Оценка (геометрия)

В геометрии , A оценки является конечно - аддитивной функцией на совокупности допустимых подмножеств фиксированного множества со значениями в абелевой полугруппе . Например, мера Лебега - это оценка конечных объединений выпуклых тел (т. Е. Непустых компактных выпуклых множеств) евклидова пространства . Другими примерами оценок конечных объединений выпуклых тел являются площадь поверхности, средняя ширина и эйлерова характеристика .${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

В геометрической обстановке на оценки часто накладываются условия непрерывности (или гладкости), но существуют и чисто дискретные аспекты теории. Фактически, концепция оценки берет свое начало в теории рассечений многогранников и, в частности, в третьей проблеме Гильберта , которая превратилась в богатую теорию, в значительной степени опирающуюся на продвинутые инструменты абстрактной алгебры.

Определение [ править ]

Позвольте быть набором и быть набором допустимых подмножеств . Функция на со значениями в абелевой полугруппе называется оценкой, если она удовлетворяет ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle R}$

всякий раз , когда , , , и являются элементами . Если , то всегда предполагают .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ Displaystyle A \ чашка B}$${\ displaystyle A \ cap B}$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle \ emptyset \ in {\ mathcal {S}}}$${\ Displaystyle \ фи (\ emptyset) = 0}$

Примеры [ править ]

Некоторыми общими примерами допустимых множеств являются непустые компактные выпуклые множества (выпуклые тела) в , компактные выпуклые многогранники в , выпуклые конусы и гладкие компактные многогранники в гладком многообразии .${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle X}$

Позвольте быть конечномерным векторным пространством над и обозначать множество выпуклых тел в .${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} (V)}$${\ displaystyle V}$

• Эйлерова характеристика является нормированием , и она распространяется как оценка к сборнику конечных объединений выпуклых тел.${\ Displaystyle \ чи (К) = 1}$${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} (V)}$
• Любая мера Лебега на , ограниченная выпуклыми телами, является оценкой на .${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} (V)}$
• К оценкам, полученным на основе объема, относятся собственные объемы ,

где - нормализующая константа, - евклидов единичный шар и, в более общем смысле, смешанные объемы (с некоторыми фиксированными произвольно элементами). ${\displaystyle c_{n,i}}$${\displaystyle B^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$

• Перечислитель точек решетки , где - решетка целых чисел, является оценкой на многогранниках решетки.${\displaystyle G(P)=|\mathbb {Z} ^{n}\cap P|}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$
• Карта , где${\displaystyle K\mapsto h_{K}}$

является поддержка функции из , является нормирование .${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$

Оценки выпуклых тел [ править ]

Оценка на называется инвариантной относительно сдвига if для всех выпуклых тел .${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$${\displaystyle \phi (K+x)=\phi (K)}$${\displaystyle x\in V}$${\displaystyle K}$

Позвольте быть два выпуклых тела в . После выбора евклидова скалярного произведения их хаусдорфово расстояние определяется формулой${\displaystyle K,L}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle d_{H}(K,L)}$

где обозначает -соседство . С этой метрикой есть локально компактное пространство.${\displaystyle K_{\varepsilon }}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$

Пространство непрерывных трансляционно-инвариантных оценок при принятии значений в комплексных числах обозначается .${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$

Топология на - это топология равномерной сходимости на компактных подмножествах . Оборудован по норме ${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$

где - ограниченное подмножество с непустой внутренностью, - банахово пространство .${\displaystyle B\subset V}$${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$

Однородные оценки [ править ]

Трансляционно-инвариантная непрерывная оценка называется -однородной, если ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} (V)}$${\displaystyle i}$

для всех и . Подмножество из -однородных оценок является векторным подпространством . Теорема Макмаллена ^[1] о разложении утверждает, что${\displaystyle \lambda >0}$${\displaystyle K\in {\mathcal {K}}(V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}(V)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$

В частности, степень однородной оценки всегда является целым числом от и до .${\displaystyle 0}$${\displaystyle n=\operatorname {dim} V}$

