Тензорное сжатие

В полилинейной алгебре , тензор сжатие является операция на тензоре , который возникает из - за естественное спаривания конечномерного мерного векторного пространства и его двойного . В компонентах он выражается как сумма произведений скалярных компонентов тензора (ов), полученного в результате применения соглашения о суммировании к паре фиктивных индексов, которые связаны друг с другом в выражении. Сжатие одного смешанного тензора происходит, когда пара буквальных индексов (один - нижний индекс, другой - верхний) тензора приравнивается друг к другу и суммируется. В обозначениях Эйнштейнаэто суммирование встроено в обозначения. В результате получился еще один тензор с уменьшенным на 2 порядком.

Тензорное сжатие можно рассматривать как обобщение следа .

Абстрактная формулировка [ править ]

Пусть V - векторное пространство над полем k . Суть операции сжатия и простейший случай - это естественное спаривание V с его двойственным векторным пространством V ^∗ . Сопряжение этого линейное преобразование из тензорного произведения этих двух пространств в поле к :

{\ displaystyle C: V ^ {*} \ иногда V \ rightarrow k}

соответствующая билинейной форме

{\ Displaystyle \ langle f, v \ rangle = f (v)}

где F в V ^* и V в V . Карта C определяет операцию сжатия на тензоре типа (1, 1) , который является элементом . Обратите внимание, что результатом является скаляр (элемент k ). Используя естественный изоморфизм между и пространство линейных преобразований из V в V , ^[1] можно получить безбазисное определение следа . ${\ displaystyle V ^ {*} \ otimes V}$ ${\ displaystyle V ^ {*} \ otimes V}$

В общем случае тензор типа ( m , n ) (с m ≥ 1 и n ≥ 1 ) является элементом векторного пространства

{\ displaystyle V \ otimes \ cdots \ otimes V \ otimes V ^ {*} \ otimes \ cdots \ otimes V ^ {*}}

(где есть m факторов V и n факторов V ^∗ ). ^[2]^[3] Применяя естественное спаривание к k- му фактору V и l- му V ^∗ -фактору и используя тождество для всех других факторов, определяет операцию сжатия ( k , l ), которая представляет собой линейное отображение, которое тензор типа ( m - 1, n - 1) . ^[2] По аналогии со случаем (1, 1) , общую операцию сжатия иногда называют следом.

Сокращение в индексной записи [ править ]

В обозначениях тензорного индекса основное сжатие вектора и двойственного вектора обозначается как

{\ displaystyle {\ tilde {f}} ({\ vec {v}}) = f _ {\ gamma} v ^ {\ gamma}}

что является сокращением для явного суммирования координат ^[4]

{\ displaystyle f _ {\ gamma} v ^ {\ gamma} = f_ {1} v ^ {1} + f_ {2} v ^ {2} + \ cdots + f_ {n} v ^ {n}}

(где $v i$ - компоненты $v$ в определенном базисе, а $f i$ - компоненты $f$ в соответствующем дуальном базисе).

Поскольку общий смешанный диадический тензор представляет собой линейную комбинацию разложимых тензоров вида , следует явная формула для диадического случая: пусть ${\ displaystyle f \ otimes v}$

{\ displaystyle \ mathbf {T} = T ^ {i} {} _ {j} \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {e} ^ {j}}

- смешанный диадический тензор. Тогда его сжатие равно

{\ displaystyle T ^ {i} {} _ {j} \ mathbf {e} _ {i} \ cdot \ mathbf {e} ^ {j} = T ^ {i} {} _ {j} \ delta _ { i} {} ^ {j} = T ^ {j} {} _ {j} = T ^ {1} {} _ {1} + \ cdots + T ^ {n} {} _ {n}}

.

Общее сокращение обозначается маркировкой одного ковариантного индекса и одного контравариантного индекса одной и той же буквой, причем суммирование по этому индексу подразумевается соглашением о суммировании . Полученный сжатый тензор наследует остальные индексы исходного тензора. Например, сжатие тензора T типа (2,2) на втором и третьем индексах для создания нового тензора U типа (1,1) записывается как

T^{ab}{}_{bc}=\sum _{b}{T^{ab}{}_{bc}}=T^{a1}{}_{1c}+T^{a2}{}_{2c}+\cdots +T^{an}{}_{nc}=U^{a}{}_{c}.

Напротив, пусть

\mathbf {T} =\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}

- несмешанный диадический тензор. Этот тензор не сжимается; если его базовые векторы отмечены точками, ^{[ требуется пояснение ],} результатом будет контравариантный метрический тензор ,

g^{ij}=\mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}

,

чей ранг 2.

Метрическое сокращение [ править ]

Как и в предыдущем примере, сокращение пары индексов, которые либо контравариантны, либо оба ковариантны, в общем случае невозможно. Однако при наличии внутреннего продукта (также известного как метрика ) g такие сокращения возможны. Один использует метрику для повышения или понижения одного из индексов по мере необходимости, а затем используется обычная операция сокращения. Комбинированная операция известна как метрическое сжатие . ^[5]

Применение к тензорным полям [ править ]

Сжатие часто применяется к тензорным полям над пространствами (например, евклидовым пространством , многообразиями или схемами ^{[ ссылка ]} ). Поскольку сжатие является чисто алгебраической операцией, его можно поточечно применить к тензорному полю, например, если T является (1,1) тензорным полем в евклидовом пространстве, то в любых координатах его сжатие (скалярное поле) U в точке x определяется как

U(x)=\sum _{i}T_{i}^{i}(x)

Поскольку роль x здесь не сложна, она часто опускается, и обозначения для тензорных полей становятся идентичными обозначениям для чисто алгебраических тензоров.

Над римановым многообразием доступна метрика (поле скалярных произведений), и как метрические, так и неметрические сжатия имеют решающее значение для теории. Например, тензор Риччи - это неметрическое сжатие тензора кривизны Римана , а скалярная кривизна - это единственное метрическое сжатие тензора Риччи.

Можно также рассматривать сжатие тензорного поля в контексте модулей над соответствующим кольцом функций на многообразии ^[5] или в контексте пучков модулей над структурным пучком; ^[6] см. Обсуждение в конце этой статьи.

Тензорное расхождение [ править ]

В качестве приложения сжатия тензорного поля пусть V - векторное поле на римановом многообразии (например, евклидовом пространстве ). Пусть будет в ковариантную производную от V (в некотором выборе координат). В случае декартовых координат в евклидовом пространстве можно написать $V^{\alpha }{}_{\beta }$

V^{\alpha }{}_{\beta }={\partial V^{\alpha } \over \partial x^{\beta }}.

Затем изменение индекса β на α приводит к тому, что пара индексов становится связанной друг с другом, так что производная сокращается сама с собой, чтобы получить следующую сумму:

V^{\alpha }{}_{\alpha }=V^{0}{}_{0}+\cdots +V^{n}{}_{n}

который является дивергенция DIV V . потом

\operatorname {div} V=V^{\alpha }{}_{\alpha }=0

это уравнение непрерывности для V .

В общем, можно определить различные операции дивергенции на тензорных полях более высокого ранга следующим образом. Если Т является тензор поле с по меньшей мере одним индексом контравариантного, принимая ковариантный дифференциал и стягивания выбранного индекса контравариантного с новым ковариантного индекса , соответствующим дифференциальными результатами в новом тензора ранг один ниже , чем у Т . ^[5]

Сжатие пары тензоров [ править ]

Можно обобщить операцию сжатия ядра (вектор с двойным вектором) в несколько иначе, рассматривая пару тензоров Т и U . Тензорное произведение представляет собой новый тензор, который, если он имеет , по меньшей мере , один ковариантный и один контравариантный индекс, может быть заключен. Случай, когда T - вектор, а U - двойственный вектор, - это в точности основная операция, представленная первой в этой статье. $T\otimes U$

В обозначении индекса тензора, чтобы сжать два тензора друг с другом, их помещают рядом (рядом) как множители одного члена. Это реализует тензорное произведение, давая составной тензор. Сжатие двух индексов в этом составном тензоре реализует желаемое сжатие двух тензоров.

Например, матрицы могут быть представлены как тензоры типа (1,1), причем первый индекс контравариантен, а второй индекс ковариантен. Позвольте быть компоненты одной матрицы и позвольте быть компонентами второй матрицы. Тогда их умножение дается следующим сжатием, примером сжатия пары тензоров: $\Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }$ $\mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }$

\Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }\mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }=\mathrm {N} ^{\alpha }{}_{\gamma }

.

