Круг

Круг
Круг (черный), который измеряется по окружности ( C ), диаметру ( D ) голубым и радиусу ( R ) красным цветом; его центр ( O ) окрашен в пурпурный цвет.

Геометрия
Проецирование в сферу на плоскости
Контур История
ветви Евклидово Неевклидово Эллиптический Сферический Гиперболический Неархимедова геометрия Проективный Аффинный Синтетический Аналитический Алгебраический Арифметика Диофантин Дифференциальный Риманов Симплектический Дискретный дифференциал Сложный Конечный Дискретный / Комбинаторный Цифровой Выпуклый Вычислительная Фрактал Заболеваемость
Концепции Функции Измерение Конструкции линейки и компаса Угол Изгиб Диагональ Ортогональность ( перпендикулярность ) Параллельный Вершина Конгруэнтность Сходство Симметрия
Нульмерный Точка
Одномерный Линия сегмент луч Длина
Двумерный Самолет Область Многоугольник Треугольник Высота Гипотенуза теорема Пифагора Параллелограмм Квадратный Прямоугольник Ромб Ромбовидный Четырехугольник Трапеция летающий змей Круг Диаметр Длина окружности Область
Трехмерный Объем Куб кубовид Цилиндр Пирамида Сфера
Четырех- / многомерный Тессеракт Гиперсфера
Геометры
по имени Аида Арьябхата Ахмес Альхазен Аполлоний Архимед Атья Баудхаяна Бойяи Брахмагупта Картан Coxeter Декарт Евклид Эйлер Гаусс Громов Гильберта Джишхадева Катьяяна Хайям Кляйн Лобачевский Манава Минковский Минггату Паскаль Пифагор Парамешвара Пуанкаре Риман Сакабэ Sijzi ат-Туси Веблен Вирасена Ян Хуэй аль-Ясамин Чжан Список геометров
по периоду До н.э. Ахмес Баудхаяна Манава Пифагор Евклид Архимед Аполлоний 1–1400 Чжан Катьяяна Арьябхата Брахмагупта Вирасена Альхазен Sijzi Хайям аль-Ясамин ат-Туси Ян Хуэй Парамешвара 1400–1700 гг. Джишхадева Декарт Паскаль Минггату Эйлер Сакабэ Аида 1700–1900-е гг. Гаусс Лобачевский Бойяи Риман Кляйн Пуанкаре Гильберта Минковский Картан Веблен Coxeter Сегодняшний день Атья Громов
v т е

Круг представляет собой форму , состоящую из всех точек в плоскости , которые находятся на заданном расстоянии от данной точки, центр ; эквивалентно, это кривая, очерченная точкой, которая движется в плоскости так, что расстояние от нее до данной точки постоянно . Расстояние между любой точкой круга и центром называется радиусом . Эта статья посвящена кругам в евклидовой геометрии и, в частности, евклидовой плоскости, если не указано иное.

В частности, круг - это простая замкнутая кривая, которая делит плоскость на две области : внутреннюю и внешнюю . В повседневном использовании термин «круг» может использоваться взаимозаменяемо для обозначения либо границы фигуры, либо всей фигуры, включая ее внутреннюю часть; в строгом техническом использовании круг - это только граница, а вся фигура называется диском .

Круг также может быть определен как особый вид эллипса, в котором два фокуса совпадают, а эксцентриситет равен 0, или как двумерная форма, охватывающая наибольшую площадь на единицу квадрата периметра, с использованием вариационного исчисления .

Определение Евклида

Круг - это плоская фигура, ограниченная одной изогнутой линией, и такая, что все прямые линии, проведенные от определенной точки внутри нее до ограничивающей линии, равны. Ограничивающая линия называется ее окружностью, а точка - ее центром.