Оценки оцениваются не только по степени однородности, но и по паритету относительно отражения через начало координат, а именно:

где с тогда и только тогда, когда для всех выпуклых тел . Элементы и называются четными и нечетными соответственно.${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} _{i}^{\epsilon }}$${\displaystyle \epsilon \in \{+,-\}}$${\displaystyle \phi (-K)=\epsilon \phi (K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{+}}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{-}}$

Это простой факт, который является -мерным и натянут на эйлерову характеристику , т.е. состоит из постоянных оценок на .${\displaystyle \operatorname {Val} _{0}(V)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$

В 1957 г. Хадвигер ^[2] доказал, что (где ) совпадает с -мерным пространством мер Лебега на .${\displaystyle \operatorname {Val} _{n}(V)}$${\displaystyle n=\dim V}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle V}$

Нормирование является простым , если для всех выпуклых тел с . Шнайдер ^[3] в 1996 г. описал все простые оценки на : они даются${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} (\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \phi (K)=0}$${\displaystyle \dim K<n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

где , - произвольная нечетная функция на единичной сфере , - мера площади поверхности . В частности, любая простая оценка представляет собой сумму - и неоднородной оценки. Это, в свою очередь, означает, что -однородная оценка однозначно определяется своими ограничениями на все -мерные подпространства.${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$${\displaystyle f\in C(S^{n-1})}$${\displaystyle S^{n-1}\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \sigma _{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle (i+1)}$

Теоремы вложения [ править ]

Вложение Клайн является линейным впрыскиванием , пространство даже -однородных оценок, в пространство непрерывных сечений канонического комплексного линейного расслоения над грассманианом из - мерных линейных подпространств . Его конструкция основана на характеристике Хадвигера ^[2] из -однородных оценок. Если и , то ограничение является элементом , и по теореме Хадвигера это мера Лебега. Следовательно${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{+}(V)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \operatorname {Gr} _{i}(V)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} _{i}(V)}$${\displaystyle E\in \operatorname {Gr} _{i}(V)}$${\displaystyle \phi |_{E}}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}(E)}$

определяет непрерывное сечение линии расслоение над волокном над равным в n - мерном пространстве от плотностей (лебеговы мер) на .${\displaystyle \operatorname {Gr} _{i}(V)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \operatorname {Dens} (E)}$${\displaystyle E}$

Теорема (Клайн ^[4] ). Линейное отображение инъективно.${\displaystyle \operatorname {Kl} \colon \operatorname {Val} _{i}^{+}(V)\to C(\operatorname {Gr} _{i}(V),\operatorname {Dens} (E))}$

Другая инъекция, известная как вложение Шнайдера, существует для нечетных оценок. Он основан на описании простых оценок Шнайдером. ^[3] Это линейная инъекция пространства нечетно- однородных оценок в некоторый фактор пространства непрерывных сечений линейного расслоения над частичным флаговым многообразием коориентированных пар . Его определение напоминает вложение Клайна, но более сложное. Подробности можно найти в ^[5]${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{-}(V)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle (F^{i}\subset E^{i+1})}$

Вложение Гуди-Вейля представляет собой линейную инъекцию в пространство распределений на -кратном произведении -мерной сферы. Это не что иное, как ядро Шварца естественной поляризации, допускаемой любым , а именно как функционал на -кратном произведении последнего пространства функций, имеющего геометрический смысл разностей опорных функций гладких выпуклых тел. Подробнее см. ^[5]${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} _{k}(V)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle C^{2}(S^{n-1})}$

Теорема о неприводимости [ править ]

Классические теоремы хадвигеровского, Шнайдер и McMullen дают достаточно точные описания оценок , которые являются однородными степени , и . Но до начала XXI века о градусах было известно очень мало. Гипотеза Макмаллена - это утверждение, что оценки ${\displaystyle 1}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n=\operatorname {dim} V}$${\displaystyle 1<i<n-1}$

