Динамика жесткого тела

Часть серии по
Классическая механика
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (м {\ textbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви Применяемый Небесный Continuum Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистический
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция  / момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Коэффициент демпфирования Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерциальная  / неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение  ( линейное ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение  / перемещение  / частота  / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика
v т е

В физической науке динамики , твердое тело динамика изучает движение от систем из взаимосвязанных тел под действием внешних сил . Предположение о том, что тела являются жесткими (т.е. они не деформируются под действием приложенных сил), упрощает анализ, сводя параметры, описывающие конфигурацию системы, к перемещению и вращению систем отсчета, прикрепленных к каждому телу. ^{[1] [2]} Сюда не входят тела с жидкими , эластичными и пластичными материалами поведение.

Динамика системы твердого тела описывается законами кинематики и применением второго закона Ньютона ( кинетики ) или их производной формы, лагранжевой механики . Решение этих уравнений движения обеспечивает описание положения, движения и ускорения отдельных компонентов системы и самой системы в целом как функцию времени . Формулировка и решение динамики твердого тела - важный инструмент компьютерного моделирования механических систем .

Плоская динамика твердого тела [ править ]

Если система частиц движется параллельно фиксированной плоскости, говорят, что система ограничена планарным движением. В этом случае законы (кинетика) Ньютона для жесткой системы из N частиц, P _i , i = 1, ..., N, упрощаются, поскольку нет движения в направлении k . Определите результирующую силу и крутящий момент в контрольной точке R , чтобы получить

${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} \ mathbf {A} _ {i}, \ quad \ mathbf {T} = \ sum _ {i = 1 } ^ {N} (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R}) \ times (m_ {i} \ mathbf {A} _ {i}),}$

где r _i обозначает плоскую траекторию каждой частицы.

В Кинематика твердого тела дает формулу для ускорения частиц Р _я с точки зрения положения R и ускорения A опорной частицы, а также вектор угловой скорости & omega и угловой вектора ускорения альфа жесткой системы частиц , как ,

${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {i} = \ alpha \ times (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R}) + \ omega \ times (\ omega \ times (\ mathbf {r}) _ {i} - \ mathbf {R})) + \ mathbf {A}.}$

Для систем, которые ограничены плоским движением, векторы угловой скорости и углового ускорения направлены вдоль k перпендикулярно плоскости движения, что упрощает это уравнение ускорения. В этом случае векторы ускорения может быть упрощена путем введения единичных векторов е _I от опорной точки R до точки г _I и единичные векторы , так${\ textstyle \ mathbf {т} _ {я} = к \ раз \ mathbf {е} _ {я}}$

${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {i} = \ alpha (\ Delta r_ {i} \ mathbf {t} _ {i}) - \ omega ^ {2} (\ Delta r_ {i} \ mathbf {e } _ {i}) + \ mathbf {A}.}$

Это дает результирующую силу, действующую на систему, как

${\displaystyle \mathbf {F} =\alpha \sum _{i=1}^{N}m_{i}(\Delta r_{i}\mathbf {t} _{i})-\omega ^{2}\sum _{i=1}^{N}m_{i}(\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i})+(\sum _{i=1}^{N}m_{i})\mathbf {A} ,}$

и крутящий момент как

${\displaystyle \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(m_{i}\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i})\times (\alpha (\Delta r_{i}\mathbf {t} _{i})-\omega ^{2}(\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i})+\mathbf {A} )=(\sum _{i=1}^{N}m_{i}\Delta r_{i}^{2})\alpha {\vec {k}}+(\sum _{i=1}^{N}m_{i}\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i})\times \mathbf {A} ,}$

где и - единичный вектор, перпендикулярный плоскости для всех частиц P _i .${\textstyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i}=0}$${\textstyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {t} _{i}=k}$

Используйте центр масс C как точку отсчета, чтобы эти уравнения для законов Ньютона упростились и стали

${\displaystyle \mathbf {F} =M\mathbf {A} ,\quad \mathbf {T} =I_{C}\alpha {\vec {k}},}$

где M - общая масса, а I _C - момент инерции относительно оси, перпендикулярной движению жесткой системы и проходящей через центр масс.

Трехмерное твердое тело [ править ]

Описание ориентации или отношения [ править ]

Было разработано несколько методов описания ориентации твердого тела в трех измерениях. Они кратко изложены в следующих разделах.

