В математике , формула Виеты является следующим бесконечным произведением из вложенных радикалов , представляющих математическая константа П :
Он назван в честь Франсуа Виэта (1540–1603), который опубликовал его в 1593 году в своей работе Variorum de rebus mathematicis resporum, liber VIII . [1]
Значимость
В то время, когда Виете опубликовал свою формулу, методы аппроксимации к (в принципе) произвольной точности было известно давно. Собственный метод Виэта можно интерпретировать как вариант идеи Архимеда об аппроксимации окружности окружности периметром многогранного многоугольника [1], использованной Архимедом для нахождения приближения.
Однако, опубликовав свой метод в виде математической формулы, Виэ сформулировал первый пример бесконечного произведения, известный в математике [2] [3], и первый пример явной формулы для точного значения. [4] [5] Как первая формула, представляющая число как результат бесконечного процесса, а не конечного вычисления, формула Вьете была отмечена как начало математического анализа [6] и даже в более широком смысле как «начало современная математика ». [7]
Используя свою формулу, Виете вычислил с точностью до девяти десятичных знаков . [8] Однако это было не самое точное приближение кИзвестно , в то время, как персидский математик Аль-Каши вычислилс точностью до девяти шестидесятеричных и 16 десятичных цифр в 1424 году. [7] Вскоре после того, как Виете опубликовал свою формулу, Людольф ван Сеулен использовал близкий метод для вычисления 35 цифр числа, которые были опубликованы только после смерти ван Сеулена в 1610 году. [7]
Толкование и конвергенция
Формулу Виэта можно переписать и понимать как предельное выражение
где , с начальным условием . [9] Виэте выполнил свою работу задолго до того, как в математике были разработаны концепции пределов и строгие доказательства сходимости; первое доказательство существования этого предела не было дано до работы Фердинанда Рудио в 1891 году. [1] [10]
Скорость сходимости предела определяет число членов выражения , необходимое для достижения заданного количества цифр точности. В случае формулы Виэта существует линейная зависимость между количеством членов и количеством цифр: произведение первых членов в пределе дает выражение для это примерно с точностью до цифры. [8] [11] Эта скорость сходимости очень выгодно отличается от произведения Уоллиса , более поздней формулы бесконечного произведения для. Хотя сам Вьете использовал свою формулу для расчетатолько с точностью до девяти цифр ускоренная версия его формулы использовалась для расчетадо сотен тысяч цифр. [8]
Связанные формулы
Формула Вьета может быть получена как частный случай формулы, приведенной более века спустя Леонардом Эйлером , который обнаружил, что:
Подстановка в этой формуле дает:
Затем, выразив каждый член произведения справа как функцию от предыдущих терминов, используя формулу полуугла:
дает формулу Виэта. [1]
Также можно вывести из формулы Виэта родственную формулу для который по-прежнему включает вложенные квадратные корни из двух, но использует только одно умножение: [12]
который можно компактно переписать как
Многие формулы, подобные формулам Виэта, включающие вложенные радикалы или бесконечные произведения тригонометрических функций, теперь известны как и другие константы, такие как золотое сечение . [3] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18]
Вывод
Вью получил свою формулу путем сравнения областей из правильных многоугольников с а также стороны вписаны в круг . [1] [6] Первый член в продукте,√ 2/2, - это отношение площадей квадрата и восьмиугольника , второй член - это отношение площадей восьмиугольника и шестиугольника и т. д. Таким образом, продукт телескопически показывает соотношение площадей квадрата (исходный многоугольник в последовательность) к окружности (предельный случай-гон). В качестве альтернативы, термины в произведении могут быть интерпретированы как отношения периметров одной и той же последовательности многоугольников, начиная с отношения периметров двуугольника (диаметр круга, считая дважды) и квадрата, отношения периметров квадрат и восьмиугольник и т. д. [19]
Другой вывод возможен на основе тригонометрических тождеств и формулы Эйлера. Повторно применяя формулу двойного угла
с помощью математической индукции можно доказать, что для всех натуральных чисел,
Термин идет в в пределе как уходит в бесконечность, откуда следует формула Эйлера. Формула Виэта может быть получена из этой формулы заменой. [4]
Рекомендации
- ^ a b c d e Бекманн, Петр (1971). История π {\ displaystyle \ pi} (2-е изд.). Боулдер, Колорадо: The Golem Press. С. 94–95. ISBN 978-0-88029-418-8. Руководство по ремонту 0449960 .
- ^ Де Смит, Майкл Дж. (2006). Математика для мистифицированных: исследование истории математики и ее отношения к современной науке и вычислениям . ООО "Трубадор Паблишинг" с. 165. ISBN 9781905237814.
- ^ а б Морено, Сэмюэл Дж .; Гарсия-Кабальеро, Эстер М. (2013). «О формулах типа Вьетэ» . Журнал теории приближений . 174 : 90–112. DOI : 10.1016 / j.jat.2013.06.006 . Руководство по ремонту 3090772 .
- ^ а б Моррисон, Кент Э. (1995). «Косинусные произведения, преобразования Фурье и случайные суммы». Американский математический ежемесячник . 102 (8): 716–724. arXiv : math / 0411380 . DOI : 10.2307 / 2974641 . JSTOR 2974641 . Руководство по ремонту 1357488 .
- ^ Олдхэм, Кейт Б.; Myland, Jan C .; Спаниер, Джером (2010). Атлас функций: с Equator, калькулятор функций Атласа . Springer. п. 15. ISBN 9780387488073.
- ^ а б Маор, Эли (2011). Тригонометрические наслаждения . Издательство Принстонского университета. стр. 50, 140. ISBN 9781400842827.
- ^ а б в Борвейн, Джонатан М. (2013). «Жизнь Пи: от Архимеда до ENIAC и далее». Из Александрии через Багдад: Обзоры и исследования в области древнегреческих и средневековых исламских математических наук в честь Дж. Л. Берггрена (PDF) . Springer. ISBN 9783642367359.
- ^ а б в Кременский, Рик (2008). "к тысячам Digits из формулы Виета». Математика Magazine . 81 (3): 201-207. DOI : 10,1080 / 0025570X.2008.11953549 . JSTOR 27643107 .
- ^ Эймар, Пьер; Лафон, Жан-Пьер (2004). «2.1 Бесконечное произведение Вьете» . Номер. Американское математическое общество. С. 44–46. ISBN 9780821832462.
- ^ Рудио, Ф. (1891). "Uber die Konvergenz einer von Vieta herrührenden eigentümlichen Produktentwicklung". Z. Math. Phys . 36 : 139–140.
- ^ Ослер, Томас Дж. (2007). "Простой геометрический метод оценки погрешности использования продукта Виета для». Международный журнал математического образования в области науки и техники . 38 (1):. 136-142 DOI : 10,1080 / 00207390601002799 .
- ^ а б Серви, LD (2003). «Вложенные квадратные корни из 2». Американский математический ежемесячник . 110 (4): 326–330. DOI : 10.2307 / 3647881 . JSTOR 3647881 . Руководство по ремонту 1984573 .
- ^ Ниблом, Массачусетс (2012). «Некоторые закрытые оценки бесконечных произведений с участием вложенных радикалов» . Математический журнал Скалистых гор . 42 (2): 751–758. DOI : 10,1216 / RMJ-2012-42-2-751 . Руководство по ремонту 2915517 .
- ^ Левин, Аарон (2006). «Геометрическая интерпретация бесконечного произведения для постоянной лемнискаты». Американский математический ежемесячник . 113 (6): 510–520. DOI : 10.2307 / 27641976 . JSTOR 27641976 . Руководство по ремонту 2231136 .
- ^ Левин, Аарон (2005). "Новый класс бесконечных продуктов, обобщающий формулу продукта Виэта для.» Рамануйян журнал . 10 (3):. 305-324 DOI : 10.1007 / s11139-005-4852-Z . MR 2193382 .
- ^ Ослер, Томас Дж. (2007). «Виетоподобные произведения вложенных радикалов с числами Фибоначчи и Лукаса». Ежеквартальный отчет Фибоначчи . 45 (3): 202–204. Руководство по ремонту 2437033 .
- ^ Столярский, Кеннет Б. (1980). «Отображение свойств, роста и уникальности произведений Виета (бесконечный косинус)» . Тихоокеанский математический журнал . 89 (1): 209–227. DOI : 10,2140 / pjm.1980.89.209 . Руководство по ремонту 0596932 . Архивировано из оригинала на 2013-10-11 . Проверено 11 октября 2013 .
- ^ Аллен, Эдвард Дж. (1985). «Сплошные радикалы». Математический вестник . 69 (450): 261–263. DOI : 10.2307 / 3617569 . JSTOR 3617569 .
- ^ Руммлер, Хансклав (1993). «Квадратная дырочка». Американский математический ежемесячник . 100 (9): 858–860. DOI : 10.2307 / 2324662 . JSTOR 2324662 . Руководство по ремонту 1247533 .
Внешние ссылки
- Виета издание с примечаниями различных комментаторов де ребус mathematicis responsorum, луб VIII (1593) на Google Books . Формула находится на второй половине п. 30.