В аналитической теории из цепных дробей , то проблема сходимости является определением условий на частичных числителях а I и частичные знаменатели б I , которые являются достаточными , чтобы гарантировать сходимость цепной дроби
Эта проблема сходимости для непрерывных дробей по своей сути более трудна, чем соответствующая проблема сходимости для бесконечных рядов .
Элементарные результаты
Когда элементы бесконечной непрерывной дроби полностью состоят из положительных действительных чисел , формулу определителя можно легко применить, чтобы продемонстрировать, когда непрерывная дробь сходится. Поскольку знаменатели B n не могут быть равны нулю в этом простом случае, задача сводится к тому, чтобы показать, что произведение следующих друг за другом знаменателей B n B n +1 растет быстрее, чем произведение частных числителей a 1 a 2 a 3 ... а п +1 . Проблема сходимости намного сложнее, когда элементы непрерывной дроби являются комплексными числами .
Периодические непрерывные дроби
Бесконечная периодическая цепная дробь - это цепная дробь вида
где k ≥ 1, последовательность частичных числителей { a 1 , a 2 , a 3 , ..., a k } не содержит значений, равных нулю, а частичные числители { a 1 , a 2 , a 3 , .. ., a k } и частные знаменатели { b 1 , b 2 , b 3 , ..., b k } повторяются снова и снова, до бесконечности .
Применяя теорию дробно-линейных преобразований к
где A k -1 , B k -1 , A k и B k - числители и знаменатели k -1-й и k- й подходящих дробей бесконечной периодической цепной дроби x , можно показать, что x сходится к одному из неподвижные точки s ( w ), если он вообще сходится. В частности, пусть r 1 и r 2 будут корнями квадратного уравнения
Эти корни являются неподвижными точками из й ( ш ). Если r 1 и r 2 конечны, то бесконечная периодическая цепная дробь x сходится тогда и только тогда, когда
- два корня равны; или же
- к -1st сходится ближе к р 1 , чем к г 2 , и ни один из первых K дробей не равны г 2 .
Если знаменатель B k -1 равен нулю, то бесконечное число знаменателей B nk -1 также обращается в нуль, и цепная дробь не сходится к конечному значению. И когда два корня r 1 и r 2 равноудалены от k -1-й сходящейся дроби - или когда r 1 ближе к k -1-й сходящейся дроби, чем r 2 , но одна из первых k подходящих дробей равна r 2 - непрерывной дроби x расходится колебанием. [1] [2] [3]
Частный случай, когда период k = 1
Если период непрерывной дроби равен 1; то есть, если
где b ≠ 0, можно получить очень сильный результат. Во-первых, применяя преобразование эквивалентности, мы видим, что x сходится тогда и только тогда, когда
сходится. Тогда, применяя более общий результат, полученный выше, можно показать, что
сходится для любого комплексного числа z, кроме случаев, когда z - отрицательное действительное число и z <−¼. Более того, эта цепная дробь y сходится к конкретному значению
который имеет большее абсолютное значение (кроме случаев, когда z является действительным и z <−¼, и в этом случае две фиксированные точки LFT, образующего y, имеют одинаковые модули, а y расходится из-за колебаний).
Применяя другое преобразование эквивалентности, условие, гарантирующее сходимость
также можно определить. Поскольку простое преобразование эквивалентности показывает, что
всякий раз, когда z ≠ 0, предыдущий результат для непрерывной дроби y может быть переформулирован для x . Бесконечная периодическая цепная дробь
сходится тогда и только тогда, когда z 2 не является действительным числом, лежащим в интервале −4 < z 2 ≤ 0 - или, что то же самое, x сходится тогда и только тогда, когда z ≠ 0 и z не является чисто мнимым числом с мнимой частью между - 2 и 2. (Не включая ни одну из конечных точек)
Теорема Ворпицкого
Применяя фундаментальные неравенства к цепной дроби
можно показать, что следующие утверждения верны, если | а я | ≤ ¼ для частичных числителей a i , i = 2, 3, 4, ...