Углы Эйлера [ править ]

Первую попытку изобразить ориентацию приписывают Леонарду Эйлеру . Он представил три системы отсчета, которые могут вращаться одна вокруг другой, и понял, что, начав с фиксированной системы отсчета и выполнив три вращения, он может получить любую другую систему отсчета в пространстве (используя два поворота для фиксации вертикальной оси и еще одну для зафиксируйте две другие оси). Величины этих трех поворотов называются углами Эйлера . Обычно используется для обозначения прецессии, нутации и собственного вращения.${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$

• Схема углов Эйлера

• Собственное вращение шара вокруг фиксированной оси.

• Движение волчка в углах Эйлера.

Углы Тейта – Брайана [ править ]

Это три угла, также известные как рыскание, тангаж и крен, углы навигации и углы кардана. Математически они представляют собой набор из шести возможных внутри двенадцати возможных наборов углов Эйлера, причем порядок является наиболее подходящим для описания ориентации транспортного средства, такого как самолет. В аэрокосмической технике их обычно называют углами Эйлера.

Вектор ориентации [ редактировать ]

Эйлер также понял, что композиция двух вращений эквивалентна одному вращению вокруг другой фиксированной оси ( теорема Эйлера о вращении ). Следовательно, композиция первых трех углов должна быть равна только одному вращению, ось которого было сложно вычислить до тех пор, пока не были разработаны матрицы.

Основываясь на этом факте, он ввел векторный способ описания любого вращения с вектором на оси вращения и модулем, равным значению угла. Следовательно, любая ориентация может быть представлена ​​вектором вращения (также называемым вектором Эйлера), который ведет к нему из системы отсчета. При использовании для представления ориентации вектор вращения обычно называют вектором ориентации или вектором ориентации.

Подобный метод, называемый представлением ось-угол , описывает поворот или ориентацию с использованием единичного вектора, выровненного с осью вращения, и отдельного значения для обозначения угла (см. Рисунок).

Матрица ориентации [ править ]

С введением матриц теоремы Эйлера были переписаны. Вращения описывались ортогональными матрицами, называемыми матрицами вращения или матрицами направляющих косинусов. При использовании для представления ориентации матрицу поворота обычно называют матрицей ориентации или матрицей ориентации.

Вышеупомянутый вектор Эйлера является собственным вектором матрицы вращения (матрица вращения имеет единственное действительное собственное значение ). Произведение двух матриц вращения - это композиция вращений. Следовательно, как и раньше, ориентация может быть задана как поворот от исходного кадра для достижения кадра, который мы хотим описать.

Конфигурационное пространство из не- симметричного объекта в п - мерном пространстве SO ( п ) × R н . Ориентацию можно визуализировать, прикрепив к объекту базу касательных векторов . Направление, в котором указывает каждый вектор, определяет его ориентацию.

Кватернион ориентации [ править ]

Другой способ описания вращения - использование кватернионов вращения , также называемых версорами. Они эквивалентны матрицам вращения и векторам вращения. Что касается векторов вращения, их легче преобразовать в матрицы и из них. При использовании для представления ориентации кватернионы вращения обычно называют кватернионами ориентации или кватернионами ориентации.

Второй закон Ньютона в трех измерениях [ править ]

Чтобы рассмотреть динамику твердого тела в трехмерном пространстве, второй закон Ньютона необходимо расширить, чтобы определить взаимосвязь между движением твердого тела и системой сил и моментов, действующих на него.

Ньютон сформулировал свой второй закон для частицы следующим образом: «Изменение движения объекта пропорционально приложенной силе и происходит в направлении прямой линии, по которой действует сила». ^[3] Поскольку Ньютон обычно называл массу, умноженную на скорость, «движение» частицы, фраза «изменение движения» относится к умножению на массу, умноженную на ускорение частицы, и поэтому этот закон обычно записывается как

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$

где F понимается как единственная внешняя сила, действующая на частицу, m - масса частицы, а a - ее вектор ускорения. Распространение второго закона Ньютона на твердые тела достигается рассмотрением жесткой системы частиц.

Жесткая система частиц [ править ]

Если система из N частиц, P _i , i = 1, ..., N , собрана в твердое тело, то второй закон Ньютона может быть применен к каждой из частиц в теле. Если F _i - внешняя сила, приложенная к частице P _i с массой m _i , то

${\displaystyle \mathbf {F} _{i}+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{ij}=m_{i}\mathbf {a} _{i},\quad i=1,\ldots ,N,}$

где F _ij - внутренняя сила частицы P _j, действующая на частицу P _i, которая поддерживает постоянное расстояние между этими частицами.