-  Евклид , Элементы , Книга I ^{[1] : 4}

Топологическое определение

В области топологии круг не ограничивается геометрическим понятием, но всеми его гомеоморфизмами . Два топологических круга эквивалентны, если один может быть преобразован в другой посредством деформации R 3 на самом себе (известной как окружающая изотопия ). ^[2]

Терминология

• Кольцо : объект в форме кольца, область, ограниченная двумя концентрическими окружностями.
• Дуга : любая соединенная часть круга. Указание двух конечных точек дуги и центра позволяет создать две дуги, которые вместе составляют полный круг.
• Центр : точка, равноудаленная от всех точек окружности.
• Хорда : отрезок прямой, концы которого лежат на окружности, тем самым разделяя окружность на два отрезка.
• Окружность : длина одного контура по окружности или расстояние по окружности.
• Диаметр : отрезок прямой, конечные точки которого лежат на окружности и который проходит через центр; или длину такого отрезка линии. Это наибольшее расстояние между любыми двумя точками на окружности. Это особый случай хорды, а именно самой длинной хорды для данного круга, и ее длина в два раза больше длины радиуса.
• Диск : область плоскости, ограниченная кругом.
• Линза : область, общая для (пересечения) двух перекрывающихся дисков.
• Проходной: компланарная прямая линия, не имеющая общей точки с окружностью.
• Радиус : отрезок прямой, соединяющий центр окружности с любой точкой на самой окружности; или длина такого сегмента, составляющая половину (длины) диаметра.
• Сектор : область, ограниченная двумя радиусами равной длины с общим центром и любой из двух возможных дуг, определяемых этим центром и конечными точками радиусов.
• Сегмент : область, ограниченная хордой и одной из дуг, соединяющих концы хорды. Длина хорды накладывает нижнюю границу на диаметр возможных дуг. Иногда термин сегмент используется только для областей, не содержащих центра окружности, к которой принадлежит их дуга.
• Секанс : удлиненная хорда, копланарная прямая, пересекающая окружность в двух точках.
• Полукруг : одна из двух возможных дуг, определяемых конечными точками диаметра, с его средней точкой в ​​качестве центра. В нетехническом общем пользовании , это может означать внутреннюю часть двумерный области , ограниченного диаметром и один из его дуг, что технически называются половинным диском . Полудиск - это частный случай сегмента , а именно самый большой.
• Касательная : копланарная прямая линия, имеющая одну общую точку с кругом («касается круга в этой точке»).

Все указанные области могут рассматриваться как открытые , то есть не содержащие своих границ, или как закрытые , включая их соответствующие границы.

История

В слове круг происходит от греческого κίρκος / κύκλος ( Киркос / kuklos ), сам по себе Обменному из гомеровского грека κρίκος ( krikos ), что означает «обруч» или «кольцо». ^[3] Происхождение слов « цирк» и « схема» тесно связано.

Круг был известен еще до начала письменной истории. Наблюдались бы естественные круги, такие как Луна, Солнце и короткий стебель растения, развевающийся на ветру по песку, который образует на песке форму круга. Круг - это основа колеса , которое с помощью связанных изобретений, таких как шестерни , делает возможным создание многих современных машин. В математике изучение круга помогло вдохновить развитие геометрии, астрономии и математического анализа .

Ранняя наука , в частности , геометрия и астрология и астрономия , была связана с божественным для большинства средневековых ученых , и многие считали , что там было что - то внутренне «божественное» или «совершенное» , которые могут быть найдены в кругах. ^{[4] [5]}

Некоторые основные моменты в истории кружка:

• 1700 г. до н.э. - Папирус Райнда дает метод определения площади круглого поля. Результат соответствует256/81 год(3,16049 ...) как приблизительное значение π . ^[6]

• 300 г. до н.э. - Книга 3 Элементов Евклида посвящена свойствам кругов.
• В Plato «s седьмого Письмо есть подробное определение и объяснение круга. Платон объясняет идеальный круг и то, чем он отличается от любого рисунка, слов, определения или объяснения.
• 1880 CE - Линдеманн доказывает , что π является трансцендентным , эффективно урегулированием тысячелетней проблемы квадратуры круга . ^[7]

Аналитические результаты

Длина окружности

Отношение длины окружности к ее диаметру равно π (пи), иррациональная константа, приблизительно равная 3,141592654. Таким образом, длина окружности C связана с радиусом r и диаметром d соотношением:

${\displaystyle C=2\pi r=\pi d.\,}$

Огороженная территория

Как доказал Архимед в его « Измерении круга» , площадь, заключенная в круг , равна площади треугольника, основание которого равно длине окружности круга, а высота равна радиусу круга, ^[8] что равно π, умноженному на на квадрат радиуса:

${\displaystyle \mathrm {Area} =\pi r^{2}.\,}$

Эквивалентно, обозначая диаметр d ,

${\displaystyle \mathrm {Area} ={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0{.}7854d^{2},}$

то есть примерно 79% описывающего квадрата (сторона которого имеет длину d ).

