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1 } ^ {n} m_ {i} \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} ^ {\ mathsf {T}} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {\ mathsf { T}} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) \ right) + {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ right) \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ cdot \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \\ & = { \ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {2} \ right) {\ boldsymbol {\ omega}} + {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i } \ right) \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} \ cdot \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}}. \ end {align}}}

Таким образом, кинетическая энергия жесткой системы частиц определяется выражением

{\ displaystyle E _ {\ text {K}} = {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} {\ boldsymbol {\ omega}} + {\ frac {1} {2}} M \ mathbf {V} _ {\ mathbf {C}} ^ {2}.}

где ${\ displaystyle \ mathbf {I_ {C}}}$ - матрица инерции относительно центра масс, а ${\ displaystyle M}$ это общая масса.

Результирующий крутящий момент

Матрица инерции появляется в применении второго закона Ньютона к жесткой совокупности частиц. Результирующий крутящий момент в этой системе равен, ^[3]^[6]

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (\ mathbf {r_ {i}} - \ mathbf {R} \ right) \ times m_ {i} \ mathbf {a} _ {i},}

где ${\ Displaystyle \ mathbf {а} _ {я}}$ это ускорение частицы ${\ displaystyle P_ {i}}$ . В Кинематика твердого тела дает формулу для ускорения частицы ${\ displaystyle P_ {i}}$ с точки зрения должности ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ и ускорение ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {\ mathbf {R}}}$ реперной точки, а также вектора угловой скорости ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ и вектор углового ускорения ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$ жесткой системы как,

{\ displaystyle \ mathbf {a} _ {i} = {\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ left (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R} \ right) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R} \ right) \ right) + \ mathbf {A} _ { \ mathbf {R}}.}

Используйте центр масс ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$ в качестве ориентира и введем кососимметричную матрицу ${\ displaystyle \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] = \ left [\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C} \ right]}$ представлять перекрестный продукт ${\ displaystyle (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C}) \ times}$ , чтобы получить

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {2} \ right) {\ boldsymbol {\ alpha}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {2} \ right) {\ boldsymbol {\ omega}}}

В расчете используется тождество

{\ displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _) {i} \ right) \ right) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (\ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) = 0,}

полученное из тождества Якоби для тройного перекрестного произведения, как показано в доказательстве ниже:

Доказательство

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ tau}} & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (\ mathbf {r_ {i}} - \ mathbf {R}) \ times ( m_ {i} \ mathbf {a} _ {i}) \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ( m_ {i} \ mathbf {a} _ {i}) \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ { i} \ times \ mathbf {a} _ {i}] \; \ ldots {\ text {скалярное умножение нескольких произведений}} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [ {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times (\ mathbf {a} _ {{\ text {tangential}}, i} + \ mathbf {a} _ {{\ text {центростремительный }}, i} + \ mathbf {A} _ {\ mathbf {R}})] \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times (\ mathbf {a} _ {{\ text {tangential}}, i} + \ mathbf {a} _ {{\ text {centripetal}}, i} +0) ] \\ & \; \; \; \; \; \ ldots \; \ mathbf {R} {\ text {либо покоится, либо движется с постоянной скоростью, но не ускоряется, либо}} \\ & \; \ ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; {\ text {начало фиксированной (мировой) системы координат помещается в центр масс}} \ mathbf {C} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf { r} _ {i} \ times \ mathbf {a} _ {{\ text {tangential}}, i} + {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {a} _ {{\ text {центростремительный}}, i}] \; \ ldots {\ text {кросс-продуктная распределенность по сравнению с добавлением}} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [ {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + { \ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v} _ {{\ text {tangential}}, i})] \\ {\ boldsymbol {\ tau}} & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol { \ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}))] \\\ конец {выровнено}}}

Затем в последнем члене используется следующее тождество Якоби :

{\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}}) \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times (({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta }} \ mathbf {r} _ {i}) \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta }} \ mathbf {r} _ {i}) \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ omega}}) \\ & = {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r) } _ {i})) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times (({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \ times - ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \; \ ldots {\ text {антикоммутативность между произведениями}} \\ & = {\ смелый bol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf { r} _ {i})) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times (({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \ раз {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + - [({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ) \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})] \; \ ldots {\ text {скалярное умножение между произведениями}} \\ & = {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}) } \ mathbf {r} _ {i})) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times (({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ { i}) \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + - [0] \; \ ldots {\ text {self cross-product}} \\ 0 & = {\ boldsymbol { \ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r}) _ {i})) + {\ b oldsymbol {\ omega}} \ times (({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \ end {align}}}

Результат применения тождества Якоби может быть продолжен следующим образом:

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})) & = - [{\ boldsymbol {\ omega}} \ times (({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})] \\ & = - [({\ boldsymbol {\ omega}} \ раз {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) ({\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - { \ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r } _ {i}))] \; \ ldots {\ text {векторное тройное произведение}} \\ & = - [({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r } _ {i}) ({\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ omega}}))] \; \ ldots { \ text {тройное скалярное произведение}} \\ & = - [ ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) ({\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot (0)) ] \; \ ldots {\ text {собственное кросс-произведение}} \\ & = - [({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) ({\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})] \\ & = - [{\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}))] \; \ ldots { \ text {скалярное умножение нескольких произведений}} \\ & = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times - ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ omega }} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})) \; \ ldots {\ text {скалярное умножение нескольких произведений}} \\ {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})) & = {\ boldsymbol {\ omega}} \ время s - ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}})) \; \ ldots {\ text {коммутативность скалярных произведений}} \\\ конец {выровнено}}}

Затем окончательный результат можно подставить в основное доказательство следующим образом:

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ tau}} & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ { i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}))] \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times - ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol { \ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}))] \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol { \ omega}} \ times \ {0 - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}) \}] \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ( {\ boldsymb ol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {[{\ boldsymbol {\ omega}} ({ \ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ omega}} ({\ boldsymbol { \ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})] - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ { i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}) \}] \; \ ldots \; {\ boldsymbol {\ omega}} ({ \ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ omega}} ({\ boldsymbol { \ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) = 0 \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n } m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {[{\ boldsymbol {\ omega}} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol { \ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}})] - {\ boldsymbol {\ omega}} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i } \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \}] \; \ ldots {\ text {дополнительная ассоциативность}} \\\ end {align}}}

${\ displaystyle {\ begin {align} \ quad \ quad & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ раз ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {{\ boldsymbol {\ omega} } ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}) \} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times { \ boldsymbol {\ omega}} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i})] \; \ ldots {\ text {перекрестное распределение продуктов по сравнению с сложением}} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {{\ boldsymbol {\ omega }} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}) \} - ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ omega}})] \; \ ldots {\ text {скалярное умножение нескольких произведений}} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}}) \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {{\ boldsymbol {\ omega}} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r } _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}) \} - ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf { r} _ {i}) (0)] \; \ ldots {\ text {self cross-product}} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol { \ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {{\ boldsymbol {\ omega}} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) - {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}) \}] \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf { r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ { {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i}) \} ] \; \ ldots {\ text {векторное тройное произведение}} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ { i} \ times - ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ alpha}}) + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times - ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ omega}}) \}] \ ; \ ldots {\ text {антикоммутативность нескольких произведений}} \\ & = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ { i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ alpha}}) + {\ boldsymbol {\ omega }} \ times \ {{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ omega}}) \}] \; \ ldots {\ text {скалярное умножение нескольких произведений}} \\ & = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta }} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ alpha}})] + - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ {{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta }} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ omega}}) \}] \; \ ldots {\ text {суммирование распределенности}} \\ {\ boldsymbol {\ tau}} & = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r}) _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ alpha}})] + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Дельта}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ omega}})] \; \ ldots \; {\ boldsymbol {\ omega}} {\ text {не характерно для частицы}} P_ {i} \ end {align}}}$

Обратите внимание, что для любого вектора ${\ displaystyle \ mathbf {u} \,}$ , имеет место следующее:

{\ displaystyle {\ begin {align} - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {u})] & = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left ({\ begin {bmatrix } 0 & - \ Delta r_ {3, i} & \ Delta r_ {2, i} \\\ Delta r_ {3, i} & 0 & - \ Delta r_ {1, i} \\ - \ Delta r_ {2, i } & \ Delta r_ {1, i} & 0 \ end {bmatrix}} \ left ({\ begin {bmatrix} 0 & - \ Delta r_ {3, i} & \ Delta r_ {2, i} \\\ Delta r_ {3, i} & 0 & - \ Delta r_ {1, i} \\ - \ Delta r_ {2, i} & \ Delta r_ {1, i} & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} u_ { 1} \\ u_ {2} \\ u_ {3} \ end {bmatrix}} \ right) \ right) \; \ ldots {\ text {кросс-произведение как матричное умножение}} \\ [6pt] & = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left ({\ begin {bmatrix} 0 & - \ Delta r_ {3, i} & \ Delta r_ {2, i} \\\ Delta r_ { 3, i} & 0 & - \ Delta r_ {1, i} \\ - \ Delta r_ {2, i} & \ Delta r_ {1, i} & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} - \ Delta r_ {3, i} \, u_ {2} + \ Delta r_ {2, i} \, u_ {3} \\ + \ Delta r_ {3, i} \, u_ {1} - \ Delta r_ {1 , i} \, u_ {3} \\ - \ Delta r_ {2, i} \, u_ {1} + \ Delta r_ {1, i} \, u_ {2} \ end {bmatrix}} \ right) \\ [6pt] & = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {\ begin {bmatrix} - \ Delta r_ {3, i} (+ \ Delta r_ {3, i} \ , u_ {1} - \ Дельта r_ {1, i} \, u_ {3}) + \ Delta r_ {2, i} (- \ Delta r_ {2, i} \, u_ {1} + \ Delta r_ {1, i} \, u_ {2}) \\ + \ Delta r_ {3, i} (- \ Delta r_ {3, i} \, u_ {2} + \ Delta r_ {2, i} \, u_ {3}) - \ Дельта r_ {1, i} (- \ Delta r_ {2, i} \, u_ {1} + \ Delta r_ {1, i} \, u_ {2}) \\ - \ Delta r_ {2, i} (- \ Delta r_ {3, i} \, u_ {2} + \ Delta r_ {2, i} \, u_ {3}) + \ Delta r_ {1, i} (+ \ Delta r_ {3, i } \, u_ {1} - \ Delta r_ {1, i} \, u_ {3}) \ end {bmatrix}} \\ [6pt] & = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {\ begin {bmatrix} - \ Delta r_ {3, i} ^ {2} \, u_ {1} + \ Delta r_ {1, i} \ Delta r_ {3, i} \, u_ {3 } - \ Delta r_ {2, i} ^ {2} \, u_ {1} + \ Delta r_ {1, i} \ Delta r_ {2, i} \, u_ {2} \\ - \ Delta r_ { 3, i} ^ {2} \, u_ {2} + \ Delta r_ {2, i} \ Delta r_ {3, i} \, u_ {3} + \ Delta r_ {2, i} \ Delta r_ { 1, i} \, u_ {1} - \ Delta r_ {1, i} ^ {2} \, u_ {2} \\ + \ Delta r_ {3, i} \ Delta r_ {2, i} \, u_ {2} - \ Delta r_ {2, i} ^ {2} \, u_ {3} + \ Delta r_ {3, i} \ Delta r_ {1, i} \, u_ {1} - \ Delta r_ {1, i} ^ {2} \, u_ {3} \ end {bmatrix}} \\ [6pt] & = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {\ begin {bmatrix } - (\ Delta r_ {2, i} ^ {2} + \ Delta r_ {3, i} ^ {2}) \, u_ {1} + \ Delta r_ {1, i} \ Delta r_ {2, i} \, u_ {2} + \ Delta r_ {1, i} \ Delta r_ {3, i} \, u_ {3} \\ + \ Delta r_ {2, i} \ Delta r_ {1, i} \, u_ {1} - (\ Delta r_ {1, i} ^ {2} + \ Delta r_ {3, i} ^ {2}) \, u_ {2} + \ Delta r_ {2, i} \ Delta r_ {3, i} \, u_ {3} \\ + \ Дельта r_ {3, i} \ Delta r_ {1, i} \, u_ {1} + \ Delta r_ {3, i} \ Delta r_ {2, i} \, u_ {2} - (\ Delta r_ { 1, i} ^ {2} + \ Delta r_ {2, i} ^ {2}) \, u_ {3} \ end {bmatrix}} \\ [6pt] & = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {\ begin {bmatrix} - (\ Delta r_ {2, i} ^ {2} + \ Delta r_ {3, i} ^ {2}) & \ Delta r_ {1, i } \ Delta r_ {2, i} & \ Delta r_ {1, i} \ Delta r_ {3, i} \\\ Delta r_ {2, i} \ Delta r_ {1, i} & - (\ Delta r_ {1, i} ^ {2} + \ Delta r_ {3, i} ^ {2}) & \ Delta r_ {2, i} \ Delta r_ {3, i} \\\ Delta r_ {3, i} \ Delta r_ {1, i} & \ Delta r_ {3, i} \ Delta r_ {2, i} & - (\ Delta r_ {1, i} ^ {2} + \ Delta r_ {2, i} ^ {2}) \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} u_ {1} \\ u_ {2} \\ u_ {3} \ end {bmatrix}} \\ & = - \ sum _ {i = 1 } ^ {n} m_ {i} [\ Delta r_ {i}] ^ {2} \ mathbf {u} \\ [6pt] - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{ \ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {u})] & = \ left ( - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ Delta r_ {i}] ^ {2} \ right) \ mathbf {u} \; \ ldots \; \ mathbf {u} {\ текст {не характерен для}} P_ {i} \ end {align}}}

Наконец, результат используется для завершения основного доказательства следующим образом:

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ tau}} & = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [{\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times {\ boldsymbol {\ alpha}})] + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i} \ times ({\ boldsymbol {\ Delta}} \ mathbf {r} _ {i } \ times {\ boldsymbol {\ omega}})] \\ & = \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ Delta r_ {i}] ^ {2} \ справа) {\ boldsymbol {\ alpha}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ Delta r_ {i}] ^ {2} \ right) {\ boldsymbol {\ omega}} \ end {align}}}

Таким образом, результирующий крутящий момент на жесткой системе частиц определяется выражением

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} {\ boldsymbol {\ alpha}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} {\ boldsymbol {\ omega}},}

где ${\ displaystyle \ mathbf {I_ {C}}}$ - матрица инерции относительно центра масс.

Теорема о параллельной оси

Матрица инерции тела зависит от выбора точки отсчета. Существует полезная связь между матрицей инерции относительно центра масс. ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$ а матрица инерции относительно другой точки ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ . Это соотношение называется теоремой о параллельных осях. ^[3]^[6]

Рассмотрим матрицу инерции ${\ displaystyle \ mathbf {I_ {R}}}$ получено для жесткой системы частиц, измеренной относительно реперной точки ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ , данный

{\ displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R}} = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ left [\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf { R} \ right] ^ {2}.}

Позволять ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$ быть центром масс жесткой системы, то

{\ Displaystyle \ mathbf {R} = (\ mathbf {R} - \ mathbf {C}) + \ mathbf {C} = \ mathbf {d} + \ mathbf {C},}

где ${\ displaystyle \ mathbf {d}}$ вектор из центра масс ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$ к точке отсчета ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ . Используйте это уравнение для вычисления матрицы инерции,

{\ displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R}} = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ mathbf {r} _ {i} - \ left (\ mathbf {C} + \ mathbf {d} \ right)] ^ {2} = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ left (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C} \ right) - \ mathbf {d}] ^ {2}.}

Распределите по перекрестному произведению, чтобы получить

{\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R}} = - \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C}] ^ {2} \ right) + \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C}] \ right ) [\ mathbf {d}] + [\ mathbf {d}] \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {C }] \ right) - \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ right) [\ mathbf {d}] ^ {2}.}

Первый член - это матрица инерции ${\ displaystyle \ mathbf {I_ {C}}}$ относительно центра масс. Второй и третий члены равны нулю по определению центра масс. ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$ . И последний член - это полная масса системы, умноженная на квадрат кососимметричной матрицы ${\ Displaystyle [\ mathbf {d}]}$ построен из ${\ displaystyle \ mathbf {d}}$ .

Результатом является теорема о параллельных осях,

{\ displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R}} = \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} -M [\ mathbf {d}] ^ {2},}

где ${\ displaystyle \ mathbf {d}}$ вектор из центра масс ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$ к точке отсчета ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ .

Обратите внимание на знак минус : при использовании асимметричной матрицы векторов положения относительно опорной точки матрица инерции каждой частицы имеет вид ${\ displaystyle -m \ left [\ mathbf {r} \ right] ^ {2}}$ , что похоже на ${\ displaystyle mr ^ {2}}$ который появляется в плоском движении. Однако для правильной работы необходим знак минус. Этот знак минус можно вписать в термин ${\ displaystyle m \ left [\ mathbf {r} \ right] ^ {\ mathsf {T}} \ left [\ mathbf {r} \ right]}$ , при желании, используя свойство кососимметричности ${\ displaystyle [\ mathbf {r}]}$ .

