Мадхава Сангамаграмы

Иринннаттаппини Мадхаван Нампутири, известный как Мадхава из Сангамаграмы ( ок.  1340  - ок.  1425 ), был индийским математиком и астрономом из города, который, как полагают, является современным Алоор , Иринджалакуда в районе Триссур , Керала , Индия. Он считается основателем керальской школы астрономии и математики . Мадхава, один из величайших математиков-астрономов средневековья , внес новаторский вклад в изучение бесконечных рядов , исчисления , тригонометрии и т. Д.геометрия и алгебра . Он был первым, кто применил приближения бесконечными рядами для ряда тригонометрических функций, что было названо «решающим шагом вперед от конечных процедур древней математики к рассмотрению их предельного перехода к бесконечности ». ^[1]

Некоторые ученые также предположили, что работа Мадхавы через сочинения школы Кералы была передана в Европу ^[5] через миссионеров- иезуитов и торговцев, которые в то время вели активную деятельность в районе древнего порта Музирис . В результате это могло повлиять на более поздние европейские разработки в области анализа и исчисления. ^[6]

Историография [ править ]

Хотя есть некоторые свидетельства математической работы в Керале до Мадхавы ( например , Садратнамала ^{[ который? ]} Ок. 1300 г., набор фрагментарных результатов ^[7] ), из цитат ясно, что Мадхава послужил творческим импульсом для развития богатая математическая традиция средневековой Кералы. Однако, за исключением пары, большая часть оригинальных работ Мадхавы была утеряна. В работах последующих математиков Кералы, особенно в « Тантрасанграхе» Нилакантхи Сомаяджи (около 1500 г.), он упоминается как источник нескольких расширений бесконечных рядов, включая sin θ и arctan θ . Текст XVI векаМахаджьяна-пракара (Метод вычисления великих синусов) цитирует Мадхаву как источник нескольких последовательностей выводов числа π. В « Юктибхане » Джьехадевы (около 1530 г.) ^[8], написанной на малаялам , эти серии представлены с доказательствами в терминах разложения в ряды Тейлора для полиномов типа 1 / (1+ x ² ), где x = tan  θ и т. Д. .

Таким образом, то, что явно является работой Мадхавы, является источником некоторых споров. Йукти-дипика (также называется Tantrasangraha-vyakhya ), возможно , состоит из Шанкара Variyar , студент Джйестадева, представляет несколько версий разложения в ряд для греховной & thetas , соз & thetas и арктангенса & thetas , а также некоторые продукты с радиусом и длина дуги, большинство версий которой встречается в Yuktibhāā. Для тех, кто этого не делает, Раджагопал и Рангачари утверждали, широко цитируя исходный санскрит ^[1], что, поскольку некоторые из них были приписаны Нилакантхой Мадхаве, некоторые другие формы также могут быть работой Мадхавы.

Другие предполагают, что ранний текст Каранападдхати (ок. 1375–1475), или Махаджьянаяна пракара, был написан Мадхавой , но это маловероятно. ^[3]

Каранападдхати , наряду с еще более ранним керальским математическим текстом Садратнамала , а также Тантрасанграха и Юктибхана , были рассмотрены в статье 1834 года Чарльза Мэтью Виша , который первым обратил внимание на их приоритет перед Ньютоном в открытии Флюксии (имя Ньютона). для дифференциалов). ^[7] В середине 20 века русский ученый Юшкевич пересмотрел наследие Мадхавы ^[9], а всесторонний взгляд на школу Кералы был дан Сармой в 1972 году ^[10].

Происхождение [ править ]

Есть несколько известных астрономов, предшествовавших Мадхаве, в том числе Калаур Кижар (2 век), ^[11] Вараручи (4 век) и Шанкаранараяна (866 год нашей эры). Не исключено, что ему предшествовали и другие неизвестные фигуры. Однако у нас есть более четкое описание традиции после Мадхавы. Парамешвара был прямым учеником. Согласно рукописи малаяламского комментария к Сурья-сиддханте на пальмовом листе, одним из учеников сына Парамешвары Дамодара (ок. 1400–1500) был Нилакантха Сомаяджи. Джйештадева был учеником Нилакантхи. Ачьюта Пишарати из Триккантиюра упоминается как ученик Джидхадевы, а грамматист Мелпатур Нараяна Бхаттатирикак его ученик. ^[8]

Вклады [ править ]

Если мы рассматриваем математику как прогрессию от конечных процессов алгебры к рассмотрению бесконечного, то первые шаги к этому переходу обычно сопровождаются расширениями в бесконечные ряды. Именно этот переход к бесконечным сериям приписывается Мадхаве. В Европе первая такая серия была разработана Джеймсом Грегори в 1667 году. Работа Мадхавы примечательна серией, но что действительно примечательно, так это его оценка члена ошибки (или члена исправления). ^[12] Это означает, что он очень хорошо понимал предельную природу бесконечного ряда. Таким образом, Мадхава, возможно, изобрел идеи, лежащие в основе разложения функций в бесконечный ряд , степенного ряда , тригонометрического ряда., и рациональные приближения бесконечных рядов. ^[13]

Однако, как указывалось выше, трудно определить, какие результаты принадлежат именно Мадхаве, а какие - его преемникам. Ниже приводится краткое изложение результатов, приписываемых Мадхаве различными учеными.