Круг - это плоская кривая, охватывающая максимальную площадь для данной длины дуги. Это связывает круг с проблемой вариационного исчисления , а именно с изопериметрическим неравенством .

Уравнения

Декартовы координаты

Уравнение круга

В декартовой системе координат x - y круг с координатами центра ( a , b ) и радиусом r представляет собой набор всех точек ( x , y ), таких что

${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.}$

Это уравнение , известное как уравнение окружности , следует из теоремы Пифагора, примененной к любой точке окружности: как показано на соседней диаграмме, радиус - это гипотенуза прямоугольного треугольника, другие стороны которого имеют длину | х - а | и | у - б |. Если окружность центрирована в начале координат (0, 0), то уравнение упрощается до

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.}$

Параметрическая форма

Уравнение может быть записано в параметрической форме с использованием тригонометрических функций синуса и косинуса как

${\displaystyle x=a+r\,\cos t,}$

${\displaystyle y=b+r\,\sin t,}$

где t - параметрическая переменная в диапазоне от 0 до 2 π , геометрически интерпретируемая как угол, который луч от ( a ,  b ) до ( x ,  y ) образует с положительной  осью x .

Альтернативная параметризация круга:

${\displaystyle x=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},}$

${\displaystyle y=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}.}$

В этой параметризации отношение t к r можно интерпретировать геометрически как стереографическую проекцию линии, проходящей через центр параллельно  оси x (см. Замена касательного полуугла ). Однако эта параметризация работает только в том случае, если задано значение t для диапазона не только через все вещественные числа, но и до бесконечно удаленной точки; в противном случае крайняя левая точка круга будет опущена.

3-х балльная форма

Уравнение окружности, определяемой тремя точками не на прямой, получается преобразованием трехточечной формы уравнения окружности :${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}$

${\displaystyle {\frac {({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {green}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {green}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.}$

Однородная форма

В однородных координатах каждое коническое сечение с уравнением окружности имеет вид

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-2axz-2byz+cz^{2}=0.}$

Можно доказать, что коническое сечение является окружностью именно тогда, когда оно содержит (при расширении на комплексную проективную плоскость ) точки I (1: i : 0) и J (1: - i : 0). Эти точки называются бесконечно удаленными круговыми точками .

Полярные координаты

В полярных координатах уравнение круга имеет вид

${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\phi )+r_{0}^{2}=a^{2},}$

где a - радиус круга, - полярные координаты общей точки на окружности, и - полярные координаты центра окружности (т. е. r ₀ - это расстояние от начала координат до центра окружности, и φ - угол против часовой стрелки от положительной  оси x к линии, соединяющей начало координат с центром круга). Для круга с центром в начале координат, т. Е. R ₀ = 0 , это сводится просто к r = a . Когда r ₀ = a или когда начало координат лежит на окружности, уравнение принимает вид${\displaystyle (r,\theta )}$${\displaystyle (r_{0},\phi )}$

${\displaystyle r=2a\cos(\theta -\phi ).}$

В общем случае уравнение можно решить относительно r , давая

${\displaystyle r=r_{0}\cos(\theta -\phi )\pm {\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\phi )}}.}$

Обратите внимание, что без знака ± уравнение в некоторых случаях описывало бы только полукруга.

Сложная плоскость

В комплексной плоскости круг с центром в точке c и радиусом r имеет уравнение

${\displaystyle |z-c|=r.}$

В параметрической форме это можно записать как

${\displaystyle z=re^{it}+c.}$

Слегка обобщенное уравнение

${\displaystyle pz{\overline {z}}+gz+{\overline {gz}}=q}$

для вещественных p , q и комплексного g иногда называют обобщенной окружностью . Это становится приведенным выше уравнением для круга с , так как . Не все обобщенные круги на самом деле являются кругами: обобщенный круг - это либо (истинный) круг, либо линия .${\displaystyle p=1,\ g=-{\overline {c}},\ q=r^{2}-|c|^{2}}$${\displaystyle |z-c|^{2}=z{\overline {z}}-{\overline {c}}z-c{\overline {z}}+c{\overline {c}}}$