Важное упрощение этих силовых уравнений достигается путем введения результирующей силы и крутящего момента, которые действуют на жесткую систему. Эта равнодействующая сила и крутящий момент получается путем выбора одной из частиц в системе в качестве опорной точки, R , где каждый из внешних сил , которые применяются с добавлением ассоциированного крутящего момента. Результирующая сила F и крутящий момент T определяются формулами

${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{i},}$

где R _i - вектор, определяющий положение частицы P _i .

Второй закон Ньютона для частицы сочетается с этими формулами для получения результирующей силы и крутящего момента,

${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {a} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times (m_{i}\mathbf {a} _{i}),}$

где внутренние силы F _ij сокращаются попарно. В Кинематика твердого тела дает формулу для ускорения частиц Р _я с точкой зрения положения R и ускорением а опорная частицы, а также вектор угловой скорости со и угловым ускорением вектора а жесткой системы частиц , как ,

${\displaystyle \mathbf {a} _{i}=\alpha \times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\omega \times (\omega \times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} ))+\mathbf {a} .}$

Массовые характеристики [ править ]

Массовые свойства твердого тела представлены его матрицей центра масс и инерции . Выбрать точку отсчета R так, чтобы она удовлетворяла условию

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}m_{i}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )=0,}$

тогда он известен как центр масс системы. Матрица инерции [I _R ] системы относительно контрольной точки R определяется как

${\displaystyle [I_{R}]=\sum _{i=1}^{N}m_{i}(\mathbf {I} (\mathbf {S} _{i}^{T}\mathbf {S} _{i})-\mathbf {S} _{i}\mathbf {S} _{i}^{T}),}$

где - вектор-столбец R _i - R ; и его транспонирование.${\displaystyle \mathbf {S} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {S} _{i}^{T}}$

${\displaystyle \mathbf {S} _{i}^{T}\mathbf {S} _{i}}$является скалярным произведением на себя, а является тензорным произведением на себя.${\displaystyle \mathbf {S} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {S} _{i}\mathbf {S} _{i}^{T}}$${\displaystyle \mathbf {S} _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {I} }$ представляет собой единичную матрицу 3 на 3.

Уравнения сила-момент [ править ]

Используя матрицу центра масс и инерции, уравнения силы и момента для одного твердого тела принимают вид

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,\quad \mathbf {T} =[I_{R}]\alpha +\omega \times [I_{R}]\omega ,}$

и известны как второй закон движения Ньютона для твердого тела.

Динамика взаимосвязанной системы твердых тел, B _i , j  = 1, ...,  M , формулируется путем изоляции каждого твердого тела и введения сил взаимодействия. Равнодействующая внешних сил и сил взаимодействия на каждом теле дает уравнения силы-момента

${\displaystyle \mathbf {F} _{j}=m_{j}\mathbf {a} _{j},\quad \mathbf {T} _{j}=[I_{R}]_{j}\alpha _{j}+\omega _{j}\times [I_{R}]_{j}\omega _{j},\quad j=1,\ldots ,M.}$

Формулировка Ньютона дает 6 M уравнений, которые определяют динамику системы M твердых тел. ^[4]

Вращение в трех измерениях [ править ]

Вращающийся объект, независимо от того, находится ли он под действием крутящего момента или нет, может проявлять поведение прецессии и нутации . Основным уравнением, описывающим поведение вращающегося твердого тела, является уравнение движения Эйлера :

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={{D\mathbf {L} } \over {Dt}}={{d\mathbf {L} } \over {dt}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L} ={{d(I{\boldsymbol {\omega }})} \over {dt}}+{\boldsymbol {\omega }}\times {I{\boldsymbol {\omega }}}=I{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times {I{\boldsymbol {\omega }}}}$

где псевдовекторами τ и L являются, соответственно, моменты на теле и его угловой момент , скаляр I - его момент инерции , вектор ω - его угловая скорость, вектор α - его угловое ускорение, D - дифференциал в инерциальная система отсчета, а d - дифференциал в относительной системе отсчета, закрепленной с телом.

Решение этого уравнения при отсутствии приложенного крутящего момента обсуждается в статьях «Уравнение движения Эйлера» и « Эллипсоид Пуансо» .

