Яйцевид (проективная геометрия)

К определению овоида: t касательная, секущая линия

В проективной геометрии яйцевидный представляет собой сфера , как поверхность ( множества точек) в проективном пространстве размерности D ≥ 3 . Простыми примерами в реальном проективном пространстве являются гиперсферы ( квадрики ). Основные геометрические свойства овоида :${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$

1. Любая линия пересекается не более чем в 2 точках,${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$
2. Касательные в точке покрывают гиперплоскость (и не более того), и
3. ${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$ не содержит строк.

Свойство 2) исключает вырожденные случаи (конусы, ...). Свойство 3) исключает линейчатые поверхности (гиперболоиды одного листа, ...).

Яйцо - это пространственный аналог овала на проективной плоскости.

Яйцевид - это особый тип квадратичного множества .

Овоиды играют важную роль в построении примеров плоскостей Мёбиуса и многомерных геометрий Мёбиуса.

Определение овоида [ править ]

• В проективном пространстве размерности d ≥ 3 множество точек называется овоидом , если${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$

(1) Любая прямая g встречается не более чем в 2 точках.${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$

В случае , линия называется проходной (или внешней ) линией , если линия является касательной и если линия является секущей линией .${\ displaystyle | g \ cap {\ mathcal {O}} | = 0}$${\ displaystyle | g \ cap {\ mathcal {O}} | = 1}$${\ displaystyle | g \ cap {\ mathcal {O}} | = 2}$

(2) В любой точке касательные прямые, проходящие через P, покрывают гиперплоскость, касательную гиперплоскость (т. Е. Проективное подпространство размерности d - 1 ).${\ displaystyle P \ in {\ mathcal {O}}}$

(3) не содержит строк.${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$

С точки зрения сечений гиперплоскостей яйцевид представляет собой довольно однородный объект, поскольку

• Для овоида и гиперплоскости , которые содержат не менее двух точек , подмножеством является овоид (или овал, если d = 3 ) внутри гиперплоскости .${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ Displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ Displaystyle \ varepsilon \ cap {\ mathcal {O}}}$${\ Displaystyle \ varepsilon}$

Для конечных проективных пространств размерности d ≥ 3 (т. Е. Множество точек конечно, пространство паппиево ^[1] ) верен следующий результат:

• Если - овоид в конечном проективном пространстве размерности d ≥ 3 , то d = 3 .${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$

(В конечном случае овоиды существуют только в трехмерных пространствах.) ^[2]

• В конечном проективном пространстве порядка п > 2 (т.е. любой строка содержит ровно п + 1 точки) и размерность d = 3 любых множество точек является яйцевидной тогда и только тогда , и никаких тремя точек не коллинеарны (на одной линии). ^[3]${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ Displaystyle | {\ mathcal {O}} | = п ^ {2} +1}$

Замена слова проективный в определении овоида аффинным дает определение аффинного овоида .

Если для (проективных) яйцевидной есть подходящая гиперплоскость , не пересекая ее, можно назвать эту гиперплоскость в гиперплоскость на бесконечности и яйцевидной становится аффинным яйцевидной в аффинном пространстве , соответствующем . Кроме того, любой аффинный овоид можно рассматривать как проективный овоид в проективном замыкании (добавлении гиперплоскости на бесконечности) аффинного пространства.${\ Displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ infty}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ infty}}$

Примеры [ править ]

В реальном проективном пространстве (неоднородное представление) [ править ]

1. ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} = \ {(x_ {1}, ..., x_ {d}) \ in {\ mathbb {R}} ^ {d} \; | \; x_ {1} ^ {2} + \ cdots + x_ {d} ^ {2} = 1 \} \,}$ (гиперсфера)
2. ${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{(x_{1},...,x_{d})\in {\mathbb {R} }^{d}\;|x_{d}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{d-1}^{2}\;\}\;\cup \;\{{\text{point at infinity of }}x_{d}{\text{-axis}}\}}$

Эти два примера являются квадриками и проективно эквивалентны.

Простые примеры, не являющиеся квадриками, можно получить с помощью следующих построений:

(а) Клей одну половину гиперсфере до подходящего hyperellipsoid в гладком образом.

(b) В первых двух примерах замените выражение x ₁ ² на x ₁ ⁴ .