Бесконечная серия [ править ]

Среди его многочисленных достижений, он обнаружил , бесконечные ряды для тригонометрических функций на синус , косинус , арктангенс и многих методов расчета окружности в виде окружности . Одна из серий Мадхавы известна из текста Юктибхана , который содержит вывод и доказательство степенного ряда для обратной тангенса , открытого Мадхавой. ^[14] В тексте Джидхадева описывает серию следующим образом:

Первый член - это произведение заданного синуса и радиуса искомой дуги, деленное на косинус дуги. Последующие члены получаются в процессе итерации, когда первый член многократно умножается на квадрат синуса и делится на квадрат косинуса. Затем все члены делятся на нечетные числа 1, 3, 5, .... Дуга получается сложением и вычитанием, соответственно, членов нечетного ранга и членов четного ранга. Установлено, что синус дуги или синус ее дополнения, в зависимости от того, что меньше, следует принимать здесь как заданный синус. В противном случае члены, полученные с помощью этой вышеупомянутой итерации, не будут стремиться к нулевой величине. ^[15]

Это дает:

${\displaystyle r\theta ={\frac {r\sin \theta }{\cos \theta }}-(1/3)\,r\,{\frac {\left(\sin \theta \right)^{3}}{\left(\cos \theta \right)^{3}}}+(1/5)\,r\,{\frac {\left(\sin \theta \right)^{5}}{\left(\cos \theta \right)^{5}}}-(1/7)\,r\,{\frac {\left(\sin \theta \right)^{7}}{\left(\cos \theta \right)^{7}}}+\cdots }$

или эквивалентно:

${\displaystyle \theta =\tan \theta -{\frac {\tan ^{3}\theta }{3}}+{\frac {\tan ^{5}\theta }{5}}-{\frac {\tan ^{7}\theta }{7}}+\cdots }$

Эта серия - серия Грегори (названная в честь Джеймса Грегори , который заново открыл ее через три столетия после Мадхавы). Даже если мы будем рассматривать эту конкретную серию как работу Джедхадева , она предшествует Грегори на столетие, и, конечно же, Мадхава разработал другие бесконечные серии подобного рода. Сегодня это называется серией Мадхава-Грегори-Лейбниц. ^{[15] [16]}

Тригонометрия [ править ]

Мадхава составил точную таблицу синусов . Обозначив четверть круга через двадцать четыре равных интервала, он дал длины полухорды (синусов), соответствующие каждому из них. Считается, что он, возможно, вычислил эти значения на основе разложения в ряд: ^[4]

грешить д = д - д ³ /3! + Д ⁵ /5! - д ⁺⁷ / 7! + ...

соз д = 1 - д ² /2! + Д ⁺⁴ / 4! - д ⁶ /6! + ...

Значение π (пи) [ править ]

Работа Мадхавы о значении математической константы Пи цитируется в Махаджьянаяна пракара («Методы для великих синусов»). ^{[ необходима цитата ]} Хотя некоторые ученые, такие как Сарма ^[8], считают, что эта книга, возможно, была составлена ​​самим Мадхавой, скорее всего, это работа его преемника XVI века. ^[4] Этот текст приписывает большую часть расширений Мадхаве и дает следующее расширение бесконечного ряда π , теперь известное как ряд Мадхава-Лейбница : ^{[17] [18]}

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}},}$

которое он получил из разложения арктангенса в ряд по степеням. Однако наиболее впечатляющим является то, что он также дал поправочный член R _n для ошибки после вычисления суммы до n членов ^[4], а именно:

R _n = (−1) ⁿ / (4 n ), или

R _n = (−1) ⁿ ⋅ n / (4 n ² + 1), или

R _n = (−1) ⁿ ⋅ ( n ² + 1) / (4 n ³ + 5 n ),

где третья поправка приводит к высокоточным вычислениям π.

Давно предполагалось, как Мадхава нашел эти исправительные термины. ^[19] Это первые три подходящие дроби конечной цепной дроби, которая в сочетании с исходным рядом Мадхавы, вычисленным до n членов, дает примерно 3 n / 2 правильных цифр:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}+{\cfrac {(-1)^{n}}{4n+{\cfrac {1^{2}}{n+{\cfrac {2^{2}}{4n+{\cfrac {3^{2}}{n+{\cfrac {4^{2}}{\dots +{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{2}}{n[4-3(n{\bmod {2}})]}}}}}}}}}}}}}}.}$

Абсолютное значение поправочного члена в следующем более высоком порядке составляет

| R _n | = (4 п ³ + 13 п ) / (16 п ⁴ + 56 п ² + 9).

