Многообразие Эйнштейна

В дифференциальной геометрии и математической физики , многообразие Эйнштейна является римановой или псевдориманово дифференцируемое многообразие которых тензор Риччи пропорционален метрике . Они названы в честь Альберта Эйнштейна, потому что это условие эквивалентно утверждению, что метрика является решением вакуумных уравнений поля Эйнштейна (с космологической постоянной ), хотя и размерность, и сигнатура метрики могут быть произвольными, таким образом, не ограничиваясь четырехмерные лоренцевы многообразия, обычно изучаемые вобщая теория относительности . Многообразия Эйнштейна в четырех евклидовых измерениях изучаются как гравитационные инстантоны .

Если M - лежащее в основе n -мерное многообразие, а g - его метрический тензор, условие Эйнштейна означает, что

${\ displaystyle \ mathrm {Ric} = кг}$

для некоторой константы k , где Ric обозначает тензор Риччи для g . Многообразия Эйнштейна с k = 0 называются Риччи-плоскими многообразиями .

Условие Эйнштейна и уравнение Эйнштейна [ править ]

В локальных координатах условие, что ( M , g ) - многообразие Эйнштейна, просто

${\ displaystyle R_ {ab} = kg_ {ab}.}$

Прослеживание обеих сторон показывает, что константа пропорциональности k для многообразий Эйнштейна связана со скалярной кривизной R соотношением

${\ Displaystyle R = nk,}$

где п есть размерность М .

В общей теории относительности , уравнение Эйнштейна с космологической постоянной Л является

${\ displaystyle R_ {ab} - {\ frac {1} {2}} g_ {ab} R + g_ {ab} \ Lambda = \ kappa T_ {ab},}$

где κ - гравитационная постоянная Эйнштейна . ^[1] стресс-энергетический тензор Т _аб дает материи и энергии содержание основного пространства - времени. В вакууме (область пространства-времени, лишенная материи) T _ab = 0 , и уравнение Эйнштейна можно переписать в виде (предполагая, что n > 2 ):

${\ displaystyle R_ {ab} = {\ frac {2 \ Lambda} {n-2}} \, g_ {ab}.}$

Следовательно, вакуумные решения уравнения Эйнштейна представляют собой (лоренцевы) многообразия Эйнштейна с k, пропорциональным космологической постоянной.

Примеры [ править ]

Простые примеры многообразий Эйнштейна включают:

• Любое многообразие с постоянной секционной кривизной является многообразием Эйнштейна, в частности:
  • Евклидово пространство , которое является плоским, является простым примером Риччи-плоского, отсюда и метрики Эйнштейна.
  • П -сферы , с круглой метрики Эйнштейна с .${\ Displaystyle S ^ {п}}$${\ Displaystyle к = п-1}$
  • Гиперболическое пространство с канонической метрикой Эйнштейна с .${\ Displaystyle к = - (п-1)}$
• Комплексное проективное пространство , , с метрикой Фубини-Study , имеют${\ Displaystyle \ mathbf {CP} ^ {п}}$${\ Displaystyle к = п + 1.}$
• Многообразия Калаби – Яу допускают метрику Эйнштейна, которая также является кэлеровой , с постоянной Эйнштейна . Такие показатели не уникальны, они, скорее, разрознены; метрика Калаби – Яу есть в каждом кэлеровом классе, и эта метрика также зависит от выбора комплексной структуры. Например, существует семейство таких метрик с 60 параметрами на K3 , 57 параметров из которых приводят к метрикам Эйнштейна, которые не связаны изометриями или пересчетами.${\ displaystyle k = 0}$

Необходимое условием для замкнутых , ориентированных , 4-многообразий быть Эйнштейн , удовлетворяющий неравенству Hitchin-Торп .

Приложения [ править ]

Четырехмерные римановы многообразия Эйнштейна также важны в математической физике как гравитационные инстантоны в квантовых теориях гравитации . Термин «гравитационный инстантон» обычно используется только для 4-многообразий Эйнштейна, тензор Вейля которых самодвойственен, и обычно предполагается, что эта метрика асимптотична стандартной метрике евклидова 4-пространства (и, следовательно, является полной, но не- компактный ). В дифференциальной геометрии самодуальные 4-многообразия Эйнштейна также известны как (4-мерные) гиперкэлеровы многообразия в Риччи-плоском случае и кватернионные кэлеровы многообразия в противном случае.

Многомерные лоренцевы многообразия Эйнштейна используются в современных теориях гравитации, таких как теория струн , М-теория и супергравитация . Гиперкэлеровы и кватернионные кэлеровы многообразия (которые являются особыми видами многообразий Эйнштейна) также имеют приложения в физике в качестве целевых пространств для нелинейных σ-моделей с суперсимметрией .

Компактные многообразия Эйнштейна были подробно изучены в дифференциальной геометрии, и известно множество примеров, хотя их построение часто является сложной задачей. Компактные плоские многообразия Риччи найти особенно сложно: в монографии на эту тему автора под псевдонимом Артура Бессе читателям предлагается поесть в ресторане, отмеченном звездочкой , в обмен на новый пример.

См. Также [ править ]

• Векторное расслоение Эйнштейна – Эрмитова

Примечания и ссылки [ править ]

• Бесс, Артур Л. (1987). Многообразия Эйнштейна . Классика по математике. Берлин: Springer. ISBN 3-540-74120-8. CS1 maint: discouraged parameter (link)