Это следует из уравнения Эйлера , что крутящий момент τ приложено перпендикулярно к оси вращения, и , следовательно , перпендикулярный к L , приводит к вращению вокруг оси , перпендикулярной как т и л . Это движение называется прецессией . Угловая скорость прецессии Ω _P дается перекрестным произведением : ^{[ необходима цитата ]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\Omega }}_{\mathrm {P} }\times \mathbf {L} .}$

Прецессию можно продемонстрировать, поместив волчок так, чтобы его ось была горизонтальна и свободно поддерживалась (без трения в сторону прецессии) на одном конце. Вместо того, чтобы падать, как можно было ожидать, вершина, кажется, бросает вызов гравитации, оставаясь с горизонтальной осью, когда другой конец оси остается без поддержки, а свободный конец оси медленно описывает круг в горизонтальной плоскости, в результате прецессия токарная. Этот эффект объясняется приведенными выше уравнениями. Крутящий момент на верхней части создается парой сил: силой тяжести, действующей вниз на центр масс устройства, и равной силой, действующей вверх, чтобы поддерживать один конец устройства. Вращение, возникающее в результате этого крутящего момента, не направлено вниз, как можно было бы интуитивно ожидать, вызывая падение устройства.но перпендикулярно к обеим гравитационному крутящему моменту (горизонтальный и перпендикулярные к оси вращения) и ось вращения (горизонтальная и наружу от точки опоры), то есть вокруг вертикальной оси, в результате чего устройства медленно вращаться вокруг опорной точки .

При постоянном крутящем моменте величины τ скорость прецессии Ω _P обратно пропорциональна L , величине его углового момента:

${\displaystyle \tau ={\mathit {\Omega }}_{\mathrm {P} }L\sin \theta ,\!}$

где θ представляет собой угол между векторами Ω _P и L . Таким образом, если вращение волчка замедляется (например, из-за трения), его угловой момент уменьшается, и, таким образом, скорость прецессии увеличивается. Это продолжается до тех пор, пока устройство не сможет вращаться достаточно быстро, чтобы выдержать собственный вес, когда оно прекратит прецессию и не упадет со своей опоры, в основном потому, что трение против прецессии вызывает другую прецессию, которая вызывает падение.

По соглашению, эти три вектора - крутящий момент, вращение и прецессия - все ориентированы относительно друг друга согласно правилу правой руки .

Виртуальная работа сил, действующих на твердое тело [ править ]

Альтернативная формулировка динамики твердого тела, имеющая ряд удобных особенностей, получается путем рассмотрения виртуальной работы сил, действующих на твердое тело.

Виртуальная работа сил, действующих в различных точках на одно твердое тело, может быть рассчитана с использованием скоростей точки их приложения и результирующих силы и крутящего момента . Чтобы убедиться в этом, пусть силы F ₁ , F ₂ ... F _n действуют на точки R ₁ , R ₂ ... R _n твердого тела.

Траектории R _i , i  = 1, ...,  n определяются движением твердого тела. Скорость точек R _i вдоль их траекторий равна

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}={\vec {\omega }}\times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} ,}$

где ω - вектор угловой скорости тела.

Виртуальная работа [ править ]

Работа рассчитывается как скалярное произведение каждой силы на смещение точки контакта.

${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}.}$

Если траектория твердого тела определяется набором обобщенных координат q _j , j  = 1, ...,  m , то виртуальные перемещения δ r _i задаются выражением

${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}.}$

Виртуальная работа этой системы сил, действующих на тело, в терминах обобщенных координат принимает вид

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{1}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)+\ldots +\mathbf {F} _{n}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{n}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)}$

или собирая коэффициенты при δq _j

${\displaystyle \delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{1}}}\right)\delta q_{1}+\ldots +\left(\sum _{1=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)\delta q_{m}.}$

Обобщенные силы [ править ]

Для простоты рассмотрим траекторию твердого тела, которая задается одной обобщенной координатой q, такой как угол поворота, тогда формула принимает вид

${\displaystyle \delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial ({\vec {\omega }}\times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} )}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q.}$

Введите результирующую силу F и крутящий момент T, чтобы это уравнение приняло вид

${\displaystyle \delta W=\left(\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\vec {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q.}$

Величина Q, определяемая

${\displaystyle Q=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\vec {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}},}$

известна как обобщенная сила, связанная с виртуальным смещением δq. Эта формула обобщается на движение твердого тела, определяемого более чем одной обобщенной координатой, т. Е.