- Непрерывная дробь x сходится к конечному значению и сходится равномерно, если частичные числители a i являются комплексными переменными. [4]
- Значение x и каждой из его подходящих частей x i лежит в круговой области радиуса 2/3 с центром в точке z = 4/3; то есть в области, определяемой
- Радиус ¼ - это наибольший радиус, по которому x может сходиться без исключения, а область Ω - наименьшее пространство изображения, которое содержит все возможные значения непрерывной дроби x . [5]
Доказательство первого утверждения, сделанное Юлиусом Ворпицки в 1865 году, по-видимому, является самым старым опубликованным доказательством того, что цепная дробь с комплексными элементами действительно сходится. [ оспаривается (для: формула непрерывной дроби Эйлера более старая) ] [6]
Поскольку доказательство теоремы Ворпицки использует формулу непрерывной дроби Эйлера для построения бесконечного ряда, который эквивалентен непрерывной дроби x , а построенный таким образом ряд абсолютно сходится, M-критерий Вейерштрасса может быть применен к модифицированной версии x . Если
и существует положительное действительное число M такое, что | c i | ≤ M ( i = 2, 3, 4, ...), то последовательность подходящих дробей { f i ( z )} сходится равномерно, когда
и f ( z ) аналитична на этом открытом диске.
Критерий Слешинского – Прингсхейма
В конце 19 века Слешинский и позже Прингсхайм показали, что непрерывная дробь, в которой a s и b s могут быть комплексными числами, сходится к конечному значению, если для [7]
Теорема Ван Флека
Джонс и Трон приписывают Ван Влеку следующий результат . Предположим, что все a i равны 1, и все b i имеют аргументы с:
где эпсилон - любое положительное число меньше, чем . Другими словами, все b i находятся внутри клина, вершина которого находится в начале координат, а угол раскрытия равен, и симметричен относительно положительной действительной оси. Тогда f i , i -я сходящаяся к непрерывной дроби дробь, конечна и имеет аргумент:
Кроме того, последовательность четных подходящих дробей будет сходиться, как и последовательность нечетных сходящихся. Сама цепная дробь сходится тогда и только тогда, когда сумма всех | б я | расходится. [8]
Заметки
- ^ 1886 Отто Штольц , Verlesungen über allgemeine Arithmetik , стр. 299-304
- ^ 1900 Альфред Прингсхайм , Sb. München , т. 30, "Über die Konvergenz unendlicher Kettenbrüche"
- ^ 1905 Оскар Перрон , Сб. München , т. 35, "Über die Konvergenz periodischer Kettenbrüche"
- ^ 1865 Юлиус Ворпицки, Jahresbericht Friedrichs-Gymnasium und Realschule , "Untersuchungen über die Entwickelung der monodromen und monogenen Functionen durch Kettenbrüche"
- ^ a b 1942 JF Paydon и HS Wall, Duke Math. Журнал , т. 9, «Непрерывная дробь как последовательность линейных преобразований»
- ^ 1905 Эдвард Берр Ван Флек , Бостонский коллоквиум , "Избранные темы теории расходящихся рядов и непрерывных дробей"
- ^ См., Например, теорему 4.35 на стр. 92 в книге «Джонс и Трон» (1980).
- ^ См. Теорему 4.29 на стр. 88 из книги Джонс и Трон (1980).
Рекомендации
- Джонс, Уильям Б .; Трон, WJ (1980), Непрерывные дроби: аналитическая теория и приложения. Энциклопедия математики и ее приложений. , 11 , Читальня. Массачусетс: издательство Addison-Wesley Publishing Company, ISBN 0-201-13510-8
- Оскар Перрон , Die Lehre von den Kettenbrüchen , Chelsea Publishing Company, Нью-Йорк, 1950.
- Уолл, Аналитическая теория непрерывных дробей , D. Van Nostrand Company, Inc., 1948 г. ISBN 0-8284-0207-8