Скалярный момент инерции в плоскости

Скалярный момент инерции, ${\ displaystyle I_ {L}}$ , тела вокруг указанной оси, направление которой задается единичным вектором ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}$ и проходит через тело в точке ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ выглядит следующим образом: ^[6]

{\ displaystyle I_ {L} = \ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {2} \ right) \ mathbf {\ hat {k}} = \ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R}} \ mathbf { \ hat {k}} = \ mathbf {\ hat {k}} ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R}} \ mathbf {\ hat {k}},}

где ${\ displaystyle \ mathbf {I_ {R}}}$ - матрица момента инерции системы относительно реперной точки ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ , а также ${\ displaystyle [\ Delta \ mathbf {r} _ {i}]}$ - кососимметричная матрица, полученная из вектора ${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R}}$ .

Это выводится следующим образом. Пусть жесткая сборка ${\ displaystyle n}$ частицы ${\ displaystyle P_ {i}, i = 1, ..., n}$ , есть координаты ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {я}}$ . Выбирать ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ в качестве контрольной точки и вычислить момент инерции вокруг линии L, определяемой единичным вектором ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}$ через контрольную точку ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ , ${\ displaystyle \ mathbf {L} (t) = \ mathbf {R} + t \ mathbf {\ hat {k}}}$ . Перпендикулярный вектор от этой линии к частице ${\ displaystyle P_ {i}}$ получается из ${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i}}$ удалив компонент, который проецируется на ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}$ .

{\ displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i} ^ {\ perp} = \ Delta \ mathbf {r} _ {i} - \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ mathbf {\ hat {k}} = \ left (\ mathbf {E} - \ mathbf {\ hat {k}} \ mathbf {\ hat {k}} ^ {\ mathsf {T}} \ right) \ Delta \ mathbf {r} _ {i},}

где ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ является единичной матрицей, чтобы избежать путаницы с матрицей инерции, и ${\ Displaystyle \ mathbf {\ шляпа {к}} \ mathbf {\ шляпа {k}} ^ {\ mathsf {T}}}$ матрица внешнего продукта, сформированная из единичного вектора ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}$ вдоль линии ${\ displaystyle L}$ .

Чтобы связать этот скалярный момент инерции с матрицей инерции тела, введем кососимметричную матрицу ${\ displaystyle \ left [\ mathbf {\ hat {k}} \ right]}$ такой, что ${\ displaystyle \ left [\ mathbf {\ hat {k}} \ right] \ mathbf {y} = \ mathbf {\ hat {k}} \ times \ mathbf {y}}$ , то имеем тождество

{\ displaystyle - \ left [\ mathbf {\ hat {k}} \ right] ^ {2} \ Equiv \ left | \ mathbf {\ hat {k}} \ right | ^ {2} \ left (\ mathbf { E} - \ mathbf {\ hat {k}} \ mathbf {\ hat {k}} ^ {\ mathsf {T}} \ right) = \ mathbf {E} - \ mathbf {\ hat {k}} \ mathbf {\ hat {k}} ^ {\ mathsf {T}},}

отмечая, что ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}$ является единичным вектором.

Квадрат величины перпендикулярного вектора равен

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left | \ Delta \ mathbf {r} _ {i} ^ {\ perp} \ right | ^ {2} & = \ left (- \ left [\ mathbf {\ hat { k}} \ right] ^ {2} \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ cdot \ left (- \ left [\ mathbf {\ hat {k}} \ right] ^ {2} \ Дельта \ mathbf {r} _ {i} \ right) \\ & = \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf { r} _ {i} \ right) \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ right) \ end {выравнивается}}}

При упрощении этого уравнения используется тождество тройного скалярного произведения

{\ displaystyle \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ right) \ Equiv \ left ( \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ right) \ times \ mathbf { \ hat {k}} \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right),}

где точка и кросс-произведения поменялись местами. Обмен товарами и упрощение, отмечая, что ${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i}}$ а также ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}$ ортогональны:

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \) right) \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ справа) \\ = {} & \ left (\ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i}) \ right) \ right) \ times \ mathbf {\ hat {k}} \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \\ = {} & \ left (\ mathbf {\ hat {k}} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ cdot \ left (- \ Delta \ mathbf {r} _ {i } \ times \ mathbf {\ hat {k}} \ right) \\ = {} & - \ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ left (\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {\ hat {k}} \ right) \\ = {} & - \ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ left [\ Delta \ mathbf { r} _ {i} \ right] ^ {2} \ mathbf {\ hat {k}}. \ end {выравнивается}}}

Таким образом, момент инерции вокруг линии ${\ displaystyle L}$ через ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ в направлении ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}$ получается из расчета

{\ displaystyle {\ begin {align} I_ {L} & = \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} \ left | \ Delta \ mathbf {r} _ {i} ^ {\ perp} \ right | ^ {2} \\ & = - \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} \ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {2} \ mathbf {\ hat {k}} = \ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ left (- \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i } \ left [\ Delta \ mathbf {r} _ {i} \ right] ^ {2} \ right) \ mathbf {\ hat {k}} \\ & = \ mathbf {\ hat {k}} \ cdot \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R}} \ mathbf {\ hat {k}} = \ mathbf {\ hat {k}} ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {I} _ {\ mathbf {R }} \ mathbf {\ hat {k}}, \ end {выравнивается}}}

где ${\ displaystyle \ mathbf {I_ {R}}}$ - матрица момента инерции системы относительно реперной точки ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ .

Это показывает, что матрица инерции может использоваться для вычисления момента инерции тела вокруг любой заданной оси вращения в теле.

Тензор инерции

Для одного и того же объекта разные оси вращения будут иметь разные моменты инерции относительно этих осей. В общем, моменты инерции не равны, если объект не симметричен относительно всех осей. Момент инерции тензора удобный способ суммировать все моменты инерции объекта с одной величиной. Его можно вычислить относительно любой точки в пространстве, хотя для практических целей чаще всего используется центр масс.

Определение

Для жесткого объекта ${\ displaystyle N}$ точечные массы ${\ displaystyle m_ {k}}$ , тензор момента инерции имеет вид

{\ displaystyle \ mathbf {I} = {\ begin {bmatrix} I_ {11} & I_ {12} & I_ {13} \\ I_ {21} & I_ {22} & I_ {23} \\ I_ {31} & I_ {32 } & I_ {33} \ end {bmatrix}}}

.

Его компоненты определяются как

{\ displaystyle I_ {ij} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left (\ left \ | \ mathbf {r } _ {k} \ right \ | ^ {2} \ delta _ {ij} -x_ {i} ^ {(k)} x_ {j} ^ {(k)} \ right)}

где

{\ displaystyle i}

,

{\ displaystyle j}

равно 1, 2 или 3 для

{\ displaystyle x}

,

{\ displaystyle y}

, а также

{\ displaystyle z}

, соответственно,

{\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {k} = \ left (x_ {1} ^ {(k)}, x_ {2} ^ {(k)}, x_ {3} ^ {(k)} \ right )}

вектор к точечной массе

{\ displaystyle m_ {k}}

от точки, относительно которой вычисляется тензор, и

{\ displaystyle \ delta _ {ij}}

- дельта Кронекера .

Отметим, что по определению ${\ displaystyle \ mathbf {I}}$ - симметричный тензор .

Диагональные элементы более кратко записываются как

{\ displaystyle {\ begin {align} I_ {xx} \ & {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left (y_ {k} ^ {2} + z_ {k} ^ {2} \ right), \\ I_ {yy} \ & {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ sum _ {k = 1 } ^ {N} m_ {k} \ left (x_ {k} ^ {2} + z_ {k} ^ {2} \ right), \\ I_ {zz} \ & {\ stackrel {\ mathrm {def} } {=}} \ \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left (x_ {k} ^ {2} + y_ {k} ^ {2} \ right), \ end {выровнено }}}

в то время как недиагональные элементы, также называемые продуктами инерции , являются

{\ displaystyle {\ begin {align} I_ {xy} = I_ {yx} \ & {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ { k} x_ {k} y_ {k}, \\ I_ {xz} = I_ {zx} \ & {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ - \ sum _ {k = 1} ^ { N} m_ {k} x_ {k} z_ {k}, \\ I_ {yz} = I_ {zy} \ & {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ - \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} y_ {k} z_ {k}. \ End {align}}}

Здесь ${\ displaystyle I_ {xx}}$ обозначает момент инерции вокруг ${\ displaystyle x}$ -axis, когда объекты вращаются вокруг оси x, ${\ displaystyle I_ {xy}}$ обозначает момент инерции вокруг ${\ displaystyle y}$ ось, когда объекты вращаются вокруг ${\ displaystyle x}$ -ось и т. д.

Эти величины могут быть обобщены на объект с распределенной массой, описываемый функцией плотности массы, аналогично скалярному моменту инерции. Тогда есть

{\ Displaystyle \ mathbf {I} = \ iiint \ limits _ {V} \ rho (x, y, z) \ left (\ | \ mathbf {r} \ | ^ {2} \ mathbf {E} _ {3 } - \ mathbf {r} \ otimes \ mathbf {r} \ right) \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} z,}

где ${\ displaystyle \ mathbf {r} \ otimes \ mathbf {r}}$ - их внешний продукт , E ₃ - единичная матрица 3 × 3 , а V - область пространства, полностью содержащая объект.

В качестве альтернативы его также можно записать в терминах оператора углового момента ${\ Displaystyle [\ mathbf {r}] \ mathbf {x} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {x}}$ :

{\ Displaystyle \ mathbf {I} = \ iiint \ limits _ {V} \ rho (\ mathbf {r}) [\ mathbf {r}] ^ {\textf {T}} [\ mathbf {r}] \, \ mathrm {d} V = - \ iiint \ limits _ {Q} \ rho (\ mathbf {r}) [\ mathbf {r}] ^ {2} \, \ mathrm {d} V}

Тензор инерции можно использовать так же, как и матрицу инерции, для вычисления скалярного момента инерции относительно произвольной оси в направлении ${\ Displaystyle \ mathbf {п}}$ ,

{\ Displaystyle I_ {п} = \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {I} \ cdot \ mathbf {n},}

где скалярное произведение берется с соответствующими элементами в компонентных тензорах. Продукт инерции, такой как ${\ displaystyle I_ {12}}$ получается вычислением

{\ displaystyle I_ {12} = \ mathbf {e} _ {1} \ cdot \ mathbf {I} \ cdot \ mathbf {e} _ {2},}

и может интерпретироваться как момент инерции вокруг ${\ displaystyle x}$ ось, когда объект вращается вокруг ${\ displaystyle y}$ -ось.

Компоненты тензоров второй степени можно собрать в матрицу. Для тензора инерции эта матрица имеет вид

{\ displaystyle \ mathbf {I} = {\ begin {bmatrix} I_ {11} & I_ {12} & I_ {13} \\ I_ {21} & I_ {22} & I_ {23} \\ I_ {31} & I_ {32 } & I_ {33} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} I_ {xx} & I_ {xy} & I_ {xz} \\ I_ {yx} & I_ {yy} & I_ {yz} \\ I_ {zx} & I_ {zy} & I_ {zz} \ end {bmatrix}}.}

В механике твердого тела принято использовать обозначения, которые явно определяют ${\ displaystyle x}$ , ${\ displaystyle y}$ , а также ${\ displaystyle z}$ -акси, такие как ${\ displaystyle I_ {xx}}$ а также ${\ displaystyle I_ {xy}}$ , для компонент тензора инерции.

Альтернативное соглашение об инерции

Есть некоторые приложения CAD и CAE, такие как SolidWorks, Unigraphics NX / Siemens NX и MSC Adams, которые используют альтернативное соглашение для продуктов инерции. Согласно этому соглашению, знак минус удаляется из произведения формул инерции и вместо этого вставляется в матрицу инерции:

{\ displaystyle {\ begin {align} I_ {xy} = I_ {yx} \ & {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k } x_ {k} y_ {k}, \\ I_ {xz} = I_ {zx} \ & {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} x_ {k} z_ {k}, \\ I_ {yz} = I_ {zy} \ & {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} y_ {k} z_ {k}, \\ [3pt] \ mathbf {I} & = {\ begin {bmatrix} I_ {xx} & - I_ {xy} & - I_ {xz} \\ - I_ {yx} & I_ {yy} & - I_ {yz} \\ - I_ {zx} & - I_ {zy} & I_ {zz} \ end {bmatrix}}. \ End {align}}}

Вывод компонент тензора

Расстояние ${\ displaystyle r}$ частицы на ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ от оси вращения, проходящей через начало координат в ${\ Displaystyle \ mathbf {\ шляпа {п}}}$ направление ${\ displaystyle \ left | \ mathbf {x} - \ left (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ right) \ mathbf {\ hat {n}} \ right |}$ , где ${\ Displaystyle \ mathbf {\ шляпа {п}}}$ - единичный вектор. Момент инерции на оси равен

{\ Displaystyle I = г-н ^ {2} = м \ влево (\ mathbf {x} - \ left (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ right) \ mathbf {\ hat {п }} \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {x} - \ left (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ right) \ mathbf {\ hat {n}} \ right) = m \ left (\ mathbf {x} ^ {2} -2 \ mathbf {x} \ left (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ right) \ mathbf {\ hat {n }} + \ left (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ right) ^ {2} \ mathbf {\ hat {n}} ^ {2} \ right) = m \ left ( \ mathbf {x} ^ {2} - \ left (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ right) ^ {2} \ right)}

.

Перепишите уравнение, используя транспонирование матрицы :

{\ displaystyle I = m \ left (\ mathbf {x} ^ {\textf {T}} \ mathbf {x} - \ mathbf {\ hat {n}} ^ {\textf {T}} \ mathbf {x} \ mathbf {x} ^ {\textf {T}} \ mathbf {\ hat {n}} \ right) = m \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} ^ {\textf {T}} \ left (\ mathbf {x} ^ {\textf {T}} \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {E_ {3}} - \ mathbf {x} \ mathbf {x} ^ {\textf {T}} \ right) \ mathbf {\ hat {n}}}

,

где E ₃ - единичная матрица 3 × 3 .

Это приводит к тензорной формуле для момента инерции

{\ displaystyle I = m {\ begin {bmatrix} n_ {1} & n_ {2} & n_ {3} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} y ^ {2} + z ^ {2} & - xy & -xz \\ - yx & x ^ {2} + z ^ {2} & - yz \\ - zx & -zy & x ^ {2} + y ^ {2} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} n_ {1 } \\ n_ {2} \\ n_ {3} \ end {bmatrix}}}

.

Для множественных частиц нам нужно только вспомнить, что момент инерции аддитивен, чтобы убедиться, что эта формула верна.

Тензор инерции перевода

Позволять ${\ displaystyle \ mathbf {I} _ {0}}$ - тензор инерции тела, вычисленный в его центре масс , и ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ вектор смещения тела. Тензор инерции перенесенного тела относительно его первоначального центра масс определяется выражением:

{\ Displaystyle \ mathbf {I} = \ mathbf {I} _ {0} + м [(\ mathbf {R} \ cdot \ mathbf {R}) \ mathbf {E} _ {3} - \ mathbf {R} \ otimes \ mathbf {R}]}

где ${\ displaystyle m}$ - масса тела, E ₃ - единичная матрица 3 × 3, и ${\ displaystyle \ otimes}$ это внешний продукт .

Тензор инерции вращения

Позволять ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ - матрица , представляющая вращение тела. Тензор инерции вращающегося тела определяется выражением: ^[26]

{\ Displaystyle \ mathbf {I} = \ mathbf {R} \ mathbf {I_ {0}} \ mathbf {R} ^ {\textf {T}}}

Матрица инерции в разных системах отсчета

Использование матрицы инерции во втором законе Ньютона предполагает, что ее компоненты вычисляются относительно осей, параллельных инерциальной системе отсчета, а не относительно неподвижной системы отсчета. ^[6]^[23] Это означает, что по мере движения тела компоненты матрицы инерции меняются со временем. Напротив, компоненты матрицы инерции, измеренные в неподвижной раме, являются постоянными.

Каркас кузова

Обозначим матрицу инерции корпуса относительно центра масс ${\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} ^ {B}}$ , и зададим ориентацию корпуса корпуса относительно инерциальной системы координат с помощью матрицы вращения ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ , так что,

{\ Displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {A} \ mathbf {y},}

где векторы ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$ в неподвижной системе координат тела имеют координаты ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ в инерциальной системе отсчета. Тогда матрица инерции тела, измеренная в инерциальной системе отсчета, имеет вид

{\ displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} = \ mathbf {A} \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} ^ {B} \ mathbf {A} ^ {\ mathsf {T }}.}

Заметь ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ изменяется по мере движения тела, в то время как ${\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} ^ {B}}$ остается постоянным.