Касательные линии

Касательное через точку Р на окружности перпендикулярен к диаметру , проходящему через P . Если P = ( x ₁ , y ₁ ) и окружность имеет центр ( a , b ) и радиус r , то касательная линия перпендикулярна прямой от ( a , b ) к ( x ₁ , y ₁ ), поэтому имеет вид ( x ₁ - a ) x + ( y ₁ - b )у = с . Вычисление в ( x ₁ , y ₁ ) определяет значение c , и в результате уравнение касательной имеет вид

${\displaystyle (x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=(x_{1}-a)x_{1}+(y_{1}-b)y_{1},}$

или же

${\displaystyle (x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}.}$

Если y ₁ ≠ b , то наклон этой прямой равен

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}.}$

Это также можно найти с помощью неявного дифференцирования .

Когда центр окружности находится в начале координат, уравнение касательной становится равным

${\displaystyle x_{1}x+y_{1}y=r^{2},}$

и его наклон

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}}{y_{1}}}.}$

Характеристики

• Круг - это форма с наибольшей площадью для данной длины периметра (см. Изопериметрическое неравенство ).
• Круг - очень симметричная форма: каждая линия, проходящая через центр, образует линию симметрии отражения , и она имеет симметрию вращения вокруг центра для каждого угла. Его группа симметрии - ортогональная группа O (2, R ). Группа вращений одна представляет собой круг , группа Т .
• Все круги похожи .
  • Окружность круга и радиус пропорциональны .
  • Приведенная площадь и квадрат ее радиуса пропорциональны .
  • Эти константы пропорциональности являются 2 π и тг соответственно.
• Круг с центром в начале координат с радиусом 1 называется единичной окружностью .
  • Мысль , как большой круг из единичной сферы , то становится римановой круг .
• Через любые три точки, не все на одной прямой, проходит уникальный круг. В декартовых координатах можно дать явные формулы для координат центра окружности и радиуса в терминах координат трех заданных точек. См. Описанную окружность .

Аккорд

• Хорды ​​равноудалены от центра круга тогда и только тогда, когда они равны по длине.
• Перпендикуляр хорды проходит через центр окружности; эквивалентные утверждения, вытекающие из уникальности серединного перпендикуляра:
  • Перпендикулярная линия от центра круга делит хорду пополам.
  • Отрезок через центр рассекает аккорд перпендикулярна хорде.
• Если центральный угол и вписанный угол окружности образуются одной и той же хордой и на одной стороне хорды, то центральный угол вдвое больше вписанного угла.
• Если два угла вписаны на одну хорду и с одной стороны хорды, то они равны.
• Если два угла вписаны на одной и той же хорде и на противоположных сторонах хорды, то они являются дополнительными .
  • Для циклического четырехугольника , то внешний угол равен внутреннему углу противоположной.
• Вписанный угол, образуемый диаметром, является прямым углом (см. Теорему Фалеса ).
• Диаметр - это самая длинная хорда круга.
  • Среди всех окружностей с общей хордой AB круг минимального радиуса - это окружность с диаметром AB.
• Если пересечение любых двух хорд делит одну хорду на длины a и b и делит другую хорду на длины c и d , то ab = cd .
• Если пересечение любых двух перпендикулярных хорд делит одну хорду на длины a и b и делит другую хорду на длины c и d , то a ² + b ² + c ² + d ² равно квадрату диаметра. ^[9]
• Сумма квадратов длин любых двух хорд, пересекающихся под прямым углом в данной точке, такая же, как и у любых двух других перпендикулярных хорд, пересекающихся в той же точке, и определяется выражением 8 r ² - 4 p ² , где r - радиус круга, а p - расстояние от центральной точки до точки пересечения. ^[10]
• Расстояние от точки на окружности до заданной хорды, умноженное на диаметр окружности, равно произведению расстояний от точки до концов хорды. ^{[11] : стр.71}

Касательная

• Линия, проведенная перпендикулярно радиусу через конечную точку радиуса, лежащую на окружности, является касательной к окружности.
• Линия, проведенная перпендикулярно касательной через точку контакта с окружностью, проходит через центр окружности.
• К окружности всегда можно провести две касательные из любой точки за пределами окружности, и эти касательные равны по длине.
• Если касательная в точке A и касательная в точке B пересекаются во внешней точке P , то при обозначении центра как O углы ∠ BOA и BPA являются дополнительными .
• Если AD касается окружности в точке A и AQ - хорда окружности, то ∠ DAQ =1/2дуга ( AQ ) .

