В математике , интегральная геометрия является теорией мер по геометрическому пространству , инвариантного относительно группы симметрии этого пространства. В последнее время значение было расширено, чтобы включить представление об инвариантных (или эквивариантных ) преобразованиях из пространства функций в одном геометрическом пространстве в пространство функций в другом геометрическом пространстве. Такие преобразования часто принимают форму интегральных преобразований, таких как преобразование Радона и его обобщения.
Классический контекст
Интегральная геометрия как таковая впервые возникла как попытка уточнить некоторые положения геометрической теории вероятностей . Ранние работы Луиса Сантало [1] и Вильгельма Блашке [2] были в этой связи. Это следует из классической теоремы Крофтона, выражающей длину плоской кривой как математическое ожидание числа пересечений со случайной линией. Здесь слово «случайный» следует интерпретировать как подлежащее правильному рассмотрению симметрии.
Существует примерное пространство прямых, на котором действует аффинная группа плоскости. На этом пространстве ищется вероятностная мера , инвариантная относительно группы симметрии. Если, как в этом случае, мы сможем найти такую уникальную инвариантную меру, тогда это решит проблему точной формулировки того, что означает «случайная линия», и ожидания становятся интегралами по отношению к этой мере. (Обратите внимание, например, что фразу «случайный аккорд круга» можно использовать для построения некоторых парадоксов - например , парадокса Бертрана .)
Таким образом , мы можем сказать , что интегральная геометрия в этом смысле является применением теории вероятностей (как аксиоматизирован Колмогоровым ) в контексте программы Эрлангена из Klein . Содержание теории является эффективно , что инвариант (гладкий) мер по (предпочтительно компактные ) однородных пространства из групп Ли ; и вычисление интегралов дифференциальных форм . [3]
Очень известный случай - проблема с иглой Бюффона : бросьте иглу на пол, сделанный из досок, и вычислите вероятность того, что игла пройдет через трещину. Обобщая, эта теория применяется к различным случайным процессам, связанным с геометрическими вопросами и вопросами инцидентности. См. Стохастическую геометрию .
Одной из наиболее интересных теорем в этой форме интегральной геометрии является теорема Хадвигера в евклидовой ситуации. Впоследствии теоремы типа Хадвигера были установлены в различных условиях, особенно в эрмитовой геометрии, с использованием передовых инструментов теории оценки .
Более поздний смысл интегральной геометрии принадлежит Сигурдуру Хельгасону [4] [5] и Израилю Гельфанду . [6] В нем более конкретно рассматриваются интегральные преобразования, смоделированные на основе преобразования Радона . Здесь лежащая в основе геометрическая зависимость падения (точки, лежащие на линиях, в случае Крофтона) видна в более свободном свете, как место для интегрального преобразования, составленного как откат на график инцидентности и затем продвижение вперед .
Заметки
- ^ Луис Сантало (1953) Введение в интегральную геометрию , Герман (Париж)
- ^ Вильгельм Блашке (1955) Vorlesungen über Integralgeometrie , VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften
- ^ Луис Сантало (1976) Интегральная геометрия и геометрическая вероятность , Addison Wesley ISBN 0201135000
- ^ Сигурдур Хелгасон (2000) Группы и геометрический анализ: интегральная геометрия, инвариантные дифференциальные операторы и сферические функции , Американское математическое обществоISBN 0821826735
- ^ Сигурдур Хельгасон (2011) Интегральная геометрия и преобразования Радона , Springer, ISBN 9781441960542
- ^ И. М. Гельфанд (2003) Избранные темы интегральной геометрии , Американское математическое общество ISBN 0821829327
Рекомендации
- Шушурин С.Ф. (2001) [1994], "Интегральная геометрия" , Энциклопедия математики , EMS Press