В математике , то Вейерштрасса М-тест является тестом для определения является ли бесконечный ряд из функций сходится равномерно и абсолютно . Он применяется к рядам, члены которых являются ограниченными функциями с действительными или комплексными значениями, и аналогичен сравнительному тесту для определения сходимости рядов действительных или комплексных чисел. Он назван в честь немецкого математика Карла Вейерштрасса (1815-1897).
Заявление [ править ]
М-тест Вейерштрасса. Предположим, что ( f n ) - это последовательность действительных или комплексных функций, определенных на множестве A , и что существует последовательность неотрицательных чисел ( M n ), удовлетворяющая
Тогда сериал
сходится абсолютно и равномерно на A .
Замечание. Результат часто используется в сочетании с равномерной предельной теоремой . Вместе они говорят , что если, в дополнении к указанным выше условиям, то множество является топологическим пространством и функции F п являются непрерывными на Л , то ряд сходится к непрерывной функции.
Доказательство [ править ]
Рассмотрим последовательность функций
Так как ряд сходится и М п ≥ 0 для каждого п , то по критерию Коши ,
Для выбранного N ,
(Неравенство (1) следует из неравенства треугольника .)
Таким образом, последовательность S n ( x ) является последовательностью Коши в R или C и по полноте сходится к некоторому числу S ( x ), которое зависит от x . Для n > N мы можем написать
Так как N не зависит от х , это означает , что последовательность ˙s п частичных сумм сходится равномерно к функции S . Следовательно, по определению ряд сходится равномерно.
Аналогично можно доказать, что сходится равномерно.
Обобщение [ править ]
Более общий вариант M-критерия Вейерштрасса имеет место, если общая область значений функций ( f n ) является банаховым пространством , и в этом случае предпосылка
должен быть заменен на
- ,
где - норма в банаховом пространстве. Пример использования этого теста на банаховом пространстве см. В статье « Производная Фреше» .
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
- Рудин, Вальтер (май 1986). Реальный и комплексный анализ . McGraw-Hill Наука / Инженерия / Математика. ISBN 0-07-054234-1.
- Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа . McGraw-Hill Наука / Инженерия / Математика.
- Whittaker, ET ; Уотсон, GN (1927). Курс современного анализа (четвертое изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 49.