Основные оси

Матрица инерции, измеряемая в корпусе, представляет собой постоянную действительную симметричную матрицу. Вещественная симметричная матрица имеет собственное разложение в произведение матрицы вращения ${\ displaystyle \ mathbf {Q}}$ и диагональная матрица ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Lambda}}}$ , данный

{\ displaystyle \ mathbf {I} _ {\ mathbf {C}} ^ {B} = \ mathbf {Q} {\ boldsymbol {\ Lambda}} \ mathbf {Q} ^ {\ mathsf {T}},}

где

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Lambda}} = {\ begin {bmatrix} I_ {1} & 0 & 0 \\ 0 & I_ {2} & 0 \\ 0 & 0 & I_ {3} \ end {bmatrix}}.}

Столбцы матрицы вращения ${\ displaystyle \ mathbf {Q}}$ определяют направления главных осей тела, а константы ${\ displaystyle I_ {1}}$ , ${\ displaystyle I_ {2}}$ , а также ${\ displaystyle I_ {3}}$ называются главными моментами инерции . Этот результат был впервые показан Дж. Дж. Сильвестром (1852 г.) и представляет собой форму закона инерции Сильвестра . ^[27]^[28] Главная ось с наивысшим моментом инерции иногда называется осью фигуры или осью фигуры .

Когда все главные моменты инерции различны, главные оси, проходящие через центр масс, задаются однозначно, и твердое тело называется асимметричным волчком . Если два главных момента совпадают, твердое тело называется симметричным волчком, и нет однозначного выбора для двух соответствующих главных осей. Если все три главных момента одинаковы, твердое тело называется сферической вершиной (хотя она не обязательно должна быть сферической), и любая ось может считаться главной осью, что означает, что момент инерции одинаков для любой оси.

Главные оси часто совпадают с осями симметрии объекта. Если твердое тело имеет ось симметрии порядка ${\ displaystyle m}$ , что означает, что он симметричен при вращении на 360 ° / м вокруг данной оси, эта ось является главной осью. Когда ${\ displaystyle m> 2}$ , твердое тело представляет собой симметричный волчок. Если твердое тело имеет по крайней мере две оси симметрии, которые не параллельны и не перпендикулярны друг другу, это сферическая вершина, например, куб или любое другое платоново твердое тело .

Движения из транспортных средств часто описывается в терминах рыскания, тангажа и крена , который , как правило , примерно соответствует вращению вокруг трех главных осей. Если автомобиль имеет двустороннюю симметрию, то одна из главных осей будет точно соответствовать поперечной оси (тангажу).

Практическим примером этого математического явления является рутинная автомобильная задача по балансировке шины , что в основном означает регулировку распределения массы автомобильного колеса таким образом, чтобы его главная ось инерции была выровнена с осью, чтобы колесо не качалось.

Вращающиеся молекулы также классифицируются как асимметричные, симметричные или сферические вершины, и структура их вращательных спектров различна для каждого типа.

Эллипсоид

Эллипсоид с полуглавными диаметрами, обозначенными

{\ displaystyle a}

,

{\ displaystyle b}

, а также

{\ displaystyle c}

.

Матрица момента инерции в координатах тело-рама представляет собой квадратичную форму, которая определяет поверхность в теле, называемую эллипсоидом Пуансо . ^[29] Пусть ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Lambda}}}$ - матрица инерции относительно центра масс, совмещенная с главными осями, тогда поверхность

{\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ mathsf {T}} {\ boldsymbol {\ Lambda}} \ mathbf {x} = 1,}

или же

{\ displaystyle I_ {1} x ^ {2} + I_ {2} y ^ {2} + I_ {3} z ^ {2} = 1,}

определяет эллипсоид в рамке тела. Запишите это уравнение в виде

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {1 / {\ sqrt {I_ {1}}}}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {1 / {\ sqrt {I_ {2}}}}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {z} {1 / {\ sqrt {I_ {3}}}}} \ right) ^ {2} = 1 ,}

чтобы увидеть, что полуглавные диаметры этого эллипсоида равны

{\ displaystyle a = {\ frac {1} {\ sqrt {I_ {1}}}}, \ quad b = {\ frac {1} {\ sqrt {I_ {2}}}}, \ quad c = { \ frac {1} {\ sqrt {I_ {3}}}}.}

Пусть точка ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ на этом эллипсоиде определяется его величиной и направлением, ${\ Displaystyle \ mathbf {x} = \ | \ mathbf {x} \ | \ mathbf {n}}$ , где ${\ Displaystyle \ mathbf {п}}$ является единичным вектором. Тогда связь, представленная выше, между матрицей инерции и скалярным моментом инерции ${\ displaystyle I _ {\ mathbf {n}}}$ вокруг оси в направлении ${\ Displaystyle \ mathbf {п}}$ , дает

{\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ mathsf {T}} {\ boldsymbol {\ Lambda}} \ mathbf {x} = \ | \ mathbf {x} \ | ^ {2} \ mathbf {n} ^ { \ mathsf {T}} {\ boldsymbol {\ Lambda}} \ mathbf {n} = \ | \ mathbf {x} \ | ^ {2} I _ {\ mathbf {n}} = 1.}

Таким образом, величина точки ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ в направлении ${\ Displaystyle \ mathbf {п}}$ на эллипсоиде инерции

{\ displaystyle \ | \ mathbf {x} \ | = {\ frac {1} {\ sqrt {I _ {\ mathbf {n}}}}}.}

Смотрите также

Центральный момент
Список моментов инерции
Плоская пластинка
Вращательная энергия
Момент инерции, фактор

Внешние ссылки

Угловой момент и вращение твердого тела в двух и трех измерениях
Конспект лекций по вращению твердого тела и моментам инерции
Тензор момента инерции
Вводный урок о моменте инерции: удержание вертикального столба от падения (симуляция Java)
Учебник по поиску моментов инерции, с проблемами и решениями для различных основных форм
Замечания по механике манипуляции: тензор угловой инерции

[mach-1] Мах, Эрнст (1919). Наука о механике . стр. 173 -187 . Проверено 21 ноября 2014 года .

[Euler1730-2] Эйлер, Леонард (1765). Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum: Ex primis nostraeognitionis Principiis stabilita et ad omnes motus, qui in huiusmodi corpora cadere Possunt, accordata [Теория движения твердых или твердых тел: основана на первых принципах наших знаний и подходит для всех движений, которые может встречаться в таких телах] (на латыни). Росток и Грайфсвальд (Германия): AF Röse. п. 166 . ISBN 978-1-4297-4281-8.Со страницы 166: «Definitio 7. 422. Momentum inertiae corporis due to eujuspiam axis est summa omnium productorum, quae oriuntur, si singula corporis elementa per quadrata distantiarum suarum ab ax multiplicentur». (Определение 7. 422. Момент инерции тела относительно любой оси - это сумма всех произведений, которые возникают, если отдельные элементы тела умножить на квадрат их расстояний от оси.)

[Marion_1995-3] а б в г д е Marion, JB; Торнтон, СТ (1995). Классическая динамика частиц и систем (4-е изд.). Томсон. ISBN 0-03-097302-3.

[Symon_1971-4] а б Саймон, KR (1971). Механика (3-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-07392-7.

[Tenenbaum_2004-5] а б Тененбаум, РА (2004). Основы прикладной динамики . Springer. ISBN 0-387-00887-X.

[Kane-6] Б с д е е г ч Кейн, TR; Левинсон, Д.А. (1985). Динамика, теория и приложения . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл.

[Winn-7] а б Винн, Уилл (2010). Введение в понятную физику: Том I - Механика . АвторДом. п. 10.10. ISBN 978-1449063337.

[Fullerton-8] а б Фуллертон, Дэн (2011). С отличием по физике . Silly Beagle Productions. С. 142–143. ISBN 978-0983563334.

[Wolfram-9] Вольфрам, Стивен (2014). "Фигуристка на спинке" . Вольфрам Демонстрационный проект . Mathematica, Inc . Проверено 30 сентября 2014 года .

[Hokin-10] Хокин, Самуэль (2014). «Фигурное катание» . Физика повседневного . Проверено 30 сентября 2014 года .

[Breithaupt-11] Брейтаупт, Джим (2000). Новое понимание физики для продвинутого уровня . Нельсон Томас. п. 64. ISBN 0748743146.

[Crowell-12] Кроуэлл, Бенджамин (2003). Законы сохранения . Свет и материя. С. 107 . ISBN 0970467028. фигуристка сохранения углового момента.

[Tipler-13] Типлер, Пол А. (1999). Физика для ученых и инженеров. 1. Механика, колебания и волны, термодинамика . Макмиллан. п. 304. ISBN 1572594918.

[B-Paul-14] а б в г д Пол, Бертон (июнь 1979 г.). Кинематика и динамика плоских машин . Прентис Холл. ISBN 978-0135160626.

[Resnick-15] Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт; Уокер, Джерл (2005). Основы физики (7-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 9780471216438.

[16] Французский, AP (1971). Вибрации и волны . Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 9780748744473.

[Uicker-17] а б в г д е Уикер, Джон Дж .; Пеннок, Гордон Р .; Шигли, Джозеф Э. (2010). Теория машин и механизмов (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0195371239.

[18] Х. Уильямс, Измерение тензора инерции , представленный на конференции IMA Mathematics 2007.

[19] Грейси, Уильям, Экспериментальное определение моментов инерции самолетов с помощью упрощенного метода составного маятника, NACA Technical Note No. 1629 , 1948

[20] В этой ситуации этот момент инерции описывает только то, как крутящий момент, приложенный вдоль этой оси, вызывает вращение вокруг этой оси. Но крутящие моменты, не выровненные по главной оси, также вызовут вращение вокруг других осей.

[Beer-21] Б с д е е г ч I Фердинанд П. Бир; Э. Рассел Джонстон; Младший, Филип Дж. Корнуэлл (2010). Векторная механика для инженеров: Динамика (9-е изд.). Бостон: Макгроу-Хилл. ISBN 978-0077295493.

[22] Уолтер Д. Пилки, Анализ и расчет упругих балок: вычислительные методы , Джон Вили, 2002.

[Goldstein-23] а б Гольдштейн, Х. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-02918-9.

[24] Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Механика , Том 1. 2-е изд., Pergamon Press, 1969.

[Tsai-25] Л. В. Цай, Анализ роботов: механика последовательных и параллельных манипуляторов, John-Wiley, NY, 1999.

[26] Дэвид, Барафф. «Физическое моделирование - моделирование твердого тела» (PDF) . Pixar Graphics Technologies .

[syl852-27] Сильвестр, Дж. Дж. (1852 г.). «Демонстрация теоремы о том, что каждый однородный квадратичный многочлен сводится с помощью вещественных ортогональных подстановок к форме суммы положительных и отрицательных квадратов» (PDF) . Философский журнал . 4-я серия. 4 (23): 138–142. DOI : 10.1080 / 14786445208647087 . Проверено 27 июня 2008 года .

[norm-28] Норман, CW (1986). Алгебра бакалавриата . Издательство Оксфордского университета . С. 360–361. ISBN 0-19-853248-2.

[29] Мейсон, Мэтью Т. (2001). Механика манипуляций робототехникой . MIT Press. ISBN 978-0-262-13396-8. Проверено 21 ноября 2014 года .

[1]

Момент инерции

Вступление

Определение

Примеры

Простой маятник

Составной маятник

Центр колебаний

Момент инерции измерения

Движение в неподвижной плоскости

Точечная масса

Примеры

Жесткое тело

Угловой момент

Кинетическая энергия

Законы Ньютона

Движение твердого тела в пространстве и матрица инерции

Угловой момент

Кинетическая энергия

Результирующий крутящий момент

Теорема о параллельной оси

Скалярный момент инерции в плоскости

Тензор инерции

Определение

Альтернативное соглашение об инерции

Вывод компонент тензора

Тензор инерции перевода

Тензор инерции вращения

Матрица инерции в разных системах отсчета

Каркас кузова

Основные оси

Эллипсоид

Смотрите также

Рекомендации

Внешние ссылки