Овал (проективная плоскость)

К определению овала:
e: внешняя (проходная) линия,
t: касательная,
s: секущая

В проективной геометрии овальная форма представляет собой круг, как (кривое множество точек) в плоскости , которая определяется инцидентности свойств. Стандартные примеры - невырожденные коники . Однако коника определяется только в папповой плоскости , тогда как овал может существовать в проективной плоскости любого типа. В литературе есть много критериев, которые подразумевают, что овал является коническим, но есть много примеров, как бесконечных, так и конечных, овалов в папповых плоскостях, которые не являются кониками.

Как уже упоминалось, в проективной геометрии овал определяется свойствами инцидентности, но в других областях овалы могут быть определены для удовлетворения других критериев, например, в дифференциальной геометрии с помощью условий дифференцируемости в реальной плоскости .

Более высокомерным аналогом овала является овоид в проективном пространстве .

Обобщением концепции овала является абстрактный овал , который представляет собой структуру, не обязательно вложенную в проективную плоскость. Действительно, существуют абстрактные овалы, которые не могут лежать ни в какой проективной плоскости.

Определение овала [ править ]

На проективной плоскости множество точек $Ω$ называется овалом , если:

Любая прямая $l$ пересекает $Ω$ не более чем в двух точках, и
Для любой точки $P \in Ω$ существует ровно одна касательная $t,$ проходящая через $P$ , $т. Е. T \cap Ω = {P$ }.

Для конечных плоскостей (т.е. множество точек конечно) у нас есть более удобная характеристика: ^[2]

Для конечной проективной плоскости порядка $n$ (т. Е. Любая прямая содержит $n + 1$ точку) множество точек $Ω$ является овалом тогда и только тогда, когда $| Ω | = П + 1$ , и никакие три точки не коллинеарны (на одной линии).

Набор точек на аффинной плоскости, удовлетворяющий приведенному выше определению, называется аффинным овалом .

Аффинный овал всегда является проективным овалом в проективном замыкании (добавление линии на бесконечности) лежащей в основе аффинной плоскости.

Овал также можно рассматривать как особое квадратичное множество . ^[3]

Примеры [ править ]

Конические сечения [ править ]

проективная коника в неоднородных координатах: парабола плюс бесконечно удаленная точка оси

проективная коника в неоднородных координатах: гипербола плюс бесконечно удаленные точки асимптот

В любой папповой проективной плоскости существуют невырожденные проективные конические сечения, и любое невырожденное проективное коническое сечение является овалом. Это утверждение можно проверить простым вычислением для любой из коник (например, параболы или гиперболы ).

Невырожденные коники - это овалы со специальными свойствами:

Справедлива теорема Паскаля и ее различные вырождения.
Есть много проекций, которые оставляют конический инвариант.

Овалы, не являющиеся конусами [ править ]

в реальном самолете

Если плавно склеить половину круга и половину эллипса, получится неконический овал.
Если взять неоднородное представление конического овала в виде параболы плюс бесконечно удаленной точки и заменить выражение $x 2$ на $x 4$ , получится овал, который не является коникой.
Если взять неоднородное представление конического овала в виде гиперболы плюс две бесконечно удаленные точки и заменить выражение $1 / Икс$ от $1 / х 3$ получается овал, не являющийся конусом.
Неявная кривая $x 4 + y 4 = 1$ - неконический овал.

в конечной плоскости четного порядка

В конечной папповой плоскости четного порядка невырожденная коника имеет ядро (единственную точку, через которую проходит каждая касательная), которое можно поменять местами с любой точкой коники, чтобы получить овал, не являющийся коникой.
Для поля $K = GF (2 m)$ с $2 m$ элементами положим

{\ Displaystyle \ Omega = \ {(х, у) \ в К ^ {2} \; | у = х ^ {2 ^ {к}} \; \} \; \ чашка \; \ {(\ infty) \}}

Для

к \in {2, ..., т - 1}

и

к

и

т

взаимно просты, то множество

Ω

представляет собой овал, который не является коническая. ^[4]^[5]

Другие конечные примеры можно найти здесь: ^[6]

Критерии того, чтобы овал был коническим [ править ]

Чтобы овал был коническим, овал и / или плоскость должны удовлетворять дополнительным условиям. Вот некоторые результаты:

Овал в произвольной проективной плоскости, удовлетворяющий условию инцидентности теоремы Паскаля или его 5-точечное вырождение, является невырожденной коникой. ^[7]
Если $Ω$ - овал в папповой проективной плоскости и группа проективностей, оставляющих $Ω$ инвариантной, является 3-транзитивной, т.е. для 2 троек $A 1, A 2, A 3; В 1, В 2, В 3$ точек существует проективность $π$ с $π (я) = B I, I = 1,2,3$ . В конечном случае достаточно 2-транзитивности . ^[8]
Овал $Ω$ в папповой проективной плоскости характеристики $\neq 2$ является коникой тогда и только тогда, когда для любой точки $P$ касательной существует инволютивная перспективность (симметрия) с центром $P,$ которая оставляет $Ω$ инвариантным. ^[9]
Если $Ω$ - овал в конечной дезарговской ^[10] (папповой) проективной плоскости нечетного порядка $PG (2, q)$ , то $Ω$ является коникой ( теорема Сегре , ( Segre 1955 )). Это означает, что после возможной смены координат каждый овал $PG (2, q)$ с нечетным $q$ имеет параметризацию:

{\ displaystyle \ {(t, t ^ {2}, 1) \ mid t \ in GF (q) \} \ cup \ {(0,1,0) \}.}

Для топологических овалов выполняются следующие простые критерии:

5. Любой замкнутый овал комплексной проективной плоскости является коникой. ^[11]

Дальнейшие результаты об овалах в конечных плоскостях [ править ]

Овал в конечной проективной плоскости порядка $q$ - это ( $q + 1, 2$ ) - дуга , другими словами, набор из $q + 1$ точек, без трех коллинеарных точек. Овалов в дезарговой (pappian) проективной плоскости $PG (2, д)$ для $д$ нечетное являются лишь несингулярные коники. Однако овалы в $PG (2, q)$ для $q$ даже еще не классифицированы.

В произвольной конечной проективной плоскости нечетного порядка $q$ не существует множеств с числом точек больше, чем $q + 1$ , три из которых не являются коллинеарными, как впервые указал Боз в статье 1947 года о приложениях такого рода математики к статистической статистике. дизайн экспериментов. Кроме того, по теореме Квиста через любую точку не на овале проходят либо ноль, либо две касательные к этому овалу.

Гиперовал (4 красные точки) в 7-точечной плоскости Фано.

Когда q четно, ситуация совершенно иная.

В этом случае наборы из $q + 2$ точек, никакие три из которых не коллинеарны, могут существовать в конечной проективной плоскости порядка $q,$ и они называются гиперовалами ; это максимальные дуги степени 2.

Для данного овала существует уникальная касательная через каждую точку, и если $q$ - даже теорема Квиста , ( Qvist (1952) ) показывает, что все эти касательные параллельны в точке $P$ вне овала. Добавление этой точки (называемой ядром овала или иногда узлом ) к овалу дает гиперовал. И наоборот, удаление любой точки из гиперовала немедленно дает овал.

Поскольку все овалы в случае четного порядка содержатся в гиперовалах, описание (известных) гиперовалов неявно дает все (известные) овалы. Овалы, полученные удалением точки из гиперовала, проективно эквивалентны тогда и только тогда, когда удаленные точки находятся на одной орбите группы автоморфизмов гиперовала. Есть только три небольших примера (в дезарговых плоскостях), когда группа автоморфизмов гиперовала транзитивна в своих точках (см. ( Korchmáros 1978 )), так что, как правило, существуют разные типы овалов, содержащихся в одном гиперовале.

Дезаргезианское дело: PG (2,2 ^ч ) [ править ]

Это наиболее изученный случай, и поэтому об этих гиперовалах известно больше всего.

Каждая неособая коника на проективной плоскости вместе со своим ядром образует гиперовал. Их можно назвать гиперкониками , но более традиционный термин - обычные гиперовалы . Для каждого из этих наборов существует такая система координат, что набор имеет следующий вид:

\{(t,t^{2},1)\mid t\in GF(q)\}\cup \{(0,1,0)\}\cup \{(1,0,0)\}.

Однако многие другие типы гиперовалей PG (2, q ) могут быть найдены, если q > 8. Гиперовали PG (2, q ) для q даже классифицированы только для q <64.

В PG (2,2 ^h ), h> 0, гиперовал содержит не менее четырех точек, три из которых не лежат на одной прямой. Таким образом, по основной теореме проективной геометрии мы всегда можем считать, что точки с проективными координатами (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) и (1,1,1) содержатся в любом гиперовале. Остальные точки гиперовала (когда h> 1) будут иметь вид (t, f (t), 1), где t пробегает значения конечного поля GF (2 ^h ), а f - функция на этом поле, которая представляет собой перестановку и может быть однозначно выражен как многочлен степени не выше 2 ^h - 2, т. е. является перестановочным многочленом. Обратите внимание, что f (0) = 0 и f (1) = 1 вызваны предположением о включении указанных точек. Другие ограничения на f вызваны условием отсутствия трех точек коллинеарности. Е , которая производит гиперовал таким образом, называется о-многочленом . В следующей таблице перечислены все известные гиперовалы (по состоянию на 2011 г.) PG (2,2 ^h ), указав o-полином и любые ограничения на значение h , которые необходимы для того, чтобы отображаемая функция была o-полиномом. Обратите внимание, что все показатели должны быть взяты по модулю (2 ^ч - 1).

Известные гиперовалы в PG (2,2 ^ч ) [ править ]

Имя	O-полином	Ограничение поля	Справка
Гиперконический	f (t) = t ²	Никто	Классический
Перевод	$f(t)=t^{2^{i}}$ (i, h) = 1	Никто	( Сегре, 1962 г. )
Сегре	f (t) = t ⁶	ч нечетный	( Сегре 1962 ); ( Сегре и Барточчи, 1971 г. )
Глинн I	f (t) = t ^{3σ + 4} (см. ниже)	ч нечетный	( Глинн 1983 )
Глинн II	f (t) = t ^{σ + γ} (см. ниже)	ч нечетный	( Глинн 1983 )
Пэйн	f (t) = t ^1/6 + t ^1/2 + t ^5/6	ч нечетный	( Пейн 1985 )
Cherowitzo	f (t) = t ^σ + t ^{σ + 2} + t ^{3σ + 4}	ч нечетный	( Cherowitzo 1986 ) ; ( Cherowitzo 1998 )
Субиако	см. а) ниже	Никто	( Cherowitzo et al. 1996 )
Аделаида	см. б) ниже	ч даже	( Черовицо, О'Киф и Пенттила, 2003 )
Пенттила-О'Киф	см. c) ниже	в = 5	( О'Киф и Пенттила, 1992 )
где . $\gamma ^{4}\equiv \sigma ^{2}\equiv 2({\bmod {(}}2^{h}-1))$

^a) o-полином Субиако задается выражением: всякий раз , где tr - функция абсолютного следа GF (2 ^h ). Этот o-полином порождает единственный гиперовал, если и два неэквивалентных гиперовала, если . $f(t)={{d^{2}t^{4}+d^{2}(1+d+d^{2})t^{3}+d^{2}(1+d+d^{2})t^{2}+d^{2}t} \over {t^{4}+d^{2}t^{2}+1}}+t^{1/2},$ $tr(1/d)=1{\hbox{ and }}d\not \in GF(4){\hbox{ if }}h\equiv 2({\bmod {4}})$ $h\not \equiv 2({\bmod {4}})$ $h\equiv 2({\bmod {4}}),h>2$

^б) Чтобы описать гиперовалы Аделаиды, мы начнем с немного более общей постановки. Пусть F = GF (q) и K = GF (q ² ) . Пусть - элемент нормы 1, отличный от 1, т.е. b ^{q + 1} = 1 ,. Рассмотрим полином, для , $b\in K$ $b\neq 1$ $t\in F$

f (t) = ( tr (b)) ⁻¹tr (b ^m ) (t + 1) + ( tr (b)) ⁻¹tr ((bt + b ^q ) ^m ) (t + tr (b) t ^½ + 1) ^{1 − m} + t ^½ ,

где tr (x) = tr _{K / F} (x) = x + x ^q . Когда q = 2 ^h , с четным h и m = ± (q - 1) / 3, указанная выше f (t) является o-полиномом для гиперовала Аделаиды.

^c) О-полином Пенттила-О'Киф определяется по формуле:

f (t) = t ⁴ + t ¹⁶ + t ²⁸ + η ¹¹ (t ⁶ + t ¹⁰ + t ¹⁴ + t ¹⁸ + t ²² + t ²⁶ ) + η ²⁰ (t ⁸ + t ²⁰ ) + η ⁶ (t ¹² + т ²⁴ ),

где η - первообразный корень GF (32), для которого η ⁵ = η ² + 1.

Гиперовали в PG (2, q), q четное, q ≤ 64 [ править ]

Поскольку все гиперовали в дезарговых плоскостях порядков 2, 4 и 8 являются гиперкониками, мы будем исследовать только плоскости порядков 16, 32 и 64.

PG (2,16) [ править ]

В ( Lunelli & Sce 1958 ) приведены подробности компьютерного поиска полных дуг в плоскостях малого порядка, выполненного по предложению Б. Сегре. В PG (2,16) они обнаружили ряд гиперовалов, которые не были гиперкониками. В 1975 г. М. Холл-младший ( Холл, 1975 ) показал, также со значительной помощью компьютера, что существует только два класса проективно неэквивалентных гиперовалей в этой плоскости: гиперконики и гиперовали, найденные Лунелли и Сцэ. Из 2040 o-полиномов, которые дают гиперовал Лунелли-Сче , мы отображаем только один:

f (x) = x ¹² + x ¹⁰ + η ¹¹ x ⁸ + x ⁶ + η ² x ⁴ + η ⁹ x ² ,

где η - примитивный элемент GF (16), такой, что η ⁴ = η + 1.

В своей статье 1975 года Холл описал ряд коллинеаций плоскости, которые стабилизировали гипервал Лунелли-Шче, но не показали, что они порождают полную группу автоморфизмов этого гиперовала. ( Payne & Conklin 1978 ), используя свойства родственного обобщенного четырехугольника , показали, что группа автоморфизмов не может быть больше группы, данной Холлом. ( Korchmáros 1978 ) независимо друг от друга дал конструктивное доказательство этого результата, а также показал, что в дезарговых плоскостях гипервал Лунелли-Сче является единственным нерегулярным гипервалом (негиперконическим), допускающим группу транзитивных автоморфизмов (и что единственные гиперконики, допускающие такую группу - порядки 2 и 4).

( O'Keefe & Penttila 1991 ) опровергли результат классификации Холла без использования компьютера. Их аргумент состоит в нахождении верхней границы числа o-полиномов, определенных над GF (16), а затем в исследовании возможных групп автоморфизмов гиперовалов в этой плоскости, показывающем, что если на этой плоскости существовал гипервал, отличный от известных, тогда будет превышена верхняя граница. ( Браун и Черовицо, 1991 ) обеспечивает теоретико-групповую конструкцию гиперовала Лунелли-Сче как объединение орбит группы, порожденной элициями PGU (3,4), рассматриваемой как подгруппа PGL (3,16). В эту статью также включено обсуждение некоторых замечательных свойств, касающихся пересечений гиперовалов Лунелли-Сче и гиперконик. В ( Cherowitzo et al. 1996 ) показано, что гиперовал Lunelli-Sce является первым нетривиальным членом семейства Subiaco (см. Также ( Brown & Cherowitzo 1991 ) ). В ( Cherowitzo, O'Keefe & Penttila 2003 ) показано, что это первый нетривиальный член семьи Аделаиды.

PG (2,32) [ править ]

Поскольку h = 5 нечетно, ряд известных семейств имеет здесь представителя, но из-за небольшого размера плоскости есть некоторые ложные эквивалентности, на самом деле каждый из гиперовалов типа Глинна проективно эквивалентен трансляционному гиперовалу, а гипервал Пейна проективно эквивалентен гипервалу Субиако (этого не происходит в больших плоскостях). В частности, существует три класса гиперовалов (мономиального типа): гиперконики (f (t) = t ² ), гиперовали собственно трансляции (f (t) = t ⁴ ) и гиперовали Сегре (f (t) = t ⁶ ). . ^[12] Существуют также классы, соответствующие гиперовалам Пейна и гиперовалам Черовицо (подробнее см. ( Cherowitzo 1988 ).O'Keefe, Penttila & Praeger 1991 ) были определены группы коллинеации, стабилизирующие каждый из этих гиперовалов. Обратите внимание, что при первоначальном определении группы коллинеации для гиперовалов Пейна случай q = 32 нужно было рассматривать отдельно и в значительной степени полагаться на компьютерные результаты. В ( O'Keefe, Penttila & Praeger 1991 ) дается альтернативная версия доказательства, не зависящая от компьютерных вычислений.

В 1991 году О'Киф и Пенттила открыли новый гипервал в этой плоскости посредством детального исследования свойств делимости порядков групп автоморфизмов гипотетических гиперовалов ( O'Keefe & Penttila 1992 ). Один из его o-полиномов определяется выражением:

f (x) = x ⁴ + x ¹⁶ + x ²⁸ + η ¹¹ (x ⁶ + x ¹⁰ + x ¹⁴ + x ¹⁸ + x ²² + x ²⁶ ) + η ²⁰ (x ⁸ + x ²⁰ ) + η ⁶ (x ¹² + х ²⁴ ),

где η - примитивный корень GF (32), такой, что η ⁵ = η ² + 1. Полная группа автоморфизмов этого гиперовала имеет порядок 3.

( Penttila & Royle 1994 ) грамотно структурировал исчерпывающий компьютерный поиск всех гиперовалов в этой плоскости. Результатом стало то, что приведенный выше список является полным, в PG всего шесть классов гиперовалов (2,32).

PG (2,64) [ править ]

Распространяя идеи из ( O'Keefe & Penttila 1992 ) на PG (2,64), ( Penttila & Pinneri 1994 ) смогли найти гиперовалы, группа автоморфизмов которых допускала коллинеацию порядка 5. Они нашли два и показали, что нет на этой плоскости существует другой гипервал, обладающий таким автоморфизмом. Это утвердительно разрешило давно открытый вопрос Б. Сегре, который хотел знать, есть ли в этой плоскости какие-либо гиперовалы, кроме гиперкоников. Гиперовали:

f (x) = x ⁸ + x ¹² + x ²⁰ + x ²² + x ⁴² + x ⁵² + η ²¹ (x ⁴ + x ¹⁰ + x ¹⁴ + x ¹⁶ + x ³⁰ + x ³⁸ + x ⁴⁴ + x ⁴⁸ + х ⁵⁴ + х ⁵⁶ + х ⁵⁸ + х ⁶⁰ + х ⁶² ) + η ⁴² (х ² + х ⁶ + х ²⁶ + х ²⁸ + х ³² + х ³⁶ + х⁴⁰ ),

который имеет группу автоморфизмов порядка 15, и

f (x) = x ²⁴ + x ³⁰ + x ⁶² + η ²¹ (x ⁴ + x ⁸ + x ¹⁰ + x ¹⁴ + x ¹⁶ + x ³⁴ + x ³⁸ + x ⁴⁰ + x ⁴⁴ + x ⁴⁶ + x ⁵² + х ⁵⁴ + х ⁵⁸ + х ⁶⁰ ) + η ⁴² (х ⁶ + х ¹² + х ¹⁸ + х ²⁰ + х ²⁶ + х ³² + х ³⁶ + х ⁴² + х⁴⁸ + х ⁵⁰ ),

который имеет группу автоморфизмов порядка 60, где η - примитивный элемент GF (64), удовлетворяющий условию η ⁶ = η + 1. В ( Cherowitzo et al. 1996 ) показано, что это гиперовали Субиако. Усовершенствовав программу компьютерного поиска ( Penttila & Royle, 1994 ), расширили поиск до гиперовалов, допускающих автоморфизм порядка 3, и нашли гиперовал:

f (x) = x ⁴ + x ⁸ + x ¹⁴ + x ³⁴ + x ⁴² + x ⁴⁸ + x ⁶² + η ²¹ (x ⁶ + x ¹⁶ + x ²⁶ + x ²⁸ + x ³⁰ + x ³² + x ⁴⁰ + х ⁵⁸ ) + η ⁴² (х ¹⁰ + х ¹⁸ + х ²⁴ + х ³⁶ + х ⁴⁴ + х ⁵⁰ + х ⁵² + х ⁶⁰ ),

который имеет группу автоморфизмов порядка 12 (η - примитивный элемент группы GF (64), как указано выше). Этот гиперовал является первым отличным гипервалом Аделаиды.

Пенттила и Ройл ( Penttila & Royle, 1995 ) показали, что любой другой гипервал на этой плоскости должен иметь тривиальную группу автоморфизмов. Это означало бы, что будет много проективно эквивалентных копий такого гипервала, но общие поиски на сегодняшний день не нашли ни одной, что подтверждает гипотезу о том, что других на этой плоскости нет.

Абстрактные овалы [ править ]

Следуя ( Bue1966 ), абстрактный овал , также называемый B-овалом , порядка - это пара, где - набор элементов, называемых точками, и набор инволюций, действующих строго квазидвухтранзитивным образом, т. Е. , для любых двух с для существует ровно один с и . Любой овал, вложенный в проективную плоскость порядка, может быть наделен структурой абстрактного овала того же порядка. Обратное, как правило, неверно для ; действительно, поскольку есть два абстрактных овала, которые нельзя вложить в проективную плоскость, см. ( Fa1984 $n$ $(F,{\mathfrak {G}})$ $F$ $n+1$ ${\mathfrak {G}}$ $F$ $(a_{1},a_{2}),(b_{1},b_{2})\in F$ $a_{i}\neq b_{j}$ $i,j\in \{1,2\}$ $\sigma \in {\mathfrak {G}}$ $\sigma (a_{1})=a_{2}$ $\sigma (b_{1})=b_{2}$ $q$ $n\geq 8$ $n=8$ ).

Когда является четным, аналогичная конструкция дает абстрактные гиперовалы , см. ( Po1997 ): абстрактный гиперовал порядка - это пара, где - набор элементов и набор инволюций без неподвижных точек, действующих на таких, что для любого набора из четырех различных элементов есть ровно один с . $n$ $n$ $(F,{\mathfrak {G}})$ $F$ $n+2$ ${\mathfrak {G}}$ $F$ $a,b,c,d\in F$ $\sigma \in {\mathfrak {G}}$ $\sigma (a)=b,\sigma (c)=d$

См. Также [ править ]

Яйцевид (проективная геометрия)

Заметки [ править ]

^ В английской литературе этот термин обычно переводится на французский язык, а не переводится как проходная строка.
Перейти ↑ Dembowski 1968 , p. 147
^ Beutelspacher & Розенбаум 1998 , стр. 144
^ Б. Сегре : Sui k-Archi nei Piani Finiti di Caracteristica Due , Re. Математика. Pures Appl. 2 (1957), с. 289–300.
Перейти ↑ Dembowski 1968 , p. 51
^ Э. Хартманн: геометрия плоского круга, введение в плоскости Мебиуса, Лагерра и Минковского. Скрипт, TH Дармштадт (PDF; 891 kB), стр. 45.
^ F. Buekenhout: Планы Projectifs à Ovoides Pascaliens , Arch. d. Математика. Vol. XVII, 1966, с. 89-93.
^ J. Титс : Ovoides à Translations , Rend. Мат. 21 (1962), стр. 37–59.
^ H. Mäurer: Ovoide mit Symmetrien an den Punkten einer Hyperebene , Abh. Математика. Сем. Hamburg 45 (1976), стр. 237–244.
^ Каждая папповская плоскость дезаргова, и в конечном случае верно и обратное. Итак, для конечных плоскостей допустим любой дескриптор, но в литературе для конечных плоскостей преобладает термин «дезарговский».
^ Th. Buchanan: Ovale und Kegelschnitte in der komplexen projektiven Ebene , Math.-Phys. Smesterberichte 26 (1979, стр. 244-260).
^ В плоскостях меньшего порядка эти гиперовали не отличаются от гиперконик. Доказательство их существования, данное в Segre & Bartocci (1971), использует линеаризованные многочлены .

Ссылки [ править ]

Бойтельшпахер, Альбрехт ; Розенбаум, Юте (1998), Проективная геометрия / от основ к приложениям , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-48364-3
Buekenhout, F. (1966), "Études intrinsèque des ovales.", Rend. Мат. E Прил. , 25 (5): 333–393, MR 0218956
Браун, Юлия М.Н.; Cherowitzo, Уильям Э. (2000), "Гиперовал Лунелли-Сче в PG (2,16)", J. Geom. , 69 (1-2): 15-36, DOI : 10.1007 / BF01237471 , МР 1800454
Cherowitzo, Уильям (1988), "Гиперовалы в десарговых плоскостях четного порядка", Ann. Дискретная математика. , Анналы дискретной математики, 37 : 87-94, DOI : 10.1016 / s0167-5060 (08) 70228-0 , ISBN 9780444703699, Руководство по ремонту 0931308
Cherowitzo, W. (1996), "Гиперовалы в дезарговых плоскостях: обновление", Discrete Math. , 155 (1–3): 31–38, DOI : 10.1016 / 0012-365X (94) 00367-R , MR 1401356
Cherowitzo, W. (1998), "α-флоки и гиперовали", Geom. Dedicata , 72 (3): 221-246, DOI : 10,1023 / A: 1005022808718 , МР 1647703
Cherowitzo, William E .; О'Киф, Кристин М .; Пенттила, Тим (2003), "Единая конструкция конечных геометрий, связанных с q -кланами в характеристике 2", Adv. Геом. , 3 (1): 1-21, DOI : 10,1515 / advg.2003.002 , МР 1956585
Cherowitzo, W .; Penttila, T .; Pinneri, I .; Ройл, GF (1996), "Стаи и овалы", Geom. Dedicata , 60 (1): 17-37, DOI : 10.1007 / BF00150865 , МР 1376478
Дембовски, Питер (1968), Конечные геометрии , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275
Файна, Г. (1984), "B-овалы порядка q ≤8", J. Combin. Теория Сер. , 36 (3): 307-314, DOI : 10,1016 / 0097-3165 (84) 90038-4 , МР 0744079
Глинн, Дэвид Г. (1983), «Две новые последовательности овалов в конечных дезарговых плоскостях четного порядка», (Комбинаторная математика, X) Лекции по математике. , 1036 , Берлин:. Springer, С. 217-229, DOI : 10.1007 / BFb0071521 , MR 0731584
Холл, Маршалл младший (1975), "Овалы в дезарговской плоскости порядка 16 ", Ann. Мат. Pura Appl. (4) , 102 : 159-176, DOI : 10.1007 / bf02410604 , МР 0358552
Хиршфельд, JWP (1998), Проективные геометрии над конечными полями (2-е изд.), Нью-Йорк: The Clarendon Press Oxford University Press, стр. Xiv + 555, ISBN 0-19-850295-8, Руководство по ремонту 1612570 CS1 maint: discouraged parameter (link)
Корчмарош, Г. (1978), "Группы коллинеаций, транзитивные в точках овала [ q + 2- дуга] дуги S2 _{, q} для четных q ", Atti Sem. Мат. Fis. Univ. Modena (на итальянском и английском языках), 27 (1): 89–105 (1979), MR 0551092
Корчмарош, Г. (1991), "Старые и новые результаты об овалах в конечных проективных плоскостях", (Обзоры по комбинаторике, 1991) London Math. Soc. Лекция Сер. , 166 , Кембридж: Cambridge Univ. Press, стр. 41–72, MR 1161460
Lunelli, L .; Сцена, М. (1958),k -archi completeti nei piani proiettivi desarguesiani di rango 8 e 16(на итальянском языке), Милан: Centro di Calcoli Numerici, Politecnico di Milano, p. 15, Руководство по ремонту 0157276
О'Киф, Кристин М .; Пенттила, Тим (1992), «Новый гипервал в PG (2,32)», J. Geom. , 44 (1-2): 117-139, DOI : 10.1007 / BF01228288 , МР 1169414
О'Киф, Кристин М .; Пенттила, Тим (1991), «Гиперовалы в PG (2,16)», Европейский журнал комбинаторики , 12 (1): 51–59, DOI : 10.1016 / s0195-6698 (13) 80007-8 , MR 1087648
О'Киф, Кристин М .; Пенттила, Тим; Praeger, Cheryl E. (1991), "Стабилизаторы гиперовалей в PG (2,32)", достижения в области конечных геометрий и конструкций, Chelwood Gate, 1990 , Нью-Йорк: Oxford Univ. Press, стр. 337–351, MR 1138755
Пейн, Стэнли Э. (1985), «Новое бесконечное семейство обобщенных четырехугольников», Congressus Numerantium , 49 : 115–128, MR 0830735
Пейн, Стэнли Э .; Конклин, Джеймс Е. (1978), "Необычный обобщенный четырехугольник порядка шестнадцати", Журнал комбинаторной теории, Серия А , 24 (1): 50-74, DOI : 10.1016 / 0097-3165 (78) 90044-4 , MR 0462984
Пенттила, Тим; Пиннери, Ивано (1994), "Неправильные гиперовалы в PG (2,64)", J. Geom. , 51 (1-2): 89-100, DOI : 10.1007 / BF01226860 , МР 1298348
Пенттила, Тим; Ройл, Гордон Ф. (1994), "Классификация гиперовалов в PG (2,32)", J. Geom. , 50 (1-2): 151-158, DOI : 10.1007 / BF01222672 , МР 1280636
Пенттила, Тим; Ройл, Гордон Ф. (1995), "О гиперовалах в малых проективных плоскостях", J. Geom. , 54 (1-2): 91-104, DOI : 10.1007 / BF01222857 , МР 1358279
Польстер Б. (1997), "Абстрактные гиперовали и планы Адамара", Australas. J. Combin. , 16 : 29–33, MR 1477516
Qvist, B. (1952), "Некоторые замечания относительно кривых второй степени на конечной плоскости", Ann. Акад. Sci. Fennicae. Сер. AI Math.-Phys. , 1952 (134): 27, MR 0054977
Сегре, Beniamino (1955), "овалы в конечной проективной плоскости", Canadian Journal математики , 7 : 414-416, DOI : 10,4153 / CJM-1955-045-х , ISSN 0008-414X , МР 0071034
Сегре, Бениамино (1962), «Овальная кривая, не имеющая аналогов в Галуа, характерные особенности», Atti Accad. Наз. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Мат. Nat. (8) (на итальянском языке), 32 : 785–790, MR 0149361
Segre, B .; Барточчи, У. (1971), "Ovali ред Altre кривой Nei Piani - ди - ди - caratteristica Галуа из - за", Acta Арифметика (на итальянском), 18 : 423-449, DOI : 10,4064 / аа-18-1-423-449 , MR 0295201

Внешние ссылки [ править ]

Гиперовальная страница Билла Черовицо

[1] В английской литературе этот термин обычно переводится на французский язык, а не переводится как проходная строка.

[2] Перейти ↑ Dembowski 1968 , p. 147

[3] Beutelspacher & Розенбаум 1998 , стр. 144

[4] Б. Сегре : Sui k-Archi nei Piani Finiti di Caracteristica Due , Re. Математика. Pures Appl. 2 (1957), с. 289–300.

[5] Перейти ↑ Dembowski 1968 , p. 51

[6] Э. Хартманн: геометрия плоского круга, введение в плоскости Мебиуса, Лагерра и Минковского. Скрипт, TH Дармштадт (PDF; 891 kB), стр. 45.

[7] F. Buekenhout: Планы Projectifs à Ovoides Pascaliens , Arch. d. Математика. Vol. XVII, 1966, с. 89-93.

[8] J. Титс : Ovoides à Translations , Rend. Мат. 21 (1962), стр. 37–59.

[9] H. Mäurer: Ovoide mit Symmetrien an den Punkten einer Hyperebene , Abh. Математика. Сем. Hamburg 45 (1976), стр. 237–244.

[10] Каждая папповская плоскость дезаргова, и в конечном случае верно и обратное. Итак, для конечных плоскостей допустим любой дескриптор, но в литературе для конечных плоскостей преобладает термин «дезарговский».

[11] Th. Buchanan: Ovale und Kegelschnitte in der komplexen projektiven Ebene , Math.-Phys. Smesterberichte 26 (1979, стр. 244-260).

[12] В плоскостях меньшего порядка эти гиперовали не отличаются от гиперконик. Доказательство их существования, данное в Segre & Bartocci (1971), использует линеаризованные многочлены .

[1]