Твисторная теория

В теоретической физике , теории твисторной была предложена Роджер Пенроуз в 1967 году ^[1] в качестве возможного пути ^[2] к квантовой гравитации и превратились в отрасль теоретической и математической физики . Пенроуз предположил, что твисторное пространство должно быть основной ареной физики, из которой должно возникнуть само пространство-время. Это приводит к мощному набору математических инструментов, которые имеют приложения к дифференциальной и интегральной геометрии , нелинейным дифференциальным уравнениям и теории представлений, а также к физике.общая теория относительности и квантовая теория поля , в частности к амплитудам рассеяния .

Обзор [ править ]

Математически проективное твисторное пространство представляет собой 3-мерное комплексное многообразие , комплексное проективное 3-пространство . Он имеет физическую интерпретацию пространства безмассовых частиц со спином . Это проективизация из 4-мерного комплексного векторного пространства , не-проективного твисторное пространства с эрмитовой формой из сигнатуры (2,2) и голоморфной формы объема . Наиболее естественно это можно понять как пространство киральных ( вейлевских ) спиноров для${\ displaystyle \ mathbb {PT}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbb {T}}$ конформная группа из пространства Минковского ; это фундаментальное представление о спиновой группе конформной группы. Это определение может быть расширено до любых измерений, за исключением того, что помимо четырех размерности проективное твисторное пространство определяется как пространство проективных чистых спиноров для конформной группы. ^{[3] [4]}${\ Displaystyle SO (4,2) / \ mathbb {Z} _ {2}}$ ${\ displaystyle SU (2,2)}$

В своей первоначальной форме твисторная теория кодирует физические поля в пространстве Минковского в сложные аналитические объекты в твисторном пространстве с помощью преобразования Пенроуза . Это особенно естественно для безмассовых полей произвольного спина . В первом случае они получаются с помощью формул контурного интеграла в терминах свободных голоморфных функций на областях в твисторном пространстве. Голоморфные твисторные функции, которые порождают решения безмассовых уравнений поля, более правильно понимать как чешские представители классов аналитических когомологий на областях в${\ displaystyle \ mathbb {PT}}$. Эти соответствия были распространены на некоторые нелинейные поля, включая самодуальную гравитацию в конструкции нелинейного гравитона Пенроуза ^[5] и самодуальные поля Янга – Миллса в конструкции Уорда ; ^[6] первый порождает деформации базовой сложной структуры областей в , а второй - некоторые голоморфные векторные расслоения над областями в . Эти конструкции нашли широкое применение. ^{[7] [8] [9]}${\ displaystyle \ mathbb {PT}}$${\ displaystyle \ mathbb {PT}}$

Условие самодуальности является основным ограничением для включения полной нелинейности физических теорий, хотя этого достаточно для монополей и инстантонов Янга – Миллса – Хиггса (см. Конструкцию ADHM ). ^[10] Первой попыткой преодолеть это ограничение было введение амбитвисторов Эдвардом Виттеном ^[11] и Айзенбергом, Яскин и Грин. ^[12] Пространство амбитвистора - это пространство комплексифицированных световых лучей или безмассовых частиц, и его можно рассматривать как комплексообразующий или котангенсный пучок исходного описания твистора. Они применимы к общим полям, но уравнения поля уже не так просто выражаются.

Твисториальные формулы для взаимодействий за пределами самодуального сектора впервые возникли из теории твисторных струн Виттена . ^[13] Это квантовая теория голоморфных отображений римановой поверхности в твисторное пространство. Он породил удивительно компактные формулы RSV (Ройбана, Спрадлина и Воловича) для S-матриц трехуровневых теорий Янга – Миллса ^[14], но его гравитационные степени свободы породили версию конформной супергравитации, ограничивающую ее применимость; конформная гравитация - нефизическая теория, содержащая призраков, но его взаимодействия сочетаются с взаимодействиями теории Янга – Миллса в амплитудах петель, рассчитанных с помощью теории твисторных струн. ^[15]

Несмотря на свои недостатки, теория твисторных струн привела к быстрому развитию исследований амплитуд рассеяния. Одним из них был так называемый формализм MHV ^{[16], который} слабо основывался на разъединенных струнах, но получил более фундаментальную основу в терминах твисторного действия для полной теории Янга – Миллса в твисторном пространстве. ^[17] Еще одним ключевым событием стало введение рекурсии BCFW. ^[18] Это имеет естественную формулировку в твисторном пространстве ^{[19] [20],} что, в свою очередь, привело к замечательным формулировкам амплитуд рассеяния в терминах интегральных формул Грассмана ^{[21] [22]} и многогранников . ^[23]Эти идеи недавно эволюционировали в положительный грассманиан ^[24] и амплитуэдр .

Твисторная теория струн была расширена сначала путем обобщения формулы амплитуды RSV Янга – Миллса, а затем путем открытия лежащей в основе теории струн . Расширение гравитации было дано Качазо и Скиннером ^[25] и сформулировано как теория твисторных струн для максимальной супергравитации Дэвидом Скиннером. ^[26] Аналогичные формулы были затем найдены во всех измерениях Качазо, Хе и Юаном для теории Янга – Миллса и гравитации ^[27], а затем и для множества других теорий. ^[28] Затем они были поняты Мейсоном и Скиннером как теории струн в амбитвисторном пространстве ^[29]в общей структуре, которая включает исходную крутящуюся струну и расширяется, чтобы дать ряд новых моделей и формул. ^{[30] [31] [32]} Как теории струн, они имеют те же критические размеры, что и традиционная теория струн; например, суперсимметричные версии типа II критичны в десяти измерениях и эквивалентны полной теории поля супергравитации II типа в десяти измерениях (это отличается от традиционных теорий струн, которые также имеют дополнительную бесконечную иерархию массивных состояний с более высоким спином, которые обеспечивают ультрафиолетовое завершение ). Они расширяются до формул для амплитуд петель ^{[33] [34]} и могут быть определены на искривленном фоне. ^[35]

Твисторная переписка [ править ]

Обозначим пространство Минковского через , с координатами и лоренцевой метрической сигнатурой . Ввести двухкомпонентные спинорные индексы и установить${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle х ^ {а} = (т, х, у, г)}$${\ displaystyle \ eta _ {ab}}$${\ displaystyle (1,3)}$${\ Displaystyle A = 0,1; \; A '= 0', 1 ',}$

${\ displaystyle x ^ {AA '} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} tz & x + iy \\ x-iy & t + z \ end {pmatrix}}.}$

Непроективное твисторное пространство - это четырехмерное комплексное векторное пространство с координатами, обозначенными где и - два постоянных спинора Вейля . Эрмитова форма может быть выражена путем определения комплексного сопряжения от к двойственному с помощью, так что эрмитова форма может быть выражена как${\ displaystyle \ mathbb {T}}$${\ Displaystyle Z ^ {\ alpha} = \ left (\ omega ^ {A}, \, \ pi _ {A '} \ right)}$${\ displaystyle \ omega ^ {A}}$${\ displaystyle \ pi _ {A '}}$${\ displaystyle \ mathbb {T}}$${\ Displaystyle \ mathbb {T} ^ {*}}$${\ displaystyle {\ bar {Z}} _ {\ alpha} = \ left ({\ bar {\ pi}} _ {A}, \, {\ bar {\ omega}} ^ {A '} \ right) }$

${\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }=\omega ^{A}{\bar {\pi }}_{A}+{\bar {\omega }}^{A'}\pi _{A'}.}$

Это вместе с голоморфной формой объема инвариантно относительно группы SU (2,2), четверного покрытия конформной группы C (1,3) компактифицированного пространства-времени Минковского.${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }Z^{\alpha }dZ^{\beta }\wedge dZ^{\gamma }\wedge dZ^{\delta }}$

Точки в пространстве Минковского связаны с подпространствами твисторного пространства соотношением инцидентности

${\displaystyle \omega ^{A}=ix^{AA'}\pi _{A'}.}$

Отношение инцидентности сохраняется при полном масштабировании твистора, поэтому обычно работают в проективном твисторном пространстве, которое как комплексное многообразие изоморфно . Точка , таким образом , определяет линию в параметризуется твисторным проще всего понимаются в пространстве-время для комплексных значений координат , где она определяет совершенно пустые двухплоскостную, которое автодуальное. Возьмем за реальную, тогда, если она равна нулю, то лежит на луче света, тогда как если не обращается в нуль, решений нет, и тогда она действительно соответствует безмассовой частице со спином, не локализованным в реальном пространстве-времени.${\displaystyle \mathbb {PT} ,}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {PT} }$${\displaystyle \pi _{A'}.}$${\displaystyle Z^{\alpha }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }}$${\displaystyle Z^{\alpha }}$

Варианты [ править ]

Супертвисторы [ править ]

Супертвисторы - это суперсимметричное расширение твисторов, введенное Аланом Фербером в 1978 году. ^[36] Непроективное твисторное пространство расширено фермионными координатами, где - количество суперсимметрий, так что твистор теперь задается с помощью антикоммутирования. Суперконформная группа естественным образом действует на этом пространстве, и суперсимметричная версия преобразования Пенроуза переводит классы когомологий на супертвисторном пространстве в безмассовые суперсимметричные мультиплеты на суперпространстве Минковского. Корпус обеспечивает цель для исходной строки твисторного Пенроуза и дело в том , что для супергравитации обобщения Скиннера.${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle \left(\omega ^{A},\,\pi _{A'},\,\eta ^{i}\right),i=1,\ldots ,{\mathcal {N}}}$${\displaystyle \eta ^{i}}$${\displaystyle SU(2,2|{\mathcal {N}})}$${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$${\displaystyle {\mathcal {N}}=8}$

Гиперкэлеровы многообразия [ править ]

Гиперкэлеровые многообразия размерности также допускают твисторное соответствие с твисторным пространством комплексной размерности .${\displaystyle 4k}$${\displaystyle 2k+1}$

Теория дворцового твистора [ править ]

Конструкция нелинейного гравитона кодирует только антисамодуальные, т. Е. Левые поля. ^[5] Первым шагом к проблеме модификации твисторного пространства для кодирования общего гравитационного поля является кодирование правых полей. В бесконечно малой степени они закодированы в твисторных функциях или классах когомологий однородности −6. Задача использования таких твисторных функций полностью нелинейным образом для получения правостороннего нелинейного гравитона была названа ( гравитационной ) проблемой гугли (слово « гугли » - это термин, используемый в игре в крикет.для шара, бьющего с правой спиральностью, с использованием кажущегося действия, которое обычно вызывает левую спиральность). ^[37] Последнее предложение Пенроуза в 2015 году в этом направлении было основано на некоммутативной геометрии твисторного пространства и названо дворцовой твисторной теорией . ^[38] Теория названа в честь Букингемского дворца , где Майкл Атия предложил Пенроузу использовать тип « некоммутативной алгебры », важный компонент теории (лежащая в основе твисторная структура в дворцовой твисторной теории была смоделирована не на твисторном пространстве. а на некоммутативном голоморфном твистореквантовая алгебра ). ^[39]

См. Также [ править ]

• Фоновая независимость
• Сложное пространство-время
• История петлевой квантовой гравитации
• Сравнения Робинсона
• Спиновая сеть

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Роджер Пенроуз (2004), Дорога к реальности , Альфред А. Кнопф, гл. 33. С. 958–1009.
• Роджер Пенроуз и Вольфганг Риндлер (1984), Спиноры и пространство-время; т. 1, Двухспиновое исчисление и релятивитные поля , Cambridge University Press, Кембридж.
• Роджер Пенроуз и Вольфганг Риндлер (1986), Спиноры и пространство-время; т. 2, Спинорные и твисторные методы в геометрии пространства-времени , Cambridge University Press, Кембридж.

