Модель гиперболоида

Красная дуга окружности является геодезической в модели диска Пуанкаре ; он проецируется на коричневую геодезическую на зеленый гиперболоид.

Воспроизвести медиа

Анимация частичного {7,3} гиперболического разбиения гиперболоида, повернутого в перспективу Пуанкаре.

В геометрии , то гиперболоид модель , известная также как модель Минковского после Герман Минковский является моделью п - мерное гиперболической геометрии , в которой точки представлены точками на переднем листе S ⁺ из двулистным гиперболоида в ( п + 1 ) -мерное пространство Минковского и m -плоскости представляются пересечениями ( m +1) -плоскостей в пространстве Минковского с S ⁺ . Функция гиперболического расстояния допускает простое выражение в этой модели. Гиперболоидная модельп - мерное гиперболическое пространство тесно связана с моделью Бельтрами-Клейна и на диске модели Пуанкаре , поскольку они являются проективные модели в том смысле , что группа изометрия является подгруппой проективной группы .

Квадратичная форма Минковского [ править ]

Если ( x ₀ , x ₁ , ..., x _n ) является вектором в ( n + 1) -мерном координатном пространстве R ^{n +1} , квадратичная форма Минковского определяется как

${\ Displaystyle Q (x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = x_ {0} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} - \ ldots -x_ {n} ^ {2}.}$

Векторы v ∈ R ^{n +1} такие, что Q ( v ) = 1, образуют n -мерный гиперболоид S, состоящий из двух связных компонент или листов : прямого или будущего листа S ⁺ , где x ₀ > 0 и обратного , или прошедший лист S ^- , где x ₀ <0. Точки n- мерной модели гиперболоида - это точки на переднем листе S ⁺ .

Минковский билинейная форма Б является поляризация Минковского квадратичной формы Q ,

${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(Q(\mathbf {u} +\mathbf {v} )-Q(\mathbf {u} )-Q(\mathbf {v} ))/2.}$

Явно,

${\displaystyle B((x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{0},y_{1},\ldots ,y_{n}))=x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\ldots -x_{n}y_{n}.}$

Гиперболическое расстояние между двумя точками ¯u и V из S ⁺ задается формулой

${\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\operatorname {arcosh} (B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )),}$

где arcosh является обратной функцией от гиперболического косинуса .

Прямые [ править ]

Прямая в гиперболическом n- пространстве моделируется геодезической на гиперболоиде. Геодезическая на гиперболоиде - это (непустое) пересечение гиперболоида с двумерным линейным подпространством (включая начало координат) n + 1-мерного пространства Минковского. Если мы возьмем u и v как базисные векторы этого линейного подпространства с

${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )=1}$

${\displaystyle B(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=-1}$

${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=B(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )=0}$

и используйте w как действительный параметр для точек на геодезической, тогда

${\displaystyle \mathbf {u} \cosh w+\mathbf {v} \sinh w}$

будет точкой на геодезической. ^[1]

В более общем смысле, k- мерная «квартира» в гиперболическом n- пространстве будет моделироваться (непустым) пересечением гиперболоида с k + 1-мерным линейным подпространством (включая начало координат) пространства Минковского.

Изометрии [ править ]

Бессрочная ортогональная группа O (1, п ), которая также называется ( п + 1) -мерном группы Лоренца , является группой Ли из реальных ( п + 1) × ( п + 1) матриц , сохраняющих Минковские билинейной формы. В другом языке, это группа линейных изометрии в пространстве Минковского . В частности, эта группа сохраняет гиперболоид S . Напомним, что неопределенные ортогональные группы имеют четыре компонента связности, соответствующие изменению или сохранению ориентации на каждом подпространстве (здесь 1-мерное и n-мерной) и образуют четырехгруппу Клейна . Подгруппа O (1, n ), которая сохраняет знак первой координаты, является ортохронной группой Лоренца , обозначенной O ⁺ (1, n ), и имеет две компоненты, соответствующие сохранению или изменению ориентации пространственного подпространства. Ее подгруппа SO ⁺ (1, n ), состоящая из матриц с определителем единица, является связной группой Ли размерности n ( n +1) / 2, действующей на S ⁺линейными автоморфизмами и сохраняет гиперболическое расстояние. Это действие транзитивно и стабилизатор вектора (1,0, ..., 0) состоит из матриц вида

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&\ldots &0\\0&&&\\\vdots &&A&\\0&&&\\\end{pmatrix}}}$

Где принадлежит компактной специальной ортогональной группе SO ( n ) (обобщающей группу вращений SO (3) для n = 3 ). Отсюда следует, что n -мерное гиперболическое пространство может быть представлено как однородное пространство и риманово симметрическое пространство ранга 1,${\displaystyle A}$

${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}=\mathrm {SO} ^{+}(1,n)/\mathrm {SO} (n).}$

Группа SO ⁺ (1, n ) является полной группой сохраняющих ориентацию изометрий n- мерного гиперболического пространства.

