Последовательность Туэ – Морса

Этот рисунок демонстрирует повторяющийся и дополняющий состав последовательности Туэ – Морзе.

В математике последовательность Туэ – Морса или последовательность Пруэ – Туэ – Морса - это двоичная последовательность (бесконечная последовательность нулей и единиц), полученная, начиная с 0 и последовательно добавляя логическое дополнение к последовательности, полученной до сих пор. Первые несколько шагов этой процедуры дают строки 0, затем 01, 0110, 01101001, 0110100110010110 и т. Д., Которые являются префиксами последовательности Туэ – Морзе. Полная последовательность начинается:

01101001100101101001011001101001 .... (последовательность A010060 в OEIS )

Последовательность названа в честь Акселя Ту и Марстона Морса .

Определение [ править ]

Есть несколько эквивалентных способов определения последовательности Туэ – Морса.

Прямое определение [ править ]

При подсчете в двоичном формате сумма цифр по модулю 2 представляет собой последовательность Туэ-Морса.

Чтобы вычислить n- й элемент t _n , запишите число n в двоичном формате . Если количество единиц в этом двоичном разложении нечетное, то t _n = 1, если четное, то t _n = 0. ^[1] По этой причине John H. Conway et al . называют номера n, удовлетворяющие t _n = 1 одиозным (для нечетных ) номеров и номерам, для которых t _n = 0, злым (для четных ) номеров. Другими словами, t _n = 0, если n - злое число, и t _n = 1, если n - одиозное число .

Генерация быстрой последовательности [ править ]

Этот метод приводит к быстрому способу вычисления последовательности Туэ – Морса: начните с $t 0 = 0$ , а затем для каждого n найдите бит наивысшего порядка в двоичном представлении n, который отличается от того же бита в представление $n - 1$ . (Этот бит можно изолировать, позволив x быть побитовым исключающим ИЛИ для n и $n - 1$ , сдвинув x вправо на один бит и вычислив исключающее ИЛИ этого сдвинутого значения с помощью x .) Если этот бит имеет четный индекс, t _n отличается от $t n - 1$ , а в остальном то же самое, что $t n - 1$ .

В форме псевдокода:

generateSequence ( seqLength ):  value  =  0  для  n  =  0  до  seqLength - 1  на  1 :  x  =  n  ^  ( n - 1 )  if  (( x  ^  ( x >> 1 ))  &  0 x55555555 ):  value  =  1  -  value  возвращаемое  значение

Результирующий алгоритм требует постоянного времени для генерации каждого элемента последовательности, используя только логарифмическое количество битов (постоянное количество слов) памяти. ^[2]

Отношение повторения [ править ]

Последовательность Туэ – Морса - это последовательность t _n, удовлетворяющая рекуррентному соотношению

{\ displaystyle {\ begin {align} t_ {0} & = 0, \\ t_ {2n} & = t_ {n}, \\ t_ {2n + 1} & = 1-t_ {n}, \ end { выровнено}}}

для всех неотрицательных целых чисел n . ^[1]

L-система [ править ]

Последовательность Туэ – Морса, порожденная L-системой

Последовательность Туэ – Морса является морфическим словом : ^[3] это результат следующей системы Линденмайера :

Переменные	0, 1
Константы	Никто
Начинать	0
Правила	(0 → 01), (1 → 10)

Характеризация с использованием побитового отрицания [ править ]

Последовательность Туэ – Морса в приведенной выше форме как последовательность битов может быть определена рекурсивно с помощью операции побитового отрицания . Итак, первый элемент равен 0. Затем, как только первые 2 ⁿ элементов были указаны, образуя строку s , следующие 2 ⁿ элементов должны образовать побитовое отрицание s . Теперь мы определили первые 2 ^{n +1} элементов, и мы рекурсивно.

Подробное изложение первых нескольких шагов:

Начнем с 0.
Побитовое отрицание 0 равно 1.
Объединяя их, первые 2 элемента - 01.
Поразрядное отрицание 01 равно 10.
Объединяя их, получаем первые 4 элемента 0110.
Поразрядное отрицание 0110 равно 1001.
Объединяя их, получаем первые 8 элементов 01101001.
И так далее.