Замечание: Реальные примеры не могут быть преобразованы в комплексный случай (проективное пространство над ). В комплексном проективном пространстве размерности d ≥ 3 нет овоидальных квадрик, потому что в этом случае любая невырожденная квадрика содержит прямые.${\displaystyle {\mathbb {C} }}$

Но следующий метод гарантирует множество неквадратичных овоидов:

• Для любого не конечного проективного пространства существование овоидов можно доказать с помощью трансфинитной индукции . ^{[4] [5]}

Конечные примеры [ править ]

• Любой яйцевидной в конечном проективном пространстве размерности D = 3 над полем K с характеристикой ≠ 2 является квадрика . ^[6]${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Последний результат не может быть распространен на четную характеристику из-за следующих неквадрических примеров:

• Для нечетного и автоморфизма${\displaystyle K=GF(2^{m}),\;m}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle x\mapsto x^{(2^{\frac {m+1}{2}})}\;,}$

набор точек

${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{(x,y,z)\in K^{3}\;|\;z=xy+x^{2}x^{\sigma }+y^{\sigma }\}\;\cup \;\{{\text{point of infinity of the }}z{\text{-axis}}\}}$является овоидом в трехмерном проективном пространстве над K (представлен в неоднородных координатах).

Только при m = 1 яйцеклетка является квадрикой. ^[7]${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}}$называется Сиськи-Сузуки-яйцевидные .

Критерии того, чтобы яйцо было квадриком [ править ]

Овоидальная квадрика обладает множеством симметрий. Особенно:

• Пусть - овоид в проективном пространстве размерности d ≥ 3 и гиперплоскость. Если овоид симметричен любой точке (т. Е. Существует инволютивная перспектива с центром, который оставляет инвариантным), то он является паппианом и квадрикой. ^[8]${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle P\in \varepsilon \setminus {\mathcal {O}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$
• Яйцо в проективном пространстве является квадрикой, если группа проективностей, которые оставляют инвариантными, действует 3-транзитивно , т.е. для двух троек существует проективность с . ^[9]${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\;B_{1},B_{2},B_{3}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi (A_{i})=B_{i},\;i=1,2,3}$

В конечном случае из теоремы Сегре получаем :

• Пусть будет яйцевидной в конечном 3-мерном дезарговом проективном пространстве из нечетного порядка, то это pappian и является квадрикой.${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Обобщение: полуяйцевидное [ править ]

Удаление условия (1) из определения овоида приводит к определению полуовоида :

Точечное множество проективного пространства называется полуовоидом, если${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

выполняются следующие условия:

(SO1) Для любой точки касательные, проходящие через точку, точно покрывают гиперплоскость.${\displaystyle P\in {\mathcal {O}}}$${\displaystyle P}$

(SO2) не содержит строк.${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Полуовоид - это специальное полуквадратичное множество ^[10], которое является обобщением квадратичного множества . Существенное различие между полуквадратичным множеством и квадратичным множеством состоит в том, что могут быть прямые, которые имеют 3 общих точки с множеством, а линии не содержатся в множестве.

Примерами полуовоидов являются множества изотропных точек эрмитовой формы . Их называют эрмитовыми квадриками .

Что касается овоидов, то в литературе есть критерии, которые делают полуояйцевидную квадрику эрмитовой. См. Например. ^[11]

Полуовоиды используются при построении примеров геометрии Мебиуса.

См. Также [ править ]

• Яйцевидный (полярное пространство)
• Самолет Мебиуса

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Дембовски, Питер (1968), Конечные геометрии , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR  0233275

Дальнейшее чтение [ править ]

• Барлотти, А. (1955), "Un'estensione del teorema di Segre-Kustaanheimo", Boll. ООН. Мат. Ital. , 10 : 96–98
• Хиршфельд, JWP (1985), Конечные проективные пространства трех измерений , Нью-Йорк: Oxford University Press, ISBN 0-19-853536-8
• Панелла, Г. (1955), "Caratterizzazione delle quadriche di uno spazio (tridimensionale) lineare sopra un corpo finito", Boll. ООН. Мат. Ital. , 10 : 507–513

Внешние ссылки [ править ]

• Э. Хартманн: геометрия плоского круга, введение в плоскости Мебиуса, Лагерра и Минковского. Скрипт, TH Дармштадт (PDF; 891 kB), S. 121-123.