Говоря более конкретно, SO ⁺ (1, n ) можно разделить на n ( n -1) / 2 поворотов (сформированных с помощью регулярной евклидовой матрицы вращения в правом нижнем блоке) и n гиперболических трансляций, которые принимают вид

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cosh \alpha &\sinh \alpha &0&\ldots \\\sinh \alpha &\cosh \alpha &0&\ldots \\0&0&1&\\\vdots &\vdots &&\ddots \\\end{pmatrix}}}$

где - это расстояние, перенесенное ( в данном случае по оси x ), а 2-я строка / столбец можно заменить другой парой, чтобы перейти к перемещению по другой оси. Общая форма перевода в 3-х измерениях вдоль вектора :${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (w,x,y,z)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w&x&y&z\\x&{\frac {x^{2}}{w+1}}+1&{\frac {yx}{w+1}}&{\frac {zx}{w+1}}\\y&{\frac {xy}{w+1}}&{\frac {y^{2}}{w+1}}+1&{\frac {zy}{w+1}}\\z&{\frac {xz}{w+1}}&{\frac {yz}{w+1}}&{\frac {z^{2}}{w+1}}+1\\\end{pmatrix}}}$где .${\displaystyle w={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}}$

Это естественным образом распространяется на большее количество измерений, а также является упрощенной версией повышения Лоренца, когда вы удаляете относительные термины.

Примеры групп изометрий [ править ]

Группа всех изометрий модели гиперболоида равна O ⁺ (1, n ). Любая группа изометрий является ее подгруппой.

Размышления [ править ]

Для двух точек существует уникальное отражение, меняющее их местами.${\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} \in \mathbb {H} ^{n},\mathbf {p} \neq \mathbf {q} }$

Пусть . Обратите внимание, что , и поэтому .${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\mathbf {p} -\mathbf {q} }{\sqrt {-Q(\mathbf {p} -\mathbf {q} )}}}}$${\displaystyle Q(\mathbf {u} )=-1}$${\displaystyle u\notin \mathbb {H} ^{n}}$

потом

${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {x} +2B(\mathbf {x} ,\mathbf {u} )\mathbf {u} }$

это отражение, которое меняет местами и . Это эквивалентно следующей матрице:${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {q} }$

${\displaystyle R=I+2\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\operatorname {T} }{\begin{pmatrix}1&0\\0&-I\\\end{pmatrix}}}$

(обратите внимание на использование записи блочной матрицы ).

Тогда - группа изометрий. Все такие подгруппы сопряжены .${\displaystyle \{I,R\}}$

Вращения и отражения [ править ]

${\displaystyle S=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&A\\\end{pmatrix}}:A\in O(n)\right\}}$

- группа сохраняющих вращений и отражений . Функция является изоморфизмом из O ( п ) к этой группе. Для любой точки , если изометрия, отображающая к , то есть группа вращений и отражений, сохраняющих .${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$${\displaystyle A\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&A\\\end{pmatrix}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle XSX^{-1}}$${\displaystyle p}$

Переводы [ править ]

Для любого реального числа есть перевод${\displaystyle t}$

${\displaystyle L_{t}={\begin{pmatrix}\cosh t&\sinh t&0\\\sinh t&\cosh t&0\\0&0&I\\\end{pmatrix}}}$

Это перевод расстояния в положительном направлении x if или расстояния в отрицательном направлении x if . Любое преобразование расстояния сопряжено с и . Набор представляет собой группу перемещений по оси x, и группа изометрий сопряжена с ней тогда и только тогда, когда это группа изометрий, проходящих через линию.${\displaystyle t}$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle -t}$${\displaystyle t\leq 0}$${\displaystyle t}$${\displaystyle L_{t}}$${\displaystyle L_{-t}}$${\displaystyle \left\{L_{t}:t\in \mathbb {R} \right\}}$

Например, допустим, мы хотим найти группу переводов через строку . Пусть изометрия , что карты к и пусть изометрия , что фиксирует и отображает на . Примером такого является отражение обмена и (при условии, что они разные), потому что они оба находятся на одинаковом расстоянии от . Затем изометрия отображается в и точка на положительной оси абсцисс в . перевод через линию расстояния . Если , то в направлении. Если , то в направлении. это группа переводов через${\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle p}$${\displaystyle XL_{d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}[1,0,\dots ,0]^{\operatorname {T} }}$${\displaystyle q}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle XL_{d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}[1,0,\dots ,0]^{\operatorname {T} }}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle YX}$${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle (YX)L_{t}(YX)^{-1}}$${\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}$${\displaystyle |t|}$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}$${\displaystyle t\leq 0}$${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {q} \mathbf {p} }}}$${\displaystyle \left\{(YX)L_{t}(YX)^{-1}:t\in \mathbb {R} \right\}}$${\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}}$.

Симметрии орисфер [ править ]

Пусть H - некоторая орисфера такая, что точки формы находятся внутри нее при сколь угодно большом x . Для любого вектора b в${\displaystyle (w,x,0,\dots ,0)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1+{\frac {\|\mathbf {b} \|^{2}}{2}}&-{\frac {\|\mathbf {b} \|^{2}}{2}}&\mathbf {b} ^{\operatorname {T} }\\{\frac {\|\mathbf {b} \|^{2}}{2}}&1-{\frac {\|\mathbf {b} \|^{2}}{2}}&\mathbf {b} ^{\operatorname {T} }\\\mathbf {b} &-\mathbf {b} &I\\\end{pmatrix}}}$

- хорротация, переводящая H в себя. Множество такого hororotations является группой hororotations , сохраняющей H . Все повороты сопряжены друг с другом.

Для любого за O ( n -1)${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&A\\\end{pmatrix}}}$

- это вращение или отражение, сохраняющее H и ось x. Эти hororotations, вращение и отражения порождают группу симметрий H . Группа симметрии любой ориосферы сопряжена с ней. Они изоморфны евклидовой группе E ( n -1).

История [ править ]

В нескольких статьях между 1878–1885 гг. Вильгельм Киллинг ^{[2] [3] [4]} использовал представление, которое он приписал Карлу Вейерштрассу для геометрии Лобачевского . В частности, он обсуждал квадратичные формы, такие как или в произвольных размерах , где - обратная мера кривизны, обозначает евклидову геометрию , эллиптическую геометрию и гиперболическую геометрию.${\displaystyle k^{2}t^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2}=k^{2}}$${\displaystyle k^{2}x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=k^{2}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k^{2}=\infty }$${\displaystyle k^{2}>0}$ ${\displaystyle k^{2}<0}$

Согласно Джереми Грею (1986), ^[5] Пуанкаре использовал модель гиперболоида в своих личных заметках в 1880 году. Пуанкаре опубликовал свои результаты в 1881 году, в которых он обсуждал инвариантность квадратичной формы . ^[6] Грей показывает, где модель гиперболоида подразумевается в более поздних работах Пуанкаре. ^[7]${\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}-\zeta ^{2}=-1}$

Также Гомершам Кокс в 1882 г. ^{[8] [9]} использовал координаты Вейерштрасса (без использования этого имени), удовлетворяющие соотношению, а также .${\displaystyle z^{2}-x^{2}-y^{2}=1}$${\displaystyle w^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=1}$

Дальнейшее раскрытие модели было дано Альфредом Клебшем и Фердинандом Линдеманном в 1891 году, обсуждая связь и . ^[10]${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4k^{2}x_{3}^{2}=-4k^{2}}$${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4k^{2}x_{4}^{2}=-4k^{2}}$

Координаты Вейерштрасса также использовались Жераром (1892 г.), ^[11] Феликсом Хаусдорфом (1899 г.), ^[12] Фредериком С. Вудсом (1903 г.)], ^[13] Генрихом Либманом (1905 г.). ^[14]

Гиперболоид исследовались как метрическое пространство с помощью Александра Макфарлейного в его документах в космосе анализе (1894). Он отметил, что точки на гиперболоиде можно записать как

${\displaystyle \cosh A+\alpha \sinh A,}$

где α - базисный вектор, ортогональный оси гиперболоида. Например, он получил гиперболический закон косинусов с помощью своей алгебры физики . ^[1]

Х. Янсен сделал модель гиперболоида явным фокусом своей статьи 1909 года «Представление гиперболической геометрии на двухлистном гиперболоиде». ^[15] В 1993 году У. Ф. Рейнольдс в своей статье в American Mathematical Monthly рассказал некоторые из ранних историй этой модели . ^[16]

Будучи обычной моделью двадцатого века, она была отождествлена ​​с Geschwindigkeitsvectoren (векторами скорости) Германом Минковским в его лекции в Геттингене 1907 года «Принцип относительности». Скотт Вальтер в своей статье 1999 г. «Неевклидов стиль теории относительности Минковского» ^[17] напоминает об осознании Минковского, но прослеживает происхождение модели от Германа Гельмгольца, а не от Вейерштрасса и Киллинга.

В первые годы теории относительности модель гиперболоида использовалась Владимиром Варичаком для объяснения физики скорости. В своем выступлении перед Немецким математическим союзом в 1912 году он упомянул координаты Вейерштрасса. ^[18]

См. Также [ править ]

• Модель диска Пуанкаре
• Гиперболические кватернионы

Примечания и ссылки [ править ]

• Алексеевский, ДВ; Винберг, EB ; Солодовников А.С. (1993), Геометрия пространств постоянной кривизны , Энциклопедия математических наук, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52000-9
• Андерсон, Джеймс (2005), гиперболическая геометрия , серия Springer по математике для студентов (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-1-85233-934-0
• Рэтклифф, Джон Г. (1994), Основы гиперболических многообразий , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94348-0, Глава 3
• Майлз Рид и Балаш Сендрёи (2005) Геометрия и топология , рис. 3.10, стр. 45, Cambridge University Press , ISBN 0-521-61325-6 , MR 2194744 . 
• Райан, Патрик Дж. (1986), Евклидова и неевклидова геометрия: аналитический подход , Кембридж, Лондон, Нью-Йорк, Нью-Рошель, Мельбурн, Сидней: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-25654-4
• Паркконен, Йоуни. "ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" (PDF) . Проверено 5 сентября 2020 года .