Квадратичный набор

В математике квадратичное множество - это набор точек в проективном пространстве, который имеет те же существенные свойства инцидентности, что и квадрика ( коническое сечение в проективной плоскости, сфера или конус, или гиперболоид в проективном пространстве).

Определение квадратичного множества [ править ]

Позвольте быть проективное пространство. Квадратичное множество является непустым подмножеством из , для которых выполняется следующие два условия: ${\ Displaystyle {\ mathfrak {P}} = ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal {G}}, \ in)}$${\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

(QS1) Каждая строка из пересекается не более чем в двух точках , либо содержится в .${\displaystyle g}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

( называется внешним по отношению к if , касательным к if или или и секущим к if .)${\displaystyle g}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=0}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=1}$${\displaystyle g\cap {\mathcal {Q}}=g}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=2}$

(QS2) Для любой точки объединение всех касательных прямых, проходящих через нее, является гиперплоскостью или всем пространством .${\displaystyle P\in {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{P}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Квадратичное множество называется невырожденным, если для каждой точки множество является гиперплоскостью.${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle P\in {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{P}}$

Pappian проективного пространства является проективным пространством , в котором Теорема Папп имеет.

Следующий результат Фрэнсиса Бюкенхаута является удивительным утверждением для конечных проективных пространств.

Теорема: Пусть - конечное проективное пространство размерности и невырожденное квадратичное множество, содержащее прямые. Тогда: Паппова и является квадрикой с индексом .${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{n}}$${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle \geq 2}$

Определение овала и яйцевида [ править ]

Овалы и овоиды - специальные квадратичные множества:
Позвольте быть проективным пространством размерности . Невырожденное квадратичное множество , которое не содержит строки, называется яйцевидным (или овальная форма в плоском случае).${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$${\displaystyle \geq 2}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Следующее эквивалентное определение овала / овоида является более распространенным:

Определение: (овал) Непустое множество точек проективной плоскости называется овальным, если выполняются следующие свойства:${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$

(o1) Любая линия пересекается не более чем в двух точках.${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$

( o2) Для любой точки в существует одна и только одна линия такая, что .${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g\cap {\mathfrak {o}}=\{P\}}$

Линия представляет собой внешний вид или касательной или секущей линии овал , если или или соответственно.${\displaystyle g}$${\displaystyle |g\cap {\mathfrak {o}}|=0}$${\displaystyle |g\cap {\mathfrak {o}}|=1}$${\displaystyle |g\cap {\mathfrak {o}}|=2}$

Для конечных плоскостей следующая теорема дает более простое определение.

Теорема: (овал в конечной плоскости) Позвольте быть проективной плоскостью порядка . Набор точек является овалом, если и если никакие три точки не лежат на одной прямой.${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$${\displaystyle |{\mathfrak {o}}|=n+1}$${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$

Согласно этой теореме Бениамино Сегре , для папповых проективных плоскостей нечетного порядка овалы - это просто коники:

Теорема: Пусть - паппова проективная плоскость нечетного порядка. Любой овал в является овальной коникой (невырожденной квадрикой ).${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$

Определение: (яйцевидное) Непустое точечное множество проективного пространства называется яйцевидным, если выполняются следующие свойства:${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

(O1) Любая линия пересекается не более чем в двух точках.${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

( называется внешней, касательной и секущей, если и соответственно.)${\displaystyle g}$${\displaystyle |g\cap {\mathcal {O}}|=0,\ |g\cap {\mathcal {O}}|=1}$${\displaystyle |g\cap {\mathcal {O}}|=2}$

(O2) Для любой точки объединение всех касательных прямых, проходящих через нее, является гиперплоскостью (касательной плоскостью в ).${\displaystyle P\in {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{P}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

Пример:

а) Любая сфера (квадрика индекса 1) - овоид.

б) В случае реальных проективных пространств можно построить овоиды, комбинируя половинки подходящих эллипсоидов, так что они не являются квадриками.

Для конечных проективных пространств размерности над полем имеем: Теорема:${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K}$

а) В случае овоида in существует только в том случае, если или .${\displaystyle |K|<\infty }$${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{n}(K)}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle n=3}$

б) В случае овоида - квадрика.${\displaystyle |K|<\infty ,\ \operatorname {char} K\neq 2}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{n}(K)}$

Контрпримеры (овоид Титса – Судзуки) показывают, что ig утверждение b) приведенной выше теоремы неверно для :${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$

Ссылки [ править ]

• Альбрехт Бойтельшпахер и Уте Розенбаум (1998) Проективная геометрия: от основ до приложений , Глава 4: Квадратичные множества, страницы 137-179, Cambridge University Press ISBN  978-0521482776
• Ф. Бюкенхаут (редактор) (1995) Справочник по геометрии падения , Elsevier ISBN 0-444-88355-X 
• П. Дембовски (1968) Конечные геометрии , Springer-Verlag ISBN 3-540-61786-8 , стр. 48 

Внешние ссылки [ править ]

• Конспект лекции Эрика Хартмана Геометрия плоского круга, введение в плоскости Мебиуса, Лагерра и Минковского , Технический университет Дармштадта