Так

Т ₀ = 0.
Т ₁ = 01.
Т ₂ = 0110.
Т ₃ = 01101001.
Т ₄ = 0110100110010110.
Т ₅ = 01101001100101101001011001101001.
Т ₆ = 0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110.
И так далее.

Бесконечный продукт [ править ]

Последовательность также может быть определена следующим образом:

\prod _{i=0}^{\infty }\left(1-x^{2^{i}}\right)=\sum _{j=0}^{\infty }(-1)^{t_{j}}x^{j},

где t _j - j- й элемент, если мы начнем с j = 0.

Некоторые свойства [ править ]

Поскольку каждый новый блок в последовательности Туэ – Морса определяется путем формирования побитового отрицания начала, и это повторяется в начале следующего блока, последовательность Туэ – Морса заполняется квадратами : последовательными строками, которые повторяются. То есть существует множество экземпляров XX , где X - некоторая строка. Действительно, является такой строкой тогда и только тогда и только тогда, когда или где для некоторых, и обозначает побитовое отрицание (меняют местами 0 и 1). ^[4] Например, с , у нас есть , и квадрат появляется начиная с 16-го бита. (Таким образом, квадраты в $X$ $X=A,\,{\overline {A}},\,A{\overline {A}}A,$ ${\overline {A}}A{\overline {A}}$ $A=T_{k}$ $k\geq 0$ ${\overline {A}}$ $A$ $k=0$ $\ A=T_{0}=0$ $A{\overline {A}}AA{\overline {A}}A=010010$ $T$ $T$ имеют длину, равную степени 2 или 3, умноженной на 2). Однако кубов нет : экземпляры XXX . Там нет также нет перекрывающихся квадратов : экземпляры 0 X 0 X 0 или 1 Х 1 Х 1. ^[5]^[6] критический показатель равен 2. ^[7]

Последовательность T _{2 n} является палиндромом для любого n . Далее, пусть q _n - слово, полученное из T _{2 n} путем подсчета единиц между последовательными нулями. Например, q ₁ = 2, q ₂ = 2102012 и так далее. Слова T _n не содержат перекрывающихся квадратов, следовательно, слова q _n являются палиндромными бесквадратными словами .

Вышеупомянутое утверждение о том, что последовательность Туэ – Морса «заполнена квадратами», можно уточнить: это равномерно рекуррентное слово , означающее, что для любой конечной строки X в последовательности существует некоторая длина n _X (часто намного длиннее, чем длина X ) такое , что X появляется в каждом блоке длины п _X . ^[8]^[9] Самый простой способ создать повторяющуюся последовательность - сформировать периодическую последовательность , в которой последовательность полностью повторяется после заданного количества шагов m . Тогда n _X можно установить равным любому, кратному mчто больше , чем в два раза длина X . Но последовательность Морса является равномерно рекуррентной, но не периодической, даже в конечном итоге периодической (то есть периодической после некоторого непериодического начального сегмента). ^[10]

Мы определяем морфизм Туэ – Морса как функцию f из набора двоичных последовательностей к себе, заменяя каждый 0 в последовательности на 01 и каждую единицу на 10. ^[11] Тогда, если T - последовательность Туэ – Морса, то f ( T ) снова является T ; то есть, Т является фиксированной точкой из F . Функция F является могущий быть продленным морфизм на свободном моноиде {0,1} ^* с Т в качестве неподвижной точки: в самом деле, Т , по существу,только неподвижная точка f ; единственная другая фиксированная точка - это побитовое отрицание T , которое представляет собой просто последовательность Туэ – Морса на (1,0) вместо на (0,1). Это свойство можно обобщить до концепции автоматической последовательности .

Производящий ряд из Т над бинарным полем является формальным степенным рядом

t(Z)=\sum _{n=0}^{\infty }T(n)Z^{n}\ .

