В аналитической теории из непрерывных дробей , продолжение формулы фракции Эйлера является тождеством подключения определенного весьма общий бесконечным ряда с бесконечной цепной дробью . Впервые опубликованное в 1748 году, оно сначала рассматривалось как простое тождество, соединяющее конечную сумму с конечной цепной дробью таким образом, что распространение на бесконечный случай было очевидным. [1] Сегодня это более полно ценится как полезный инструмент в аналитических атаках на общую проблему сходимости для бесконечных цепных дробей с комплексными элементами.
Эйлер вывел формулу как соединение конечной суммы произведений с конечной цепной дробью .
Тождество легко устанавливается индукцией по n и поэтому применимо в пределе: если выражение слева расширяется для представления сходящегося бесконечного ряда , выражение справа также может быть расширено для представления сходящейся бесконечной цепной дроби .
Это записано более компактно с использованием обобщенной записи непрерывной дроби :
Если r i - комплексные числа, а x определяется как
то это равенство можно доказать по индукции
- .
Здесь равенство следует понимать как эквивалентность в том смысле, что n-я сходящаяся дробь каждой непрерывной дроби равна n-й частичной сумме ряда, показанного выше. Таким образом, если показанный ряд сходится - или сходится равномерно , когда r i являются функциями некоторой комплексной переменной z - тогда непрерывные дроби также сходятся или сходятся равномерно. [2]
Теорема. Пусть быть натуральным числом. Для комплексные значения ,
и для комплексные значения ,
Доказательство. Проведем двойную индукцию. Для, у нас есть
а также
Теперь предположим, что оба утверждения верны для некоторых .
У нас есть где
применяя предположение индукции к .
Но подразумевает подразумевает , противоречие. Следовательно
завершая индукцию.
Обратите внимание, что для ,
если , то обе стороны равны нулю.
С использованием а также , и применяя предположение индукции к значениям ,
завершая другую индукцию.
Например, выражение можно преобразовать в непрерывную дробь.
Это может быть применено к последовательности любой длины и, следовательно, также применимо к бесконечному случаю.
Экспоненциальная функция
Экспоненциальная функция e x - это целая функция с разложением в степенной ряд, которая сходится равномерно в каждой ограниченной области комплексной плоскости.
Применять формулу непрерывной дроби Эйлера просто:
Применяя преобразование эквивалентности, которое состоит из очистки дробей, этот пример упрощен до
и мы можем быть уверены, что эта цепная дробь сходится равномерно в любой ограниченной области комплексной плоскости, поскольку она эквивалентна степенному ряду для e x .
Натуральный логарифм
Ряд Тейлора для главной ветви натурального логарифма в окрестностях х = 1 хорошо известен:
Этот ряд сходится при | х | <1 и также может быть выражено как сумма произведений: [3]
Применение формулы Эйлера к этому выражению показывает, что
и использование преобразования эквивалентности для очистки всех дробей приводит к
Эта цепная дробь сходится, когда | х | <1, потому что он эквивалентен серии, из которой он был получен. [3]
Тригонометрические функции
Ряд Тейлора из синусоидальных функций сходятся по всей комплексной плоскости и может быть выражен как сумма продуктов.
Затем можно применить формулу непрерывной дроби Эйлера
Для очистки знаменателей используется преобразование эквивалентности:
Тот же аргумент можно применить к функции косинуса :
Обратные тригонометрические функции
В обратные тригонометрические функции могут быть представлены в виде дробей.
Преобразование эквивалентности дает
Непрерывная дробь для арктангенса проста:
Цепная дробь для π
Мы можем использовать предыдущий пример с использованием арктангенса, чтобы построить представление π в виде цепной дроби . Отметим, что
И положив x = 1 в предыдущем результате, мы сразу получаем
Гиперболические функции
Напоминая о связи между гиперболическими функциями и тригонометрическими функциями,
И это следующие непрерывные дроби легко выводятся из приведенных выше:
Обратные гиперболические функции
Эти функции , обратные гиперболические связаны с обратными тригонометрическими функциями , аналогичными тем, как гиперболические функции связаны с тригонометрическими функциями,
И эти непрерывные дроби легко выводятся: