В математике , гиперболические функции являются аналогами обычных тригонометрических функций , но определяются с помощью гиперболы , а не круг . Точно так же, как точки (cos t , sin t ) образуют круг с единичным радиусом , точки (cosh t , sinh t ) образуют правую половину единичной гиперболы . Кроме того, так же, как производные sin ( t ) и cos ( t ) равны cos ( t ) и–Sin ( t ) , производные sinh ( t ) и ch ( t ) равны ch ( t ) и + sinh ( t ) .
гиперболический синус области «arsinh» (также обозначаемый «sinh −1 », «asinh» или иногда «arcsinh») [10] [11] [12]
гиперболический косинус площади "arcosh" (также обозначается "ch −1 ", "acosh" или иногда "arccosh")
и так далее.
Луч, проходящий через единичную гиперболу x 2 - y 2 = 1 в точке (ch a , sinh a ) , где a - это удвоенная площадь между лучом, гиперболой и осью x . Для точек на гиперболе ниже оси x площадь считается отрицательной (см. Анимированную версию со сравнением с тригонометрическими (круговыми) функциями).
В комплексном анализе гиперболические функции возникают как мнимые части синуса и косинуса. Гиперболический синус и гиперболический косинус - целые функции . В результате другие гиперболические функции мероморфны во всей комплексной плоскости.
Гиперболические функции были введены в 1760-е годы независимо Винченцо Риккати и Иоганн Генрих Ламберт . [14] Риккати использовал Sc. и Cc. ( sinus / cosinus circare ) для обозначения круговых функций и Sh. и гл. ( sinus / cosinus hyperbolico ) для обозначения гиперболических функций. Ламберт принял имена, но изменил аббревиатуры на те, которые используются сегодня. [15] Сокращения sh , ch , th , cth также используются в настоящее время в зависимости от личных предпочтений.
Определения
син , кош и тан
CSCH , сечь и COTH
Существуют различные эквивалентные способы определения гиперболических функций.
Экспоненциальные определения
sinh x составляет половину разницы между e x и e - x
Гиперболический синус: нечетная часть экспоненциальной функции, то есть
Гиперболический косинус: четная часть экспоненциальной функции, то есть
Гиперболический тангенс:
Гиперболический котангенс: при x ≠ 0 ,
Гиперболический секанс:
Гиперболический косеканс: для й ≠ 0 ,
Определения дифференциальных уравнений
Гиперболические функции могут быть определены как решения дифференциальных уравнений : гиперболический синус и косинус являются единственными решениями ( s , c ) системы
такие, что s (0) = 0 и c (0) = 1 .
(Начальные условия необходимы, потому что каждая пара функций вида решает два дифференциальных уравнения.)
Sinh (x) и ch (x) также являются единственным решением уравнения f ″ ( x ) = f ( x ) , таким что f (0) = 1 , f ′ (0) = 0 для гиперболического косинуса и f (0) = 0 , f ′ (0) = 1 для гиперболического синуса.
Сложные тригонометрические определения
Гиперболические функции также могут быть выведены из тригонометрических функций со сложными аргументами:
Гиперболический синус: [2]
Гиперболический косинус: [2]
Гиперболический тангенс:
Гиперболический котангенс:
Гиперболический секанс:
Гиперболический косеканс:
где i - мнимая единица с i 2 = −1 .
Приведенные выше определения связаны с экспоненциальными определениями через формулу Эйлера (см. § Гиперболические функции для комплексных чисел ниже).
Характерные свойства
Гиперболический косинус
Можно показать, что площадь под кривой гиперболического косинуса (на конечном интервале) всегда равна длине дуги, соответствующей этому интервалу: [16]
Гиперболический тангенс
Гиперболический тангенс - это (единственное) решение дифференциального уравнения f ′ = 1 - f 2 , где f (0) = 0 .
Полезные отношения
Гиперболические функции удовлетворяют многим тождествам, все они по форме похожи на тригонометрические тождества . Фактически, правило Осборна [17] гласит, что любое тригонометрическое тождество можно преобразовать для, , или же а также в гиперболическую идентичность, полностью расширив ее с точки зрения интегральных степеней синусов и косинусов, изменив синус на sinh и косинус на cosh, и изменив знак каждого члена, содержащего произведение двух sinh.
