Центральный биномиальный коэффициент

Эта статья включает в себя список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июнь 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Треугольник Паскаля, строки с 0 по 7. Числа в центральном столбце - это центральные биномиальные коэффициенты.

В математике п - й центральной биномиального коэффициента является частным биномиальный коэффициент

${\displaystyle {2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}{\text{ for all }}n\geq 0.}$

Они называются центральными, так как появляются точно в середине четных строк в треугольнике Паскаля . Первые несколько центральных биномиальных коэффициентов, начиная с n = 0, равны:

1 , 2 , 6 , 20 , 70 , 252 , 924, 3432, 12870, 48620, ...; (последовательность A000984 в OEIS )

Свойства [ править ]

Центральные биномиальные коэффициенты удовлетворяют рекуррентности

${\displaystyle {\binom {2(n+1)}{n+1}}={\frac {4n+2}{n+1}}\cdot {\binom {2n}{n}}.}$

Поскольку мы находим ${\displaystyle \textstyle {\binom {-1/2}{n+1}}={\frac {-1/2-n}{n+1}}\cdot {\binom {-1/2}{n}}}$

${\displaystyle {\binom {2n}{n}}=(-1)^{n}4^{n}{\binom {-1/2}{n}}}$

Вместе с биномиальным рядом получаем производящую функцию

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}x^{n}=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots }$

и экспоненциальная производящая функция

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}{\frac {x^{n}}{n!}}=e^{2x}I_{0}(2x),}$

где I ₀ - модифицированная функция Бесселя первого рода . ^[1]

Произведение Уоллиса можно записать в асимптотической форме для центрального биномиального коэффициента:

${\displaystyle {2n \choose n}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}.}$

Последнее также легко установить с помощью формулы Стирлинга . С другой стороны, его также можно использовать как средство для определения константы перед формулой Стирлинга путем сравнения.${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$

Простые оценки , которые непосредственно следуют из являются${\displaystyle 4^{n}=(1+1)^{2n}=\sum _{k=0}^{2n}{\binom {2n}{k}}}$

${\displaystyle {\frac {4^{n}}{2n+1}}\leq {2n \choose n}\leq 4^{n}{\text{ for all }}n\geq 1}$

Некоторые лучшие границы ^[2]

${\displaystyle {\frac {4^{n}}{\sqrt {4n}}}\leq {2n \choose n}\leq {\frac {4^{n}}{\sqrt {3n+1}}}{\text{ for all }}n\geq 1}$

и, если требуется больше точности,

${\displaystyle {2n \choose n}={\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\left(1-{\frac {c_{n}}{n}}\right){\text{ where }}{\frac {1}{9}}<c_{n}<{\frac {1}{8}}}$для всех ^{[ ссылка ]}${\displaystyle n\geq 1.}$

Единственный центральный биномиальный коэффициент, который является нечетным, равен 1. Точнее говоря, количество множителей 2 в равно количеству единиц в двоичном представлении n . ^[3] Половина центрального биномиального коэффициента (для ) (последовательность A001700 в OEIS ) видна в теореме Вольстенхолма .${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}{2n \choose n}={2n-1 \choose n-1}}$${\displaystyle n>0}$

Согласно гипотезе Эрдеша , доказанной в 1996 г., ни один центральный биномиальный коэффициент с n > 4 не является бесквадратным .

Центральный биномиальный коэффициент равен сумме квадратов элементов в строке n треугольника Паскаля. ^[1]${\displaystyle {2n \choose n}}$

Связанные последовательности [ править ]

Близкие каталонские числа C _n даются как:

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}{\text{ for all }}n\geq 0.}$

Небольшое обобщение центральных биномиальных коэффициентов состоит в том, чтобы принять их как с соответствующими действительными числами n , где - гамма-функция, а - бета-функция .${\displaystyle {\frac {\Gamma (2n+1)}{\Gamma (n+1)^{2}}}={\frac {1}{n\mathrm {B} (n+1,n)}}}$${\displaystyle \Gamma (x)}$${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)}$

Эти силы два , которые делят центральные биномиальные коэффициенты задаются последовательностью Гулда , чей п - й элемента является числом нечетных чисел в строке п треугольника Паскаля.

Ссылки [ править ]

• Коши, Томас (2008), Каталонские числа с приложениями , Oxford University Press, ISBN 978-0-19533-454-8.

Внешние ссылки [ править ]

• Центральный биномиальный коэффициент в PlanetMath .
• Биномиальный коэффициент в PlanetMath .
• Треугольник Паскаля в PlanetMath .
• Каталонские числа в PlanetMath .

Эта статья включает материал из Центрального биномиального коэффициента на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .