Метод Маколея (метод двойного интегрирования) представляет собой метод , используемый в структурном анализе для определения отклонения от Эйлера-Бернулли пучков . Использование техники Маколея очень удобно для случаев прерывистого и / или дискретного нагружения. Обычно с помощью этого метода удобно обрабатывать частичные равномерно распределенные нагрузки (udl) и равномерно изменяющиеся нагрузки (uvl) по пролету, а также ряд сосредоточенных нагрузок.
Первое описание метода на английском языке было сделано Маколеем . [1] Фактический подход, по-видимому, был разработан Клебшем в 1862 году. [2] Метод Маколея был обобщен для балок Эйлера-Бернулли с осевым сжатием, [3] на балки Тимошенко , [4] на упругие основы , [5] и к задачам, в которых жесткость на изгиб и сдвиг изменяется в балке скачкообразно. [6]
Отправной точкой является соотношение из теории пучков Эйлера-Бернулли.
Где прогиб и изгибающий момент. Это уравнение [7] проще, чем уравнение пучка четвертого порядка, и его можно дважды проинтегрировать, чтобы найти если стоимость как функция известен. Для общих нагрузок, можно выразить в виде
где количества представляют изгибающие моменты от точечных нагрузок и количество представляет собой кронштейн Маколея определяется как
Обычно при интеграции мы получили
Однако при интегрировании выражений, содержащих скобки Маколея, мы имеем
с разницей между двумя выражениями, содержащимися в константе . Использование этих правил интегрирования упрощает расчет прогиба балок Эйлера-Бернулли в ситуациях, когда имеется несколько точечных нагрузок и точечных моментов. Метод Маколея предшествует более сложным концепциям, таким как дельта-функции Дирака и ступенчатые функции, но дает те же результаты для задач пучка.
Балка с простой опорой и одной эксцентричной сосредоточенной нагрузкой.
На иллюстрации метода Маколея рассматривается балка с простой опорой и одной эксцентричной сосредоточенной нагрузкой, как показано на рисунке рядом. Первый шаг - найти. Реакции на опорах A и C определяются из баланса сил и моментов как
Следовательно, и изгибающий момент в точке D между A и B () дан кем-то
Используя соотношение кривизны момента и выражение Эйлера-Бернулли для изгибающего момента, имеем
Интегрируя приведенное выше уравнение, получаем, что для ,
В
Для точки D области BC () изгибающий момент
В подходе Маколея мы используем форму скобки Маколея в приведенном выше выражении, чтобы представить тот факт, что точечная нагрузка была приложена в точке B, т. Е.
Следовательно, уравнение пучка Эйлера-Бернулли для этой области имеет вид
Интегрируя приведенное выше уравнение, получаем:
В
Сравнивая уравнения (iii) и (vii) и (iv) и (viii), мы замечаем, что из-за непрерывности в точке B, а также . Вышеупомянутое наблюдение подразумевает, что для двух рассматриваемых областей, хотя уравнения для изгибающего момента и, следовательно, для кривизны различны, константы интегрирования, полученные при последовательном интегрировании уравнения кривизны для двух областей, одинаковы.
Приведенный выше аргумент верен для любого количества / типа разрывов в уравнениях кривизны, при условии, что в каждом случае уравнение сохраняет член для последующей области в форме и т. д. Следует помнить, что для любого x при указании величин в скобках, как в приведенном выше случае, -ve следует пренебречь, а вычисления следует проводить с учетом только тех величин, которые дают знак + ve для членов в кронштейны.
Возвращаясь к проблеме, у нас есть
Очевидно, что для и оба условия для и решение
Обратите внимание, что константы помещаются сразу после первого члена, чтобы указать, что они идут с первым членом, когда и с обоими условиями, когда . Скобки Маколея служат напоминанием о том, что количество справа равно нулю при рассмотрении точек с.
Граничные условия
В виде в , . Также, как в ,
или же,
Следовательно,
Максимальный прогиб
Для быть максимальным, . Предполагая, что это происходит для у нас есть
или же
Четко не может быть решением. Следовательно, максимальный прогиб определяется выражением
или же,
Прогиб в точке приложения нагрузки
В , т.е. в точке B прогиб равен
или же
Прогиб в средней точке
Поучительно изучить соотношение . В
Следовательно,
где и для . Даже когда нагрузка от опоры составляет примерно 0,05L, ошибка в оценке прогиба составляет всего 2,6%. Следовательно, в большинстве случаев оценка максимального отклонения может быть произведена довольно точно с разумной погрешностью путем определения отклонения в центре.
Частный случай симметрично приложенной нагрузки
Когда , для быть максимальным
а максимальный прогиб составляет