покрывают плотное подпространство . Гипотеза Макмаллена была подтверждена Алескером в гораздо более сильной форме, которая стала известна как теорема о неприводимости:${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$

Теорема (Алескер ^[6] ). Для каждого естественное действие на пространствах и неприводимо.${\displaystyle 0\leq i\leq n}$${\displaystyle GL(V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{+}(V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{-}(V)}$

Здесь действие полной линейной группы на определяется выражением ${\displaystyle GL(V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$

Доказательство теоремы о неприводимости основано на теоремах вложения из предыдущего раздела и локализации Бейлинсона-Бернштейна .

Гладкие оценки [ править ]

Оценка называется гладкой, если отображение из в гладкое. Другими словами, является гладким тогда и только тогда, когда является гладким вектором естественного представления on . Пространство гладких оценок плотно в ; он снабжен естественной топологией пространства Фреше, более тонкой, чем индуцированная .${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} (V)}$${\displaystyle g\mapsto g\cdot \phi }$${\displaystyle GL(V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle GL(V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$

Для любой (комплекснозначной) гладкой функции на ,${\displaystyle f}$${\displaystyle \operatorname {Gr} _{i}(\mathbb {R} ^{n})}$

где обозначает ортогональную проекцию, а - мера Хаара, определяет гладкую четную оценку степени . Из теоремы о неприводимости и теоремы Кассельмана-Уоллаха следует, что любое гладкое четное нормирование может быть представлено таким образом. Такое представление иногда называют формулой Крофтона .${\displaystyle P_{E}\colon \mathbb {R} ^{n}\to E}$${\displaystyle dE}$${\displaystyle i}$

Для любой (комплексной) гладкой дифференциальной формы, которая инвариантна относительно всех переносов и каждого числа , интегрирование по нормальному циклу определяет гладкую оценку:${\displaystyle \omega \in \Omega ^{n-1}(\mathbb {R} ^{n}\times S^{n-1})}$${\displaystyle (x,u)\mapsto (x+t,u)}$${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \phi (K)=c\operatorname {vol} _{n}(K)+\int _{N(K)}\omega ,\qquad K\in {\mathcal {K}}(\mathbb {R} ^{n}).}$$

( 1 )

Как набор, нормальный цикл состоит из внешних единичных нормалей к . Из теоремы о неприводимости следует, что каждое гладкое нормирование имеет такой вид.${\displaystyle N(K)}$${\displaystyle K}$

Операции над трансляционно-инвариантными оценками [ править ]

На подпространстве гладких оценок определено несколько естественных операций . Самая важная из них - произведение двух гладких оценок. Вместе с откатом и продвижением эта операция распространяется на оценки на многообразиях.${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\subset \operatorname {Val} (V)}$

Внешний продукт [ править ]

Позвольте быть конечномерными вещественными векторными пространствами. Существует билинейное отображение, называемое внешним произведением, ${\displaystyle V,W}$

который однозначно характеризуется следующими двумя свойствами:

• она непрерывна относительно обычных топологий на и .${\displaystyle \operatorname {Val} }$${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }}$
• если и где и - выпуклые тела с гладкой границей и строго положительной гауссовой кривизной, а и - плотности на и , то${\displaystyle \phi =\operatorname {vol} _{V}(\bullet +A)}$${\displaystyle \psi =\operatorname {vol} _{W}(\bullet +B)}$${\displaystyle A\in {\mathcal {K}}(V)}$${\displaystyle B\in {\mathcal {K}}(W)}$${\displaystyle \operatorname {vol} _{V}}$${\displaystyle \operatorname {vol} _{W}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$

Продукт [ править ]

Произведение двух гладких оценок определяется формулой ${\displaystyle \phi ,\psi \in \operatorname {Val} ^{\infty }(V)}$

где - диагональное вложение. Продукт представляет собой непрерывную карту ${\displaystyle \Delta \colon V\to V\times V}$Оснащенный этим продуктом, она становится коммутативной ассоциативной градуированной алгеброй с характеристикой Эйлера в качестве мультипликативного тождества.${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)}$