Кроме того, внутреннее произведение вектора с дифференциальной формой является частным случаем сжатия двух тензоров друг с другом.

Более общие алгебраические контексты [ править ]

Пусть R является коммутативной кольцо и пусть M конечный свободный модуль над R . Тогда сжатие действует на полную (смешанную) тензорную алгебру M точно так же, как и в случае векторных пространств над полем. (Ключевой факт в том, что естественное соединение в этом случае все еще идеально.)

Более общо, пусть O _X быть пучок коммутативных колец над топологическим пространством X , например , O _X может быть в структурный пучок на в комплексном многообразии , аналитическое пространство , или схему . Пусть M - локально свободный пучок модулей над O _X конечного ранга. Тогда двойственный к M по-прежнему хорошо себя ведет ^[6], и операции сжатия имеют смысл в этом контексте.

См. Также [ править ]

Тензорное произведение
Частичный след
Интерьерный продукт
Повышение и понижение показателей
Музыкальный изоморфизм
Исчисление Риччи

Примечания [ править ]

^ Пусть L ( V , V ) пространство линейных преобразований от V до V . Тогда естественная карта
$V^{*}\otimes V\rightarrow L(V,V)$
определяется
$f\otimes v\mapsto g,$
где g ( w ) = f ( w ) v . Предположим, что V конечномерно. Если { v _i } является базисом V и { f ⁱ } является соответствующим дуальным базисом, то отображается в преобразование, матрица которого в этом базисе имеет только один ненулевой элемент, 1 в позиции i , j . Это показывает, что отображение является изоморфизмом. $f^{i}\otimes v_{j}$
^ а б Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений: первый курс . GTM . 129 . Нью-Йорк: Спрингер. С. 471–476. ISBN 0-387-97495-4.
^ Уорнер, Франк (1993). Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли . GTM . 94 . Нью-Йорк: Спрингер. С. 54–56. ISBN 0-387-90894-3.
^ В физике (а иногда и в математике) индексы часто начинаются с нуля вместо единицы. В четырехмерном пространстве-времени индексы варьируются от 0 до 3.
^ a b c О'Нил, Барретт (1983). Полуриманова геометрия с приложениями к теории относительности . Академическая пресса. п. 86. ISBN 0-12-526740-1.
^ a b Хартсхорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-90244-9.

Ссылки [ править ]

Бишоп, Ричард Л .; Гольдберг, Сэмюэл И. (1980). Тензорный анализ на многообразиях . Нью-Йорк: Дувр. ISBN 0-486-64039-6.
Мензель, Дональд Х. (1961). Математическая физика . Нью-Йорк: Дувр. ISBN 0-486-60056-4.

[natural_iso-1] Пусть L ( V , V ) пространство линейных преобразований от V до V . Тогда естественная карта
$V^{*}\otimes V\rightarrow L(V,V)$
определяется
$f\otimes v\mapsto g,$
где g ( w ) = f ( w ) v . Предположим, что V конечномерно. Если { v _i } является базисом V и { f ⁱ } является соответствующим дуальным базисом, то отображается в преобразование, матрица которого в этом базисе имеет только один ненулевой элемент, 1 в позиции i , j . Это показывает, что отображение является изоморфизмом. $f^{i}\otimes v_{j}$

[fulton_harris-2] а б Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений: первый курс . GTM . 129 . Нью-Йорк: Спрингер. С. 471–476. ISBN 0-387-97495-4.

[warner-3] Уорнер, Франк (1993). Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли . GTM . 94 . Нью-Йорк: Спрингер. С. 54–56. ISBN 0-387-90894-3.

[physics-4] В физике (а иногда и в математике) индексы часто начинаются с нуля вместо единицы. В четырехмерном пространстве-времени индексы варьируются от 0 до 3.

[o'neill-5] О'Нил, Барретт (1983). Полуриманова геометрия с приложениями к теории относительности . Академическая пресса. п. 86. ISBN 0-12-526740-1.

[hartshorne-6] Хартсхорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-90244-9.

[1]