В математике , тест Абеля (также известный как критерий Абеля ) является методом тестирования для сходимости в качестве бесконечного ряда . Тест назван в честь математика Нильса Хенрика Абеля . Существует две несколько разные версии теста Абеля: одна используется для серий действительных чисел, а другая - для степенных рядов в комплексном анализе . Равномерная сходимость тест Абеля является критерием равномерной сходимости в виде ряда из функций в зависимости от параметров .
Тест Абеля в реальном анализе
Предположим, что верны следующие утверждения:
- сходящийся ряд,
- { b n } - монотонная последовательность, и
- { b n } ограничен.
потом также сходится.
Важно понимать, что этот тест в основном уместен и полезен в контексте не совсем сходящихся рядов. . Для абсолютно сходящихся рядов эта теорема, хотя и верна, почти самоочевидна.
Эту теорему можно доказать напрямую, используя суммирование по частям .
Тест Абеля в комплексном анализе
Тесно связанный тест сходимости, также известный как тест Абеля , часто может использоваться для установления сходимости степенного ряда на границе его круга сходимости . В частности, тест Абеля утверждает, что если последовательность положительных действительных чисел монотонно убывает (или, по крайней мере, для всех n, больших, чем некоторое натуральное число m , мы имеем) с участием
затем степенной ряд
сходится всюду на замкнутой единичной окружности , кроме случая z = 1. Тест Абеля не может применяться при z = 1, поэтому сходимость в этой единственной точке необходимо исследовать отдельно. Обратите внимание , что тест Абеля предполагает , в частности , что радиус сходимости по крайней мере 1. Он также может быть применен к степенной ряд с радиусом сходимости R ≠ 1 , путем простой замены переменных ζ = г / R . [1] Обратите внимание, что тест Абеля является обобщением критерия Лейбница , взяв z = −1.
Доказательство теста Абеля: предположим, что z - точка на единичной окружности, z 1. Для каждого, мы определяем
Умножая эту функцию на (1 - z ), получаем
Первое слагаемое постоянно, второе равномерно сходится к нулю (так как по предположению последовательность сходится к нулю). Осталось только показать, что ряд сходится. Мы покажем это, показав, что он даже абсолютно сходится:где последняя сумма - сходящаяся телескопическая сумма. Абсолютное значение исчезло, потому что последовательность уменьшается по предположению.
Следовательно, последовательность сходится (даже равномерно) на замкнутом единичном круге. Если, мы можем разделить на (1 - z ) и получить результат.
Тест равномерной сходимости Абеля
Тест равномерной сходимости Абеля - это критерий равномерной сходимости ряда функций или неправильного интегрирования функций, зависящих от параметров . Это связано с тестом Абеля на сходимость обычного ряда действительных чисел, и доказательство опирается на ту же технику суммирования по частям .
Тест выглядит следующим образом. Пусть { g n } - равномерно ограниченная последовательность вещественнозначных непрерывных функций на множестве E такая, что g n +1 ( x ) ≤ g n ( x ) для всех x ∈ E и натуральных чисел n , и пусть { f n } последовательность вещественных функций , таких , что ряд Σ е п ( х ) сходится равномерно на Е . Тогда Σ е п ( х ) г п ( х ) сходится равномерно на Е .
Заметки
- ^ (Моретти, 1964, стр.91)
Рекомендации
- Джино Моретти, Функции комплексной переменной , Prentice-Hall, Inc., 1964
- Апостол, Том М. (1974), Математический анализ (2-е изд.), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-00288-1
- Вайсштейн, Эрик В. "Тест равномерной сходимости Абеля" . MathWorld .