Теоремы

• Теорема о хорде утверждает, что если две хорды, CD и EB , пересекаются в A , то AC × AD = AB × AE .
• Если две секущие, AE и AD , также разрезают окружность в точках B и C соответственно, то AC × AD = AB × AE (следствие теоремы о хорде).
• Касательную можно рассматривать как предельный случай секущей, концы которой совпадают. Если касательная от внешней точки A пересекает окружность в точке F, а секущая из внешней точки A пересекает окружность в точках C и D соответственно, то AF ² = AC × AD (теорема касательной – секущей).
• Угол между хордой и касательной в одной из его конечных точек равен половине угла, образованного в центре окружности, на противоположной стороне хорды (угол касательной хорды).
• Если угол, образуемый хордой в центре, равен 90 ° , то ℓ = r √ 2 , где ℓ - длина хорды, а r - радиус окружности.
• Если в круг вписаны две секущие, как показано справа, то измерение угла A равно половине разности измерений замкнутых дуг ( и ). То есть, где O - центр окружности (теорема о секущей – секущей).${\displaystyle {\overset {\frown }{DE}}}$${\displaystyle {\overset {\frown }{BC}}}$${\displaystyle 2\angle {CAB}=\angle {DOE}-\angle {BOC}}$

Вписанные углы

Угол , вписанный (примеры являются синими и зелеными углами в рисунке) составляет ровно половины соответствующего центрального угла (красный). Следовательно, все вписанные углы, которые образуют одну и ту же дугу (розового цвета), равны. Углы, начертанные на дуге (коричневые), являются дополнительными. В частности, каждый вписанный угол, который образует диаметр, является прямым углом (поскольку центральный угол равен 180 °).

Сагитта

Sagitta (также известный как синус-верзус ) представляет собой отрезок линии , проведенной перпендикулярно к хорде, между серединой этой хорды и дугой окружности.

Учитывая длину y хорды и длину x сагитты, теорему Пифагора можно использовать для вычисления радиуса уникального круга, который будет соответствовать двум линиям:

${\displaystyle r={\frac {y^{2}}{8x}}+{\frac {x}{2}}.}$

Другое доказательство этого результата, которое опирается только на два приведенных выше хордовых свойства, состоит в следующем. Учитывая хорду длины y и сагитту длины x , поскольку сагитта пересекает середину хорды, мы знаем, что это часть диаметра окружности. Поскольку диаметр в два раза больше радиуса, длина «недостающей» части диаметра составляет ( 2 r - x ). Используя тот факт, что одна часть одной хорды, умноженная на другую, равна тому же произведению, взятому вдоль хорды, пересекающей первую хорду, находим, что ( 2 r - x ) x = ( y / 2) ² . Решение для r, находим требуемый результат.

Конструкции компаса и линейки

Есть много конструкций из циркуля и линейки, которые образуют круги.

Самым простым и основным является построение с учетом центра круга и точки на окружности. Поместите неподвижную ножку циркуля в центральную точку, подвижную ножку - на точку на окружности и поверните циркуль.

Конструкция с заданным диаметром

• Постройте середину диаметра M.
• Постройте круг с центром M, проходящим через одну из конечных точек диаметра (он также будет проходить через другую конечную точку).

Построение по трем неколлинеарным точкам

• Назовите точки P , Q и R ,
• Постройте серединный перпендикуляр отрезка PQ .
• Постройте серединный перпендикуляр отрезка PR .
• Добавьте точку пересечения этих двух перпендикулярных биссектрис М . (Они встречаются, потому что точки не лежат на одной прямой ).
• Постройте круг с центром M, проходящим через одну из точек P , Q или R (он также будет проходить через две другие точки).

Круг Аполлония

Аполлоний Пергии показал , что круг может быть также определен как набор точек в плоскости , имеющий постоянное отношение (кроме 1) расстояний до двух фиксированных фокусов, A и B . ^{[12] [13]} (Множество точек, в которых расстояния равны, представляет собой серединный перпендикуляр отрезка AB , прямую). Иногда говорят, что этот круг нарисован вокруг двух точек.