Нечетные и четные функции:
Следовательно:
Таким образом, ch x и sech x - четные функции ; остальные - нечетные функции .
Гиперболический синус и косинус удовлетворяют:
последний из которых похож на тригонометрическое тождество Пифагора .
У одного также есть
для других функций.
Суммы аргументов
особенно
Также:
Формулы вычитания
Также: [18]
Формулы половинного аргумента
где sgn - знаковая функция .
Если x ≠ 0 , то [19]
Квадратные формулы
Неравенства
В статистике полезно следующее неравенство: [20]
Это можно доказать, почленно сравнивая ряды Тейлора этих двух функций.
Обратные функции как логарифмы
Производные
Вторые производные
Каждая из функций sinh и ch равна своей второй производной , то есть:
Все функции с этим свойством являются линейными комбинациями из зпа и дубинки , в частности, экспоненциальные функции а также .
Стандартные интегралы
Следующие интегралы можно доказать с помощью гиперболической замены :
где C - постоянная интегрирования .
Выражения ряда Тейлора
Можно явно выразить ряд Тейлора в нуле (или ряд Лорана , если функция не определена в нуле) вышеуказанных функций.
Этот ряд сходится для любого комплексного значения x . Так как функция зп х является нечетным , только нечетными индексы для й происходят в ряде Тейлора.
Этот ряд сходится для любого комплексного значения x . Поскольку функция ch x является четной , в ее ряд Тейлора входят только четные показатели для x .
Сумма рядов sinh и ch является бесконечным рядным выражением экспоненциальной функции .
Следующие серии сопровождаются описанием подмножества их области сходимости , где ряд сходится, а его сумма равна функции.
где:
является п - го числа Бернулли
- n- е число Эйлера
Сравнение с круговыми функциями
Круг и гиперболой касательной в точке (1,1) отображения геометрии круговых функций с точки зрения кругового сектора области ¯u и гиперболических функций в зависимости от гиперболического сектора области ¯u .
Гиперболические функции представляют собой расширение тригонометрии за пределы круговых функций . Оба типа зависят от аргумента : кругового или гиперболического угла .
Поскольку площадь кругового сектора с радиусом r и углом u (в радианах) равна r 2 u / 2, она будет равна u, когда r = √ 2 . На диаграмме такая окружность касается гиперболы xy = 1 в точке (1,1). Желтый сектор обозначает площадь и угловую величину. Точно так же желтый и красный секторы вместе обозначают площадь и величину гиперболического угла .
Катеты двух прямоугольных треугольников с гипотенузой на луче, определяющем углы, имеют длину √ 2 раза больше круговой и гиперболической функций.
Гиперболический угол является инвариантной мерой по отношению к отображению сжатия , так же как круговой угол инвариантен относительно вращения. [21]
Функция Гудермана дает прямую связь между круговыми функциями и гиперболическими функциями, не содержащими комплексных чисел.
График функции a ch ( x / a ) - это цепная линия, кривая, образованная однородной гибкой цепью, свободно свисающей между двумя фиксированными точками под действием равномерного притяжения.
Связь с экспоненциальной функцией
Разложение экспоненты на четную и нечетную части дает тождества
а также
Первый аналогичен формуле Эйлера
Кроме того,
Гиперболические функции для комплексных чисел
Поскольку экспоненциальная функция может быть определена для любого сложного аргумента, мы также можем расширить определения гиперболических функций до сложных аргументов. ФУНКЦИИ SINH г и сп г затем голоморфны .
Связь с обычными тригонометрическими функциями задается формулой Эйлера для комплексных чисел:
так:
Таким образом, гиперболические функции периодичны относительно мнимой компоненты с периодом ( для гиперболического тангенса и котангенса).
Гиперболические функции на комплексной плоскости
Смотрите также
e (математическая константа)
Теорема о равенстве вписанных окружностей , основанная на sinh