Двойственность Алескера-Пуанкаре [ править ]

По теореме Алескера ограничение произведения

является невырожденным спариванием. Это мотивирует определение -однородной обобщенной оценки , обозначаемой как , топологизированной слабой топологией. По двойственности Алескера-Пуанкаре существует естественное плотное включение .${\displaystyle k}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{k}^{-\infty }(V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{n-k}^{\infty }(V)^{*}\otimes \operatorname {Dens} (V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{k}^{\infty }(V)\hookrightarrow \operatorname {Val} _{k}^{-\infty }(V)}$

Свертка [ править ]

Свертка - это натуральный продукт . Для простоты, мы фиксируем плотность на упрощать второй фактор. Определим для фиксированной с гладкой границей и строго положительной гауссовой кривизной ${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\otimes \operatorname {Dens} (V^{*})}$${\displaystyle \operatorname {vol} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle A,B\in {\mathcal {K}}(V)}$

Тогда существует уникальное продолжение по непрерывности до карты называется сверткой. В отличии от продукта, свертка уважает сотрудничество градуировки, а именно , если , , то .${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} _{n-i}^{\infty }(V)}$${\displaystyle \psi \in \operatorname {Val} _{n-j}^{\infty }(V)}$${\displaystyle \phi \ast \psi \in \operatorname {Val} _{n-i-j}^{\infty }(V)}$

Например, пусть обозначает смешанный объем выпуклых тел . Если выпуклые тела в с гладкой границей и строго положительной гауссовой кривизной фиксированы, то определяет гладкую оценку степени . Свертка двух таких оценок есть${\displaystyle V(K_{1},\ldots ,K_{n})}$${\displaystyle K_{1},\ldots ,K_{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n-i}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \phi (K)=V(K[i],A_{1},\dots ,A_{n-i})}$${\displaystyle i}$

где - константа, зависящая только от .${\displaystyle c_{i,j}}$${\displaystyle i,j,n}$

Преобразование Фурье [ править ]

Преобразование Алескера-Фурье является естественным -эквивариантным изоморфизмом комплекснозначных нормирований. ${\displaystyle GL(V)}$

открытый Алескером и обладающий многими свойствами, напоминающими классическое преобразование Фурье, что и объясняет его название.

Он меняет порядок сортировки, а именно , и переплетает продукт и свертку:${\displaystyle \mathbb {F} :\operatorname {Val} _{k}^{\infty }(V)\to \operatorname {Val} _{n-k}^{\infty }(V^{*})\otimes \operatorname {Dens} (V)}$

Крепление для простоты евклидова структуры для определения , мы имеем тождество${\displaystyle V=V^{*}}$${\displaystyle \operatorname {Dens} (V)=\mathbb {C} }$

На даже оценках, есть описание простого преобразования Фурье с точкой зрения вложения Клайн: . В частности, даже действительные оценки остаются действительными после преобразования Фурье.${\displaystyle \operatorname {Kl} _{\mathbb {F} \phi }(E)=\operatorname {Kl} _{\phi }(E^{\perp })}$

Для нечетных оценок описание преобразования Фурье значительно сложнее. В отличие от четного случая, он уже не носит чисто геометрического характера. Например, не сохраняется пространство действительных нечетных оценок.