Доказательство состоит из двух частей. Во-первых, нужно доказать, что при двух фокусах A и B и соотношении расстояний любая точка P, удовлетворяющая отношению расстояний, должна попадать на определенную окружность. Пусть C - другая точка, также удовлетворяющая соотношению и лежащая на отрезке AB . По теореме о биссектрисе угла отрезок PC будет делить внутренний угол APB пополам , поскольку отрезки подобны:

${\displaystyle {\frac {AP}{BP}}={\frac {AC}{BC}}.}$

Аналогично, отрезок PD, проходящий через некоторую точку D на продолжении AB, делит пополам соответствующий внешний угол BPQ, где Q находится на продолжении AP . Поскольку сумма внутреннего и внешнего углов равна 180 градусам, угол CPD составляет ровно 90 градусов, то есть прямой угол . Множество точек P таких, что угол CPD является прямым углом, образует окружность, диаметр которой равен CD .

Во-вторых, см. ^{[14] : с.15,} где доказано, что каждая точка на указанной окружности удовлетворяет заданному соотношению.

Кросс-отношения

Тесно связанное свойство окружностей включает геометрию поперечного отношения точек на комплексной плоскости . Если A , B и C такие же, как указано выше, то круг Аполлония для этих трех точек представляет собой набор точек P, для которых абсолютное значение поперечного отношения равно единице:

${\displaystyle {\big |}[A,B;C,P]{\big |}=1.}$

Другими словами, P является точкой на окружности Аполлония тогда и только тогда, когда соотношение [ A , B ; C , P ] находится на единичной окружности комплексной плоскости.

Обобщенные круги

Если C - середина отрезка AB , то совокупность точек P, удовлетворяющих условию Аполлония

${\displaystyle {\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}}$ 

это не круг, а линия.

Таким образом, если A , B и C заданы различные точки на плоскости, то геометрическое место точек P, удовлетворяющих вышеуказанному уравнению, называется «обобщенной окружностью». Это может быть настоящий круг или линия. В этом смысле линия представляет собой обобщенную окружность бесконечного радиуса.

Надпись в других цифрах или их окружение

В каждый треугольник можно вписать уникальную окружность, называемую вписанной , так, чтобы она касалась каждой из трех сторон треугольника. ^[15]

Около каждого треугольника можно описать уникальный круг, называемый описанной окружностью, так, чтобы он проходил через каждую из трех вершин треугольника . ^[16]

Тангенциальное многоугольник , такой как тангенциальная четырехугольник , является любой выпуклый многоугольник , внутри которого можно вписать окружность , которая является касательной к каждой стороне многоугольника. ^[17] Каждый правильный многоугольник и каждый треугольник является касательным многоугольником.

Циклический многоугольник является любым выпуклым многоугольником , вокруг которой круг может быть ограниченным , проходя через каждую вершину. Хорошо изученный пример - вписанный четырехугольник . Каждый правильный многоугольник и каждый треугольник - это циклический многоугольник. Многоугольник, который одновременно является циклическим и касательным, называется бицентрическим многоугольником .

Гипоциклоида представляет собой кривую , которая вписана в данной окружности путем отслеживания неподвижную точку на окружности меньшего , что валки в пределах и по касательной к данной окружности.

Предельный случай других фигур

Круг можно рассматривать как предельный случай каждой из других фигур:

• Декартова овальная форма представляет собой набор точек , такие , что взвешенная сумма расстояний от любой ее точки до двух фиксированных точек ( фокусы ) является постоянной. Эллипс является случай , в котором весовые коэффициенты равны. Круг - это эллипс с нулевым эксцентриситетом , что означает, что два фокуса совпадают друг с другом как центр круга. Окружность также является другим частным случаем декартова овала, в котором один из весов равен нулю.
• У суперэллипса есть уравнение вида для положительных a , b и n . В суперокружности b = a . Окружность - это частный случай суперкруга, в котором n = 2 .${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1}$
• Овал Кассини представляет собой набор точек таким образом, что произведение расстояний от любой ее точки до двух фиксированных точек является константой. Когда две фиксированные точки совпадают, получается круг.
• Кривая постоянной ширины представляет собой фигуру , ширина которого, определяется как перпендикулярное расстояние между двумя отдельными параллельными линиями каждая из которых пересекает ее границы в одной точке, то же самое , независимо от направления этих двух параллельных линий. Круг - простейший пример фигур такого типа.