Этот степенной ряд является алгебраическим над полем рациональных функций, удовлетворяющих уравнению ^[12]

Z+(1+Z)^{2}t+(1+Z)^{3}t^{2}=0

В комбинаторной теории игр [ править ]

Набор злых чисел (чисел с ) образует подпространство неотрицательных целых чисел при добавлении ним ( побитовое исключающее или ). В игре Кейлза злые значения нима встречаются для нескольких (конечного числа) позиций в игре, при этом все оставшиеся позиции имеют одиозные значения нима. $n$ $t_{n}=0$

Проблема Пруэ – Тарри – Эскотта [ править ]

Проблема Пруэ-Тарри-Эскотт может быть определена как: дано положительное целое число N и неотрицательное целое число K , разбиение множества S = {0, 1, ..., N -1} на два непересекающихся подмножества S ₀ и S _1, которые имеют равные суммы степеней до k, то есть:

\sum _{x\in S_{0}}x^{i}=\sum _{x\in S_{1}}x^{i}

для всех целых чисел i от 1 до k .

У этого есть решение, если N кратно 2 ^{k +1} , заданному формулой:

S ₀ состоит из целых чисел n в S, для которых t _n = 0,
S ₁ состоит из целых чисел n в S, для которых t _n = 1.

Например, для N = 8 и k = 2,

0 + 3 + 5 + 6 = 1 + 2 + 4 + 7,

0 ² + 3 ² + 5 ² + 6 ² = 1 ² + 2 ² + 4 ² + 7 ² .

Условие, требующее, чтобы N было кратно 2 ^{k +1} , не является строго необходимым: есть еще несколько случаев, для которых существует решение. Однако это гарантирует более сильное свойство: если условие выполняется, то набор k- й степени любого набора из N чисел в арифметической прогрессии может быть разделен на два набора с равными суммами. Это следует непосредственно из разложения, данного биномиальной теоремой, примененной к биному, представляющему n- й элемент арифметической прогрессии.

Об обобщении последовательности Туэ – Морса и проблемы Пруэ – Тарри – Эскотта на разбиение более чем на две части см. Болкер, Оффнер, Ричман и Зара, «Проблема Пруэ – Тарри – Эскотта и обобщенные последовательности Туэ – Морса». ^[13]

Фракталы и графика черепахи [ править ]

Используя графику черепахи , можно сгенерировать кривую, если автомат запрограммирован с помощью последовательности. Когда члены последовательности Туэ – Морзе используются для выбора состояний программы:

Если t ( n ) = 0, продвинемся на одну единицу вперед,
Если t ( n ) = 1, повернуть на угол π / 3 радиан (60 °).

Полученная кривая сходится к кривой Коха , фрактальной кривой бесконечной длины, содержащей конечную площадь. Это иллюстрирует фрактальную природу последовательности Туэ – Морса. ^[14]

Также можно точно нарисовать кривую, используя следующие инструкции: ^[15]

Если t ( n ) = 0, повернуть на угол π радиан (180 °),
Если t ( n ) = 1, продвиньтесь на одну единицу вперед, а затем поверните на угол π / 3 радиан.

Справедливая последовательность [ править ]

В своей книге о проблеме справедливого разделения , Стивен Брамс и Алан Тейлор вызываются последовательность Туэ-Морс , но не идентифицировали его как таковые. Распределяя оспариваемую кучу предметов между двумя сторонами, которые согласны относительно относительной ценности предметов, Брамс и Тейлор предложили метод, который они назвали сбалансированным чередованием , или по очереди по очереди. . ., как способ обойти фаворитизм, присущий, когда одна сторона делает выбор перед другой. Пример показал, как разводящаяся пара может достичь справедливого урегулирования при распределении вещей, находящихся в совместном владении. Стороны по очереди будут первыми выбирать на разных этапах процесса выбора: Энн выбирает один пункт, затем Бен, затем Бен выбирает один пункт, затем делает Энн. ^[16]

Лайонел Левин и Кэтрин Штанге в своем обсуждении того, как справедливо распределить общую трапезу, например эфиопский обед , предложили последовательность Туэ – Морзе как способ уменьшить преимущество движения первым. Они предположили, что «было бы интересно количественно оценить интуицию о том, что порядок Туэ-Морса имеет тенденцию давать справедливый результат». ^[17]

