Теорема Сегре
В проективной геометрии теорема Сегре , названная в честь итальянского математика Бениамино Сегре , представляет собой утверждение:
Это утверждение было сделано в 1949 г. двумя финскими математиками Г. Ярнефельтом и П. Кустаанхеймо, а его доказательство было опубликовано в 1955 г. Б. Сегре.
Конечную паппову проективную плоскость можно представить как проективное замыкание вещественной плоскости (бесконечно удаленной линией), где действительные числа заменены конечным полем K . Нечетный порядок означает, что | К | = n нечетно. Овал — это кривая, похожая на окружность (см. определение ниже): любая прямая пересекает ее не более чем в 2 точках, и через любую ее точку проходит ровно одна касательная. Стандартными примерами являются невырожденные проективные конические сечения.
В папповских проективных плоскостях четного порядка больше четырех есть овалы, не являющиеся кониками. На бесконечной плоскости существуют овалы, не являющиеся кониками. В реальной плоскости просто плавно склеивается половина круга и подходящий эллипс .
Доказательство теоремы Сегре, показанное ниже, использует трехточечную версию теоремы Паскаля и свойство конечного поля нечетного порядка, а именно то, что произведение всех ненулевых элементов равно -1.
Если линия является внешней (или проходящей ) линией; в случае касательной линии и если линия является секущей линией .
