Гиперболический сектор

Гиперболической сектор представляет собой область декартовой плоскости {( х , у )} , ограниченные лучи от начала координат до двух точек ( , 1 / ) и ( б , 1 / б ) и с помощью прямоугольных гипербол х = 1 ( или соответствующая область, когда эта гипербола масштабируется и ее ориентация изменяется вращением, оставляя центр в начале координат, как с единичной гиперболой ).

Гиперболический сектор в стандартном положении имеет a = 1 и b > 1.

Гиперболические секторы являются основой гиперболических функций .

Площадь [ править ]

Область гиперболического сектора сохраняется с помощью карты сжатия , показанной сжатыми прямоугольниками и вращением гиперболического сектора.

Площадь гиперболического сектора в стандартном положении является натуральный логарифм от б .

Доказательство: проинтегрировать под 1 / x от 1 до b , добавить треугольник {(0, 0), (1, 0), (1, 1)} и вычесть треугольник {(0, 0), ( b , 0), ( б , 1 / б )}.^[1]

В стандартном положении гиперболический сектор соответствует положительному гиперболическому углу в начале координат, причем размер последнего определяется как площадь первого.

Гиперболический треугольник [ править ]

Гиперболический треугольник (желтый) и гиперболический сектор (красный), соответствующие гиперболическому углу u , к прямоугольной гиперболе (уравнение y = 1 / x ). Ноги треугольника √ 2 раза больше гиперболический косинус и синус функция .

В стандартном положении гиперболический сектор определяет гиперболический треугольник , прямоугольный треугольник с одной вершиной в начале координат, основание на диагональном луче y  =  x и третью вершину на гиперболе.

${\ displaystyle xy = 1, \,}$

с гипотенузой, являющейся отрезком от начала координат до точки ( x, y ) на гиперболе. Длина основания этого треугольника равна

${\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ cosh u, \,}$

и высота над уровнем моря составляет

${\ Displaystyle {\ sqrt {2}} \ зп и, \,}$

где u - соответствующий гиперболический угол .

Аналогия между круговыми и гиперболическими функциями была описана Августом Де Морганом в его « Тригонометрии и двойной алгебре» (1849). ^[2] Уильям Бернсайд использовал такие треугольники, проецируя их из точки гиперболы xy = 1 на главную диагональ, в своей статье «Замечание о теореме сложения для гиперболических функций». ^[3]

Гиперболический логарифм [ править ]

Единичная площадь при b = e, использованная Эйлером.

Студенты интегрального исчисления знают, что f ( x ) = x ^p имеет алгебраическую первообразную, за исключением случая p = –1, соответствующего квадратуре гиперболы. Остальные случаи даются квадратурной формулой Кавальери . В то время как квадратура параболы была создана Архимедом в третьем веке до нашей эры (в «Квадратуре параболы» ), гиперболическая квадратура потребовала изобретения в 1647 году новой функции: Грегуар де Сент-Винсент.обратился к проблеме вычисления площадей, ограниченных гиперболой. Его открытия привели к функции натурального логарифма, которую когда-то называли гиперболическим логарифмом, поскольку она получается путем интегрирования или нахождения площади под гиперболой. ^[4]

До 1748 года и до публикации « Введения в анализ бесконечного» натуральный логарифм был известен в терминах площади гиперболического сектора. Леонард Эйлер изменил это, когда ввел трансцендентные функции, такие как 10 ^x . Эйлер определил e как значение b, производящее единицу площади (под гиперболой или в гиперболическом секторе в стандартном положении). Тогда натуральный логарифм можно было бы распознать как функцию, обратную трансцендентной функции e ^x .

Гиперболическая геометрия [ править ]

Когда Феликс Клейн написал свою книгу по неевклидовой геометрии в 1928 году, он заложил основу для этого предмета, сославшись на проективную геометрию . Чтобы установить гиперболическую меру на линии, он отметил, что область гиперболического сектора дает визуальную иллюстрацию концепции. ^[5]

К гиперболе также можно провести гиперболические сектора . Площадь таких гиперболических секторов использовалась для определения гиперболического расстояния в учебнике геометрии. ^[6]${\ displaystyle y = {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}$

См. Также [ править ]

• Сжатие карт

Ссылки [ править ]

• Меллен В. Хаскелл (1895) О введении понятия гиперболических функций Бюллетень Американского математического общества 1 (6): 155–9.