Роберт Ричман обратился к этой проблеме, но он также не идентифицировал последовательность Туэ – Морса как таковую на момент публикации. ^[18] Он представил последовательности T n как ступенчатые функции на интервале [0,1] и описал их связь с функциями Уолша и Радемахера . Он показал , что п - й производной может быть выражено в терминах Т _н . Как следствие, функция шага , вытекающая из Т _п является ортогональной к многочленам от порядка п - 1. Следствием этого результата является то, что ресурс, значение которого выражается как монотонно убывающая непрерывная функция , наиболее справедливо распределяется с использованием последовательности, сходящейся к Туэ-Морзу, когда функция становится более плоской . Пример показал, как налить чашки кофе одинаковой крепости из графина с нелинейным градиентом концентрации , что вызвало появление причудливой статьи в популярной прессе. ^[19]

Джошуа Купер и Аарон Датл показали, почему порядок Туэ-Морса обеспечивает справедливый исход для отдельных событий. ^[20] Они считали самый справедливый способ устроить дуэль Галуа , в которой каждый из стрелков имеет одинаково плохие навыки стрельбы. Купер и Датл постулировали, что каждый дуэлянт будет требовать шанс выстрелить, как только априорная вероятность выигрыша другого игрока превысит его собственную. Они доказали, что по мере приближения вероятности попадания дуэлей к нулю последовательность увольнения сходится к последовательности Туэ – Морса. При этом они продемонстрировали, что порядок Туэ-Морса дает хороший результат не только для последовательностей T n длины 2 ⁿ , но и для последовательностей любой длины.

Таким образом, математика поддерживает использование последовательности Туэ – Морса вместо чередования поворотов, когда целью является честность, но более ранние повороты монотонно отличаются от более поздних поворотов некоторым значимым качеством, независимо от того, изменяется это качество непрерывно ^[18] или дискретно. ^[20]

Спортивные соревнования образуют важный класс задач равной последовательности, потому что строгое чередование часто дает несправедливое преимущество одной команде. Игнасио Паласиос-Уэрта предложил изменить порядок следования на Туэ-Морс, чтобы улучшить объективность ex post различных турниров, таких как последовательность ударов ногами в серии пенальти в футболе. ^[21] Он провел ряд полевых экспериментов с профессиональными игроками и обнаружил, что команда, пинающая первой, выиграла 60% игр с использованием ABAB (или T ₁ ), 54% с использованием ABBA (или T ₂ ) и 51% с использованием полного Thue- Морс (или Т _н ). В результате ABBA проходит обширные испытания вФИФА (чемпионаты Европы и мира) и английская федерация профессионального футбола ( Кубок EFL ). ^[22] Также было обнаружено, что схема подачи ABBA улучшает справедливость тай-брейков в теннисе . ^[23] В конкурентных греб , Т ₂ является единственным расположением port- и правого борт-греб член экипажа , что исключает поперечные силы (и , следовательно , боковое покачивание) на четыре-членный coxless гоночной лодки, в то время как Т ₃ является одним из четырех буровых установок чтобы не покачиваться на восьмичленной лодке. ^[24]

Честность особенно важна в драфтах игроков . Многие профессиональные спортивные лиги пытаются достичь конкурентного паритета , давая более ранние выборы в каждом раунде более слабым командам. Напротив, лиги фэнтези-футбола не имеют ранее существовавшего дисбаланса, который нужно исправить, поэтому они часто используют «змейку» (вперед, назад и т.д .; или T ₁ ). ^[25] Ян Аллан утверждал, что «разворот в третьем раунде» (вперед, назад, назад, вперед и т.д .; или T ₂ ) был бы еще более справедливым. ^[26] Ричман предложил наиболее справедливый способ для «капитана А» и «капитана Б» выбрать сторону для игры подбора мяча в баскетбольных зеркалах Т.₃ : у капитана A есть первый, четвертый, шестой и седьмой варианты выбора, а у капитана B есть второй, третий, пятый и восьмой варианты. ^[18]

История [ править ]

Последовательность Туэ – Морса была впервые изучена Эженом Пруэ в 1851 г. ^[27], который применил ее к теории чисел . Однако Пруэ не упомянул последовательность явно; это было оставлено Акселю Туэ в 1906 году, который использовал его, чтобы основать изучение комбинаторики слов . Эта последовательность была доведена до всеобщего внимания только в 1921 году, когда Марстон Морс применил ее к дифференциальной геометрии . Последовательность была открыта независимо много раз, не всегда профессиональными математиками-исследователями; например, Макс Эйве , шахматный гроссмейстер, который занимал титул чемпиона мира с 1935 по 1937 год, и учитель математики , открыл его в 1929 году в приложении к шахматам : используя его свойство отсутствия кубов (см. выше), он показал, как обойти правило, направленное на предотвращение бесконечно длительных игры, объявив повтор ходов ничьей.

См. Также [ править ]

Теорема Дежана
Функция Фабиуса
Код Грея ^[28]^[29]^[30]
Константа Коморника – Лорети
Постоянная Пруэ – Туэ – Морса

Заметки [ править ]

^ a b Allouche & Shallit (2003 , с. 15)
Перейти ↑ Arndt (2011) .
^ Lothaire (2011 , стр. 11)
^ Brlek (1989) .
^ Lothaire (2011 , стр. 113)
^ Pytheas Фогг (2002 , стр. 103)
Перейти ↑ Krieger (2006) .
^ Lothaire (2011 , стр. 30)
^ Берте и Риго (2010) .
^ Lothaire (2011 , стр. 31)
^ Berstel et al. (2009 , с. 70)
^ Berstel et al. (2009 , с. 80)
^ Bolker et al. (2016) .
^ Ma & Holdener (2005) .
↑ Abel, Zachary (23 января 2012 г.). "Плавучие черепахи Туэ-Морса" . Трехсторонние вещи .
^ Брамс & Taylor (1999) .
^ Levine & Штанге (2012) .
^ a b c Ричман (2001)
Перейти ↑ Abrahams (2010) .
^ a b Купер и Датл (2013)
Перейти ↑ Palacios-Huerta (2012) .
^ Паласиос-Уэрта (2014) .
^ Коэн-зад, Крумер & Шапир (2018) .
^ Барроу (2010) .
^ "Типы фэнтези-проекта" . NFL.com . Архивировано из оригинального 12 октября 2018 года.
↑ Аллан, Ян (16 июля 2014 г.). «Реверсивные шашки третьего раунда» . Индекс фантазии . Проверено 1 сентября 2020 года .
^ Вездесущий последовательность Пруэ-Туэ- Морзе Жан-Поль ALLOUCHE и Джеффри Шаллит
^ Фредриксен, Гарольд (1992). «Коды Грея и последовательность Туэ-Морса-Хедлунда». Журнал комбинаторной математики и комбинаторных вычислений (JCMCC) . Военно-морская аспирантура, математический факультет, Монтерей, Калифорния, США. 11 : 3–11.
^ Эриксон, Джон (2018-10-30). "Об асимптотическом относительном изменении последовательностей перестановок" . Проверено 31 января 2021 . [1]
^ Plousos, Джордж (2020-06-21). «Какая связь между кодом Грея и последовательностью Туэ-Морзе» . Quora . Архивировано 17 декабря 2020 года . Проверено 31 января 2021 .

Ссылки [ править ]