Дальнейшее чтение [ править ]

• Атья, М., Дунайски, М., и Мейсон, Л. Дж. (2017). «Теория твисторов в пятьдесят: от контурных интегралов до твисторных струн» . Proc. R. Soc. . 473  (2206): 20170530.  DOI : 10.1098 / rspa.2017.0530 . ISSN  1364-5021 .
• Бэрд, П., " Введение в твисторы ".
• Хаггетт, С. и Тод, К.П. (1994). Введение в теорию твисторов , второе издание. Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521456890 . OCLC 831625586 .  
• Хьюстон, Л.П. (1979) Твисторы и частицы . Конспект лекций по физике 97, Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-09244-5 . 
• Хьюстон, Л. П. и Уорд, Р. С., ред. (1979) Успехи в теории твисторов . Питман. ISBN 0-273-08448-8 . 
• Мейсон, Л.Дж. и Хьюстон, Л.П., редакторы (1990). Дальнейшие достижения в теории твисторов, том I: Преобразование Пенроуза и его приложения . Pitman Research Notes in Mathematics Series 231, Longman Scientific and Technical. ISBN 0-582-00466-7 . 
• Мейсон, Л.Дж., Хьюстон, Л.П., и Кобак, П.К., редакторы (1995). Дальнейшие достижения в твисторной теории, том II: интегрируемые системы, конформная геометрия и гравитация . Pitman Research Notes in Mathematics Series 232, Longman Scientific and Technical. ISBN 0-582-00465-9 . 
• Мейсон, Л.Дж., Хьюстон, Л.П., Кобак, П.К., и Пульверер, К., редакторы (2001) Дальнейшие достижения в теории твисторов, Том III: Изогнутые твисторные пространства . Исследования по математике 424, Чепмен и Холл / CRC. ISBN 1-58488-047-3 . 
• Пенроуз, Роджер (1967), "Твисторная алгебра" , журнал математической физики , 8 (2): 345–366, Bibcode : 1967JMP ..... 8..345P , doi : 10.1063 / 1.1705200 , MR  0216828 , заархивировано из оригинал от 12.01.2013
• Пенроуз, Роджер (1968), "Твисторная квантование и искривленное пространство-время", Международный журнал теоретической физики , 1 (1): 61–99, Bibcode : 1968IJTP .... 1 ... 61P , doi : 10.1007 / BF00668831
• Пенроуз, Роджер (1969), "Решения уравнений нулевой массы покоя" , Журнал математической физики , 10 (1): 38–39, Bibcode : 1969JMP .... 10 ... 38P , doi : 10.1063 / 1.1664756 , заархивировано из оригинала 12.01.2013
• Пенроуз, Роджер (1977), "твисторном Программа" Отчеты по математической физике , 12 (1): 65-76, Bibcode : 1977RpMP ... 12 ... 65P , DOI : 10,1016 / 0034-4877 (77) 90047 -7 , Руководство по ремонту  0465032
• Пенроуз, Роджер (1999) « Центральная программа теории твисторов» , Хаос, солитоны и фракталы 10: 581–611.
• Виттен, Эдвард (2004), "Теория пертурбативных калибровок как теория струн в твисторном пространстве", Сообщения по математической физике , 252 (1–3): 189–258, arXiv : hep-th / 0312171 , Bibcode : 2004CMaPh.252. .189W , DOI : 10.1007 / s00220-004-1187-3

Внешние ссылки [ править ]

• Пенроуз, Роджер (1999), " Уравнение Эйнштейна и твисторная теория: последние разработки "
• Пенроуз, Роджер; Хадрович, Федя. « Твисторная теория ».
• Хадрович, Федя, " Твистор Праймер ".
• Пенроуз, Роджер. « Об истоках твисторной теории ».
• Джозса, Ричард (1976), " Применение когомологий пучков в твисторной теории ".
• Дунайский, Мацей, " Твисторная теория и дифференциальные уравнения ".
• Эндрю Ходжес , Краткое изложение последних событий.
• Хаггетт, Стивен (2005), « Элементы твисторной теории ».
• Мейсон, LJ, " Твисторная программа и твисторные струны: от твисторных струн до квантовой гравитации? "
• Sämann, Кристиан (2006), « Аспекты Твисторной геометрии и Суперсимметричные теории поля в рамках теории суперструна. »
• Спарлинг, Джордж (1999), « Временная асимметрия ».
• Spradlin, Marcus (2006), " Прогресс и перспективы в Твисторные теории струн. "
• MathWorld: Твисторы.
• Обзор Вселенной: « Твисторная теория ».
• Архив рассылки Twistor .