В других р- нормах

Определяя круг как набор точек с фиксированным расстоянием от точки, различные формы могут считаться кругами при разных определениях расстояния. В p- норме расстояние определяется как

${\displaystyle \left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}$

В евклидовой геометрии p = 2, что дает знакомое

${\displaystyle \left\|x\right\|_{2}={\sqrt {|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+\dotsb +|x_{n}|^{2}}}.}$

В геометрии таксомотора , р = 1. таксомотора круги квадраты со сторонами , ориентированные на углом 45 ° к осям координат. В то время как каждая сторона будет иметь длину с использованием евклидовой метрики , где r - радиус круга, ее длина в геометрии такси равна 2 r . Таким образом, длина окружности равна 8 р . Таким образом, значение геометрического аналога равно 4 в этой геометрии. Формула для единичного круга в геометрии такси находится в декартовых координатах и${\displaystyle {\sqrt {2}}r}$ π {\displaystyle \pi } ${\displaystyle |x|+|y|=1}$

${\displaystyle r={\frac {1}{|\sin \theta |+|\cos \theta |}}}$

в полярных координатах .

Окружность радиуса 1 (с использованием этого расстояния) является окрестностью фон Неймана ее центра.

Окружность радиуса r для расстояния Чебышева ( метрика L ∞ ) на плоскости также является квадратом со стороной 2 r, параллельной осям координат, поэтому плоское расстояние Чебышева можно рассматривать как эквивалентное вращением и масштабированием до планарного расстояния такси. Однако эта эквивалентность между метриками L ₁ и L _∞ не распространяется на более высокие измерения.

Квадрат круга

Возведение круга в квадрат - это проблема, предложенная древними геометрами , для построения квадрата с той же площадью, что и данный круг, с использованием только конечного числа шагов с помощью циркуля и линейки .

В 1882 году эта задача оказалась невыполнимой из -за теоремы Линдемана – Вейерштрасса , которая доказывала, что pi ( π ) является трансцендентным числом , а не алгебраическим иррациональным числом ; то есть это не корень любого многочлена с рациональными коэффициентами. Несмотря на невозможность, эта тема продолжает интересовать энтузиастов псевдоматематики .

Значение в искусстве и символике

Со времен самых ранних известных цивилизаций - таких как ассирийцы и древние египтяне, цивилизации в долине Инда и вдоль Желтой реки в Китае, а также западные цивилизации древней Греции и Рима в период классической античности - круг использовался напрямую или косвенно в изобразительном искусстве, чтобы передать послание художника и выразить определенные идеи. Однако различия в мировоззрении (верованиях и культуре) оказали большое влияние на восприятие художников. В то время как некоторые подчеркивали периметр круга, чтобы продемонстрировать их демократическое проявление, другие сосредоточились на его центре, чтобы символизировать концепцию космического единства. В мистических доктринах круг в основном символизирует бесконечность и цикличность существования, но в религиозных традициях он представляет небесные тела и божественных духов.Круг означает множество священных и духовных концепций, включая единство, бесконечность, целостность, вселенную, божественность, баланс, стабильность и совершенство, среди прочего. Такие концепции были переданы в культурах по всему миру с помощью символов, например, компаса, ореола, vesica piscis и его производных (рыба, глаз, ореол, мандорла и т. Д.), Уроборос,Колесо Дхармы , радуга, мандалы, окна-розетки и так далее. ^[18]

Смотрите также

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Педое, Дэн (1988). Геометрия: разносторонний курс . Дувр.
• "Круг" в архиве истории математики MacTutor

Внешние ссылки

Викискладе есть медиафайлы по теме: Круги (категория)

В Викицитатнике есть цитаты, связанные с: Кругами

В Wikisource есть текст статьи Circle из Британской энциклопедии 1911 года .

• "Круг" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Круг в PlanetMath .
• Вайсштейн, Эрик В. «Круг» . MathWorld .
• «Интерактивные Java-апплеты» . для свойств и элементарных конструкций из окружностей
• «Интерактивное уравнение круга стандартной формы» . Щелкните и перетащите точки, чтобы увидеть уравнение стандартной формы в действии
• «Жевание кругов» . завязать узел