Абрахамс, Марк (12 июля 2010 г.). «Как налить идеальную чашку кофе» . Хранитель .
Арндт, Йорг (2011). «1.16.4 Последовательность Туэ – Морса» (PDF) . Вопросы вычислительные: идеи, алгоритмы, исходный код . Springer. п. 44.
Аллуш, Жан-Поль; Шаллит, Джеффри (2003). Автоматические последовательности: теория, приложения, обобщения . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-82332-6. Zbl 1086.11015 .
Барроу, Джон Д. (2010). «Гребля и задача с одинаковой суммой имеют свои моменты». Американский журнал физики . 78 (7): 728–732. arXiv : 0911.3551 . Bibcode : 2010AmJPh..78..728B . DOI : 10.1119 / 1.3318808 .
Берстель, Жан; Лаув, Аарон; Ройтенауэр, Кристоф; Салиола, Франко В. (2009). Комбинаторика слов. Слова Кристоффеля и их повторы . Серия монографий CRM. 27 . Провиденс, Род-Айленд, США: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4480-9. Zbl 1161.68043 .
Берте, Валери ; Риго, Мишель, ред. (2010). Комбинаторика, автоматы и теория чисел . Энциклопедия математики и ее приложений. 135 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . п. 7. ISBN 978-0-521-51597-9. Zbl 1197.68006 .
Болкер, Итан; Оффнер, Карл; Ричман, Роберт; Зара, Каталин (2016). «Проблема Пруэ – Тарри – Эскотта и обобщенные последовательности Туэ – Морса». Журнал комбинаторики . 7 (1): 117–133. arXiv : 1304,6756 . DOI : 10,4310 / JOC.2016.v7.n1.a5 .}
Брамс, Стивен Дж .; Тейлор, Алан Д. (1999). Беспроигрышное решение: гарантия справедливой доли участия для всех . WW Norton & Co., Inc., стр. 36–44 . ISBN 978-0-393-04729-5.
Брлек, Сречко (1989). «Перечень факторов в слове Туэ-Морзе». Дискретная прикладная математика . 24 (1–3): 83–96. DOI : 10.1016 / 0166-218x (92) 90274-e .
Коэн-Зада, Дэнни; Крумер, Алекс; Шапир, Предложение Моше (2018). «Тестирование эффекта порядка подачи в теннисном тай-брейке» . Журнал экономического поведения и организации . 146 : 106–115.
Купер, Джошуа; Датл, Аарон (2013). «Жадные игры Галуа» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 120 (5): 441–451. arXiv : 1110.1137 . DOI : 10,4169 / amer.math.monthly.120.05.441 .
Кригер, Далия (2006). «О критических показателях в неподвижных точках нестираемых морфизмов». В Ибарре, Оскар Х .; Данг, Чжэ (ред.). Развитие теории языка: Труды 10 - й Международной конференции, DLT 2006, Санта - Барбара, штат Калифорния, США, 26-29 июня 2006 года . Конспект лекций по информатике. 4036 . Springer-Verlag . С. 280–291. ISBN 978-3-540-35428-4. Zbl 1227.68074 .
Левин, Лайонел; Штанге, Кэтрин Э. (2012). «Как извлечь максимальную пользу из общей еды: сначала спланируйте последний укус» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 119 (7): 550–565. arXiv : 1104.0961 . DOI : 10,4169 / amer.math.monthly.119.07.550 .
Лотэр, М. (2011). Алгебраическая комбинаторика слов . Энциклопедия математики и ее приложений. 90 . С предисловием Жана Берштеля и Доминика Перрена (перепечатка издания 2002 года в твердом переплете). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-18071-9. Zbl 1221.68183 .
Ма, июнь; Холденер, Джуди (2005). «Когда Туэ-Морс встречает Коха» (PDF) . Фракталы . 13 (3): 191–206. DOI : 10.1142 / S0218348X05002908 . Руководство по ремонту 2166279 .
Паласиос-Уэрта, Игнасио (2012). «Турниры, справедливость и последовательность Пруэ – Туэ – Морса» (PDF) . Экономический запрос . 50 (3): 848–849. DOI : 10.1111 / j.1465-7295.2011.00435.x .
Паласиос-Уэрта, Игнасио (2014). Прекрасная теория игр . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0691144023.
Пифей Фогг, Н. (2002). Берте, Валери; Ференци, Себастьен; Mauduit, Christian; Сигель, А. (ред.). Подстановки в динамике, арифметике и комбинаторике . Конспект лекций по математике. 1794 . Берлин, Германия: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44141-0. Zbl 1014.11015 .
Ричман, Роберт (2001). «Рекурсивные двоичные последовательности различий» (PDF) . Сложные системы . 13 (4): 381–392.

Дальнейшее чтение [ править ]

Буджо, Янн (2012). Распределение по модулю один и диофантово приближение . Кембриджские трактаты по математике. 193 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-11169-0. Zbl 1260.11001 .
Лотэр, М. (2005). Прикладная комбинаторика слов . Энциклопедия математики и ее приложений. 105 . Коллективный труд Жан Berstel Доминик Перрен, Максим Крошемор, Эрик Лапорта, Меряр Мори, Надя Pisanti, Мари-Франс Sagot, Гезине Рейнертом , Софи Schbath , Майкл Waterman, Филипп Жаке, Войцех Szpankowski , Доминик Poulalhon, Жиль Шеффера, Роман Колпаков , Грегори Кушеров, Жан-Поль Аллуш и Валери Берте. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-84802-2. Zbl 1133.68067 .

