В математической физике и дифференциальной геометрии , гравитационный инстантон является четырехмерным полное риманово многообразие , удовлетворяющее вакуумных уравнений Эйнштейна . Они названы так потому , что они являются аналогами в квантовой теории гравитации из инстантонами в теории Янга-Миллса . В соответствии с этой аналогией с самодуальными инстантонами Янга – Миллса гравитационные инстантоны обычно выглядят как четырехмерное евклидово пространство на больших расстояниях и имеют самодуальный тензор Римана. Математически это означает, что они являются асимптотически локально евклидовыми (или, возможно, асимптотически локально плоскими) гиперкэлеровыми 4-многообразиями , и в этом смысле они являются частными примерами многообразий Эйнштейна . С физической точки зрения гравитационный инстантон - это неособое решение вакуумных уравнений Эйнштейна с положительно определенной , в отличие от лоренцевой , метрикой.
Есть много возможных обобщений первоначальной концепции гравитационного инстантона: например, можно позволить гравитационным инстантонам иметь ненулевую космологическую постоянную или тензор Римана, который не является самодуальным. Можно также ослабить граничное условие, что метрика асимптотически евклидова.
Существует множество методов построения гравитационных инстантонов, в том числе анзац Гиббонса – Хокинга , твисторная теория и построение фактора гиперкэлера .
Вступление
Гравитационные инстантоны интересны, так как они дают представление о квантовании гравитации. Например, положительно определенные асимптотически локально евклидовы метрики необходимы, поскольку они подчиняются гипотезе положительного действия; неограниченные снизу действия создают расхождение в квантовом интеграле по путям .
- Четырехмерный Kähler - многообразие Эйнштейна имеет автодуальную тензор Римана .
- Эквивалентно, самодуальный гравитационный инстантон - это четырехмерное полное гиперкэлерово многообразие .
- Гравитационные инстантоны аналогичны самодуальным инстантонам Янга – Миллса .
В отношении структуры тензора кривизны Римана можно сделать несколько различий , относящихся к плоскостности и самодуальности. Это включает:
- Эйнштейн (ненулевая космологическая постоянная)
- Плоскость Риччи (исчезающий тензор Риччи)
- Конформная плоскостность (исчезающий тензор Вейля)
- Самодуальность
- Анти-самодуальность
- Конформно самодуальный
- Конформно анти-самодвойственный
Таксономия
Задавая «граничные условия», т. Е. Асимптотику метрики «на бесконечности» на некомпактном римановом многообразии, гравитационные инстантоны делятся на несколько классов, таких как асимптотически локально евклидовы пространства (пространства ALE), асимптотически локально плоские пространства (ALF пробелы).
Их можно дополнительно охарактеризовать тем, является ли тензор Римана самодуальным, самодвойственный ли тензор Вейля или нет; являются ли они келеровыми многообразиями ; и различные характеристические классы , такие как характеристика Эйлера , сигнатура Хирцебруха ( класс Понтрягина ), индекс Рариты-Швингера ( индекс спина 3/2 ) или, в общем, класс Черна . Способность поддерживать спиновую структуру ( т.е. допускать согласованные спиноры Дирака ) - еще одна привлекательная особенность.
Список примеров
Eguchi et al. перечислим ряд примеров гравитационных инстантонов. [1] К ним, среди прочего, относятся:
- Плоское пространство , тор и евклидово пространство де Ситтера , т.е. стандартная метрика на 4-сфере .
- Произведение сфер .
- Метрика Шварцшильда и метрика Керра
- Инстантон Эгучи – Хансона , нижеприведенный.
- Решение Тауба – НУТ , приведенное ниже.
- Метрика Фубини-исследование на комплексной проективной плоскости [2] Обратите внимание, что комплексная проективная плоскость не поддерживает четко определенные спиноры Дирака . То есть это не спиновая структура . Однако ему может быть придана спиновая структура.
- Пространство страницы , вращающаяся компактная метрика на прямой сумме двух комплексных проективных плоскостей .
- Многоцентровые метрики Гиббонса – Хокинга, приведенные ниже.
- Тауб-болт метрический и вращающийся метрический болт Тауба. Метрики «болта» имеют сингулярность координат цилиндрического типа в начале координат по сравнению с метриками «ореха», которые имеют сингулярность координат сферы. В обоих случаях координатная сингулярность может быть устранена переключением на евклидовы координаты в начале координат.
- K3 поверхностей .
- Асимптотически локально евклидовы самодуальные многообразия, включая линзовые пространства , Двойная-накрывающие двугранных групп , тем тетраэдрическая группа , то октаэдрические группы , а группа икосаэдра . Обратите внимание, чтосоответствует инстантоном Эгучи-Hanson, в то время как для более высокого к , то соответствует многоцентровой метрике Гиббонса – Хокинга.
Это неполный список; есть и другие.
Примеры
Ниже будет удобно записать гравитационные инстантонные решения, используя левоинвариантные 1-формы на трехмерной сфере S 3 (рассматриваемой как группа Sp (1) или SU (2)). Их можно определить в терминах углов Эйлера следующим образом:
Обратите внимание, что для циклический.
Метрика Тауб – NUT
Метрика Егучи – Хансона
Пространство Егучи – Хансона определяется метрикой кокасательное расслоение 2-сферы. Эта метрика
где . Эта метрика является гладкой всюду, если у нее нет конической особенности в точке, . Для это произойдет, если имеет период , что дает плоскую метрику на R 4 ; Однако для это произойдет, если имеет период .
Асимптотически (т. Е. В пределе ) метрика выглядит как
что наивно кажется плоской метрикой на R 4 . Однако для, как мы видели, имеет только половину обычной периодичности. Таким образом, метрика асимптотически является R 4 с отождествлением, которая является подгруппой Z 2 в SO (4) , группе вращений R 4 . Поэтому метрика называется асимптотически R 4 / Z 2 .
Происходит преобразование в другую систему координат , в которой метрика имеет вид
где
- (При a = 0 , а новые координаты определяются следующим образом: сначала определяется а затем параметризует , а также по координатам R 3, т.е. ).
В новых координатах имеет обычную периодичность
Можно заменить V на
Для некоторых n точек, я = 1, 2 ..., п . Это дает многоцентровый гравитационный инстантон Егучи – Хансона, который снова является гладким всюду, если угловые координаты имеют обычную периодичность (чтобы избежать конических особенностей ). Асимптотический предел () эквивалентно взятию всех к нулю и, изменив координаты обратно на r, а также , и переопределение , получаем асимптотическую метрику
Это R 4 / Z n = C 2 / Z n , потому что это R 4 с угловой координатой заменен на , имеющий неправильную периодичность ( вместо ). Другими словами, это R 4, обозначенный как, или, что то же самое, C 2, обозначенное как z i ~ z i для i = 1, 2.
В заключение, многоцентровая геометрия Эгучи – Хансона - это плоская геометрия Кэлера- Риччи, которая асимптотически является C 2 / Z n . Согласно теореме Яу, это единственная геометрия, удовлетворяющая этим свойствам. Следовательно, это также геометрия орбифолда C 2 / Z n в теории струн после того, как его коническая сингулярность была сглажена его «вздутием» (т. Е. Деформацией). [3]
Многоцентровые показатели Гиббонса – Хокинга
Многоцентровые метрики Гиббонса-Хокинга приведены в [4] [5]
где
Здесь, соответствует multi-Taub – NUT, а также это плоское пространство, и а также - решение Егучи – Хансона (в разных координатах).
Рекомендации
- ^ Эгучи, Тора; Гилки, Питер Б.; Хэнсон, Эндрю Дж. (1980). «Гравитация, калибровочные теории и дифференциальная геометрия» . Отчеты по физике . 66 (6): 213–393. Bibcode : 1980PhR .... 66..213E . DOI : 10.1016 / 0370-1573 (80) 90130-1 . ISSN 0370-1573 .
- ^ Егучи, Тору; Фройнд, Питер ГО (1976-11-08). «Квантовая гравитация и топология мира». Письма с физическим обзором . 37 (19): 1251–1254. Bibcode : 1976PhRvL..37.1251E . DOI : 10.1103 / physrevlett.37.1251 . ISSN 0031-9007 .
- ^ Дуглас, Майкл Р .; Мур, Грегори (1996). «D-браны, колчаны и инстантоны ALE». arXiv : hep-th / 9603167 .
- ^ Хокинг, SW (1977). «Гравитационные инстантоны». Физика Буквы A . 60 (2): 81–83. Bibcode : 1977PhLA ... 60 ... 81H . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (77) 90386-3 . ISSN 0375-9601 .
- ^ Гиббонс, GW; Хокинг, SW (1978). «Гравитационные мультиинстантоны». Физика Письма Б . 78 (4): 430–432. Bibcode : 1978PhLB ... 78..430G . DOI : 10.1016 / 0370-2693 (78) 90478-1 . ISSN 0370-2693 .
- Гиббонс, GW; Хокинг, Юго-Запад (октябрь 1978 г.). «Гравитационные мультиинстантоны». Физика Письма Б . 78 (4): 430–432. Bibcode : 1978PhLB ... 78..430G . DOI : 10.1016 / 0370-2693 (78) 90478-1 .
- Гиббонс, GW; Хокинг, Юго-Запад (октябрь 1979 г.). «Классификация гравитационных симметрий инстантона» . Сообщения по математической физике . 66 (3): 291–310. Bibcode : 1979CMaPh..66..291G . DOI : 10.1007 / BF01197189 . S2CID 123183399 .
- Егучи, Тору; Хэнсон, Эндрю Дж. (Апрель 1978 г.). «Асимптотически плоские самодуальные решения евклидовой гравитации» . Физика Письма Б . 74 (3): 249–251. Bibcode : 1978PhLB ... 74..249E . DOI : 10.1016 / 0370-2693 (78) 90566-X . ОСТИ 1446816 .
- Егучи, Тору; Хэнсон, Эндрю Дж (июль 1979). «Самодуальные решения евклидовой гравитации» . Летопись физики . 120 (1): 82–106. Bibcode : 1979AnPhy.120 ... 82E . DOI : 10.1016 / 0003-4916 (79) 90282-3 .
- Егучи, Тору; Хэнсон, Эндрю Дж. (Декабрь 1979 г.). «Гравитационные инстантоны». Общая теория относительности и гравитации . 11 (5): 315–320. Bibcode : 1979GReGr..11..315E . DOI : 10.1007 / BF00759271 . S2CID 123806150 .
- Кронхеймер, ПБ (1989). «Построение ALE-пространств как гипер-кэлеровых факторов» . Журнал дифференциальной геометрии . 29 (3): 665–683. DOI : 10.4310 / JDG / 1214443066 .