Он также дал более быстро сходящийся ряд, преобразовав исходный бесконечный ряд π, получив бесконечный ряд

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right).}$

Используя первые 21 член для вычисления приближения π, он получает значение с точностью до 11 десятичных знаков (3,14159265359). ^[20] Значение 3,1415926535898 с точностью до 13 десятичных знаков иногда приписывается Мадхаве, ^[21] но может быть связано с одним из его последователей. Это были самые точные приближения π, данные с 5-го века (см. Историю числовых приближений π ).

Текст Садратнамала дает удивительно точное значение π = 3,14159265358979324 (с точностью до 17 знаков после запятой). На основании этого Р. Гупта предположил, что этот текст также был составлен Мадхавой. ^{[3] [20]}

Мадхава также провел исследования других рядов для длин дуг и связанных с ними приближений к рациональным дробям числа π, нашел методы полиномиального разложения , обнаружил тесты сходимости бесконечных рядов и анализ бесконечных цепных дробей . ^[3] Он также открыл решения трансцендентных уравнений методом итерации и нашел приближение трансцендентных чисел цепными дробями. ^[3]

Исчисление [ править ]

Мадхава заложил основы для развития исчисления , которые в дальнейшем были развиты его преемниками в керальской школе астрономии и математики . ^{[13] [22]} (Некоторые идеи исчисления были известны более ранним математикам .) Мадхава также расширил некоторые результаты, найденные в более ранних работах, включая результаты Бхаскары II . Однако неясно, была ли какая-либо из этих идей передана на Запад, где исчисление было независимо разработано Исааком Ньютоном и Лейбницем .

Работы Мадхавы [ править ]

К. В. Сарма назвал Мадхаву автором следующих работ: ^{[23] [24]}

1. Голавада
2. Мадхьяманаянапракара
3. Махаджьянайанапракара (Метод вычисления великих синусов)
4. Лагнапракарана ( लग्नप्रकरण )
5. Венвароха ( वेण्वारोह ) ^[25]
6. Сфутакандрапти ( स्फुटचन्द्राप्ति )
7. Аганита-грахачара ( अगणित-ग्रहचार )
8. Чандравакьяни ( चन्द्रवाक्यानि ) (Таблица лунной мнемоники)

Керальская школа астрономии и математики [ править ]

Керальская школа астрономии и математики процветала по крайней мере два столетия после Мадхавы. В Джьешхадеве мы находим понятие интеграции, называемое санкалитам (букв. Собрание ), как в заявлении:

экадйекотхара пада санкалитам самам падаваргатхинте пакути , ^[16]

что переводится как интеграл переменной ( пада ) равняется половине этой переменной в квадрате ( варга ); т.е. интеграл от x dx равен x ² / 2. Это явно начало процесса интегрального исчисления . Связанный результат утверждает, что площадь под кривой является ее интегралом . Большинство этих результатов предшествуют аналогичным результатам в Европе на несколько столетий. Во многих смыслах «Юктибхана» Джештхадева можно считать первым в мире текстом по исчислению . ^{[7] [13] [22]}

Группа также проделала много другой работы в области астрономии; действительно, для астрономических вычислений разработано гораздо больше страниц, чем для обсуждения результатов, связанных с анализом. ^[8]

Школа Кералы также внесла большой вклад в лингвистику (связь между языком и математикой - древняя индийская традиция, см. Катьяяна ). В аюрведических и поэтические традиции Керала также могут быть прослежены в эту школу. Знаменитое стихотворение « Нараяниям» было написано Нараяной Бхаттатири .

Влияние [ править ]

Мадхаву называли «величайшим математиком-астрономом средневековой Индии» ^[3] или «основателем математического анализа; некоторые из его открытий в этой области показывают, что он обладал исключительной интуицией». ^[26] О'Коннор и Робертсон заявляют, что справедливая оценка Мадхавы состоит в том, что он сделал решающий шаг к современному классическому анализу. ^[4]

Возможное распространение в Европу [ править ]

Школа Кералы была хорошо известна в 15-16 веках, в период первых контактов с европейскими мореплавателями на Малабарском побережье . В то время порт Музирис , недалеко от Сангамаграмы , был крупным центром морской торговли, и в этом регионе действовали иезуитские миссионеры и торговцы. Учитывая известность школы Кералы и интерес, проявленный некоторыми группами иезуитов в этот период к местной науке, некоторые ученые, в том числе Дж. Джозеф из Университета Манчестера, предположили ^[27], что сочинения школы Кералы могут также были переданы в Европу примерно в это время, то есть примерно за столетие до Ньютона. ^[6]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Биография на MacTutor: [1]
• Краткая биография Мадхавы: [2]