${\displaystyle \delta W=\sum _{j=1}^{m}Q_{j}\delta q_{j},}$

куда

${\displaystyle Q_{j}=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}_{j}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\vec {\omega }}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$

Полезно отметить, что консервативные силы, такие как сила тяжести и силы пружины, выводятся из потенциальной функции V ( q ₁ , ..., q _n ), известной как потенциальная энергия . В этом случае обобщенные силы определяются выражением

${\displaystyle Q_{j}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$

Форма принципа виртуальной работы Даламбера [ править ]

Уравнения движения механической системы твердых тел могут быть определены с использованием формы принципа виртуальной работы Даламбера. Принцип виртуальной работы используется для изучения статического равновесия системы твердых тел, однако, вводя термины ускорения в законы Ньютона, этот подход обобщается для определения динамического равновесия.

Статическое равновесие [ править ]

Статическое равновесие твердых тел механической системы определяется условием, что виртуальная работа приложенных сил равна нулю для любого виртуального смещения системы. Это известно как принцип виртуальной работы. ^[5] Это эквивалентно требованию, чтобы обобщенные силы для любого виртуального смещения равнялись нулю, то есть Q _i = 0.

Пусть механическая система построена из n твердых тел, B _i , i = 1, ..., n, и пусть равнодействующая приложенных сил к каждому телу будет парами сила-момент, F _i и T _i , i = 1, ..., п. Обратите внимание, что эти приложенные силы не включают силы реакции в местах соединения тел. Наконец, предположим, что скорость V _i и угловые скорости ω _i , i =, 1 ..., n, для каждого твердого тела определены одной обобщенной координатой q. Говорят, что такая система твердых тел имеет одну степень свободы .

Виртуальная работа сил и моментов F _i и T _i , приложенная к этой системе с одной степенью свободы, определяется выражением

${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\vec {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}}})\delta q=Q\delta q,}$

куда

${\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\vec {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}}}),}$

- обобщенная сила, действующая на эту систему с одной степенью свободы.

Если механическая система определяется m обобщенными координатами, q _j , j = 1, ..., m, то система имеет m степеней свободы, а виртуальная работа определяется выражением

${\displaystyle \delta W=\sum _{j=1}^{m}Q_{j}\delta q_{j},}$

куда

${\displaystyle Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\vec {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}),\quad j=1,\ldots ,m.}$

- обобщенная сила, связанная с обобщенной координатой q _j . Принцип виртуальной работы утверждает, что статическое равновесие возникает, когда эти обобщенные силы, действующие на систему, равны нулю, то есть

${\displaystyle Q_{j}=0,\quad j=1,\ldots ,m.}$

Эти m уравнений определяют статическое равновесие системы твердых тел.

Обобщенные силы инерции [ править ]

Рассмотрим одиночное твердое тело, которое движется под действием равнодействующей силы F и крутящего момента T , с одной степенью свободы, определяемой обобщенной координатой q. Предположим, что точкой отсчета для результирующей силы и крутящего момента является центр масс тела, тогда обобщенная сила инерции Q *, связанная с обобщенной координатой q, определяется выражением

${\displaystyle Q^{*}=-(M\mathbf {A} )\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}-([I_{R}]\alpha +\omega \times [I_{R}]\omega )\cdot {\frac {\partial {\vec {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}.}$

Эту силу инерции можно вычислить, исходя из кинетической энергии твердого тела,

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} +{\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot [I_{R}]{\vec {\omega }},}$

используя формулу

${\displaystyle Q^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial T}{\partial q}}\right).}$

Система из n твердых тел с m обобщенными координатами имеет кинетическую энергию

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}({\frac {1}{2}}M\mathbf {V} _{i}\cdot \mathbf {V} _{i}+{\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}_{i}\cdot [I_{R}]{\vec {\omega }}_{i}),}$

которые можно использовать для расчета m обобщенных сил инерции ^[6]

${\displaystyle Q_{j}^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right),\quad j=1,\ldots ,m.}$

Динамическое равновесие [ править ]

Форма принципа виртуальной работы Даламбера утверждает, что система твердых тел находится в динамическом равновесии, когда виртуальная работа суммы приложенных сил и сил инерции равна нулю для любого виртуального перемещения системы. Таким образом, для динамического равновесия системы из n твердых тел с m обобщенными координатами требуется, чтобы

${\displaystyle \delta W=(Q_{1}+Q_{1}^{*})\delta q_{1}+\ldots +(Q_{m}+Q_{m}^{*})\delta q_{m}=0,}$

для любого набора виртуальных перемещений δq _j . Это условие дает m уравнений:

${\displaystyle Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots ,m,}$

который также можно записать как

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},\quad j=1,\ldots ,m.}$

Результатом является система m уравнений движения, которые определяют динамику системы твердого тела.