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с последовательностью Туэ-Морса .

"Последовательность Туэ-Морса" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик В. «Последовательность Туэ-Морса» . MathWorld .
Allouche, J.-P .; Шаллит, Д.О. Вездесущая последовательность Пруэ-Туэ-Морса . (содержит много приложений и немного истории)
Последовательность Туэ – Морса над (1,2) (последовательность A001285 в OEIS )
Последовательность OEIS A000069 (одиозные числа: числа с нечетным числом единиц в их двоичном расширении)
Последовательность OEIS A001969 (злые числа: числа с четным числом единиц в их двоичном расширении)
Уменьшение влияния дрейфа смещения постоянного тока в аналоговых IP-адресах с помощью последовательности Туэ-Морса . Техническое применение последовательности Туэ – Морзе
MusiNum - Музыка в цифрах . Бесплатное ПО для создания самоподобной музыки на основе последовательности Туэ – Морса и связанных числовых последовательностей.
Паркер, Мэтт . "Самый справедливый эпизод обмена" (видео) . Standupmaths . Проверено 20 января +2016 .

[AS15-1] Allouche & Shallit (2003 , с. 15)

[FOOTNOTEArndt2011-2] Перейти ↑ Arndt (2011) .

[3] Lothaire (2011 , стр. 11)

[FOOTNOTEBrlek1989-4] Brlek (1989) .

[ACOW113-5] Lothaire (2011 , стр. 113)

[PF103-6] Pytheas Фогг (2002 , стр. 103)

[FOOTNOTEKrieger2006-7] Перейти ↑ Krieger (2006) .

[ACOW30-8] Lothaire (2011 , стр. 30)

[FOOTNOTEBerthéRigo2010-9] Берте и Риго (2010) .

[ACOW31-10] Lothaire (2011 , стр. 31)

[BLRS70-11] Berstel et al. (2009 , с. 70)

[BLRS80-12] Berstel et al. (2009 , с. 80)

[FOOTNOTEBolkerOffnerRichmanZara2016-13] Bolker et al. (2016) .

[FOOTNOTEMaHoldener2005-14] Ma & Holdener (2005) .

[15] Abel, Zachary (23 января 2012 г.). "Плавучие черепахи Туэ-Морса" . Трехсторонние вещи .

[FOOTNOTEBramsTaylor1999-16] Брамс & Taylor (1999) .

[FOOTNOTELevineStange2012-17] Levine & Штанге (2012) .

[richman-18] Ричман (2001)

[FOOTNOTEAbrahams2010-19] Перейти ↑ Abrahams (2010) .

[cooper-20] Купер и Датл (2013)

[FOOTNOTEPalacios-Huerta2012-21] Перейти ↑ Palacios-Huerta (2012) .

[FOOTNOTEPalacios-Huerta2014-22] Паласиос-Уэрта (2014) .

[FOOTNOTECohen-ZadaKrumerShapir2018-23] Коэн-зад, Крумер & Шапир (2018) .

[FOOTNOTEBarrow2010-24] Барроу (2010) .

[25] "Типы фэнтези-проекта" . NFL.com . Архивировано из оригинального 12 октября 2018 года.

[26] Аллан, Ян (16 июля 2014 г.). «Реверсивные шашки третьего раунда» . Индекс фантазии . Проверено 1 сентября 2020 года .

[27] Вездесущий последовательность Пруэ-Туэ- Морзе Жан-Поль ALLOUCHE и Джеффри Шаллит

[Fredricksen_1992-28] Фредриксен, Гарольд (1992). «Коды Грея и последовательность Туэ-Морса-Хедлунда». Журнал комбинаторной математики и комбинаторных вычислений (JCMCC) . Военно-морская аспирантура, математический факультет, Монтерей, Калифорния, США. 11 : 3–11.

[Erickson_2018-29] Эриксон, Джон (2018-10-30). "Об асимптотическом относительном изменении последовательностей перестановок" . Проверено 31 января 2021 . [1]

[Plousos_2020-30] Plousos, Джордж (2020-06-21). «Какая связь между кодом Грея и последовательностью Туэ-Морзе» . Quora . Архивировано 17 декабря 2020 года . Проверено 31 января 2021 .

[1]