Уравнения Лагранжа [ править ]

Если обобщенные силы Q _j выводятся из потенциальной энергии V (q ₁ , ..., q _m ), то эти уравнения движения принимают вид

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$

В этом случае введем лагранжиан L = TV, чтобы эти уравнения движения стали

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\quad j=1,\ldots ,m.}$

Они известны как уравнения движения Лагранжа .

Линейный и угловой момент [ править ]

Система частиц [ править ]

Линейный и угловой момент жесткой системы частиц определяется путем измерения положения и скорости частиц относительно центра масс. Пусть система частиц P _i , i = 1, ..., n, расположена в координатах r _i и скоростях v _i . Выберите опорную точку R и вычислите относительные векторы положения и скорости,

${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} .}$

Полные векторы линейного и углового момента относительно реперной точки R равны

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {d}{dt}}(\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ))+(\sum _{i=1}^{n}m_{i})\mathbf {V} ,}$

и

${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+(\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ))\times \mathbf {V} .}$

Если R выбран в качестве центра масс, эти уравнения упрощаются до

${\displaystyle \mathbf {p} =M\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ).}$

Жесткая система частиц [ править ]

Чтобы применить эти формулы к твердому телу, предположим, что частицы жестко связаны друг с другом, поэтому P _i , i = 1, ..., n расположены координатами r _i и скоростями v _i . Выберите опорную точку R и вычислите относительные векторы положения и скорости,

${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}=\omega \times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} ,}$

где ω - угловая скорость системы. ^{[7] [8] [9]}

Линейный импульс и угловой момент этой жесткой системы измеряются относительно центра масс R является

${\displaystyle \mathbf {p} =(\sum _{i=1}^{n}m_{i})\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times (\omega \times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )).}$

Эти уравнения упрощаются и становятся,

${\displaystyle \mathbf {p} =M\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =[I_{R}]\omega ,}$

где M - полная масса системы, а [I _R ] - матрица момента инерции, определяемая формулой

${\displaystyle [I_{R}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R][r_{i}-R],}$

где [г _я -R] является кососимметрическая матрица построена из вектора г _я - R .

Приложения [ править ]

• Для анализа робототехнических систем
• Для биомеханического анализа животных, людей или гуманоидных систем.
• Для анализа космических объектов
• Для понимания странных движений твердых тел. ^[10]
• Для проектирования и разработки датчиков, основанных на динамике, таких как гироскопические датчики.
• Для проектирования и разработки различных приложений повышения устойчивости автомобилей.
• Для улучшения графики видеоигр с твердыми телами.

См. Также [ править ]

• Аналитическая механика
• Аналитическая динамика
• Вариационное исчисление
• Классическая механика
• Динамика (физика)
• История классической механики
• Лагранжева механика
• Лагранжиан
• Гамильтонова механика
• Жесткое тело
• Жесткий ротор
• Динамика мягкого тела
• Многотельная динамика
• Polhode
• Herpolhode
• Прецессия
• Конструкция Пуансо
• Гироскоп
• Физический движок
• Блок обработки физики
• Слой абстракции физики - унифицированный симулятор многотельных объектов
• Dynamechs - Симулятор твердого тела
• RigidChips - японский симулятор твердого тела
• Уравнение Эйлера

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Э. Лейманис (1965). Общая задача о движении связанных твердых тел вокруг неподвижной точки. (Спрингер, Нью-Йорк).
• У. Б. Херд (2006). Механика твердого тела: математика, физика и приложения. (Вайли-ВЧ).

Внешние ссылки [ править ]

• Информация о динамике твердого тела Криса Хеккера
• Физическое моделирование: принципы и практика
• Лекции по вычислительной динамике твердого тела в Университете Висконсин-Мэдисон
• База знаний DigitalRune содержит магистерскую диссертацию и сборник ресурсов по динамике твердого тела.
• Ф. Клейн, «Замечание о связи между линейной геометрией и механикой твердого тела» (английский перевод)
• Ф. Кляйн, "О теории винтов сэра Роберта Болла" (английский перевод)
• Э. Коттон, «Применение геометрии Кэли к геометрическому изучению смещения твердого тела вокруг неподвижной точки» (английский перевод)