Откат и вперед [ править ]

Для линейной карты есть индуцированные операции отката и продвижения вперед . Откат является более простым из двух, определяемых выражением . Очевидно, что он сохраняет паритет и степень однородности оценки. Обратите внимание, что откат не сохраняет плавность, когда не является инъективным.${\displaystyle f:U\to V}$${\displaystyle f^{*}:\operatorname {Val} (V)\to \operatorname {Val} (U)}$${\displaystyle f_{*}:\operatorname {Val} (U)\otimes \operatorname {Dens} (U)^{*}\to \operatorname {Val} (V)\otimes \operatorname {Dens} (V)^{*}}$${\displaystyle f^{*}\phi (K)=\phi (f(K))}$${\displaystyle f}$

Формально определить дальнейшие действия труднее. Для простоты зафиксируем меры Лебега на и . Прогресс можно однозначно охарактеризовать, описав его действие на оценки формы для всех , а затем распространить по непрерывности на все оценки с помощью теоремы о неприводимости. Для сюръективных карт , ${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \operatorname {vol} (\bullet +A)}$${\displaystyle A\in {\mathcal {K}}(U)}$${\displaystyle f}$

Для включения выберите расщепление . потом ${\displaystyle f:U\hookrightarrow V}$${\displaystyle V=U\oplus W}$Неформально прямое движение вперед двойственно откату по отношению к паре Алескера-Пуанкаре: для и , ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} (V)}$${\displaystyle \psi \in \operatorname {Val} (U)\otimes \operatorname {Dens} (U)^{*}}$Однако это тождество должно быть тщательно интерпретировано, поскольку спаривание корректно определено только для гладких оценок. Подробнее см. ^[7]

Расценки на многообразиях [ править ]

В серии статей, начатой ​​в 2006 г., Алескер заложил основы теории оценок на многообразиях, которая расширяет теорию оценок на выпуклых телах. Ключевое наблюдение, ведущее к этому расширению, заключается в том, что с помощью интегрирования по нормальному циклу ( 1 ) гладкая инвариантная относительно трансляции оценка может быть оценена на множествах, более общих, чем выпуклые. Также ( 1 ) предлагает определить гладкие нормирования в целом, отказавшись от требования, чтобы форма была трансляционно-инвариантной, и заменив трансляционно-инвариантную меру Лебега произвольной гладкой мерой.${\displaystyle \omega }$

Пусть - n-мерное гладкое многообразие и пусть - расслоение ко-сфер , т. Е. Ориентированная проективизация кокасательного расслоения. Обозначим через набор компактных дифференцируемых многогранников в . Нормальный цикл из , который состоит из внешних сопутствующих нормалей к , естественно липшицевое подмногообразие размерности .${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} _{X}=\mathbb {P} _{+}(T^{*}X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle N(A)\subset \mathbb {P} _{X}}$${\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n-1}$

Для простоты изложения мы в дальнейшем предполагаем, что это ориентировано, хотя понятие гладких оценок фактически не зависит от ориентируемости. Пространство гладких оценок на состоит из функций вида${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \phi \colon {\mathcal {P}}(X)\to \mathbb {C} }$

где и может быть произвольным. Алескер показал, что гладкие нормирования на открытых подмножествах образуют мягкий пучок над .${\displaystyle \mu \in \Omega ^{n}(X)}$${\displaystyle \omega \in \Omega ^{n-1}(\mathbb {P} _{X})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Примеры [ править ]

Ниже приведены примеры гладких оценок на гладком многообразии :${\displaystyle X}$

• Плавные меры на .${\displaystyle X}$
• Эйлерова характеристика ; это следует из работы Черна ^[8] по теореме Гаусса-Бонне , где такие и были построены для представления эйлеровой характеристики. В частности, тогда это подынтегральное выражение Черна-Гаусса-Бонне , которое является пфаффианом тензора римановой кривизны.${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \mu }$
• Если является римановым, то оценки Липшица-Киллинга или внутренние объемы являются гладкими оценками. Если есть любое изометрическое погружение в евклидово пространство, то где обозначает обычные внутренние объемы на (определение отката см. Ниже). Существование этих оценок составляет суть формулы трубки Вейля. ^[9]${\displaystyle X}$${\displaystyle V_{0}^{X}=\chi ,V_{1}^{X},\ldots ,V_{n}^{X}=\mathrm {vol} _{X}}$${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle V_{i}^{X}=f^{*}V_{i}^{\mathbb {R} ^{m}},}$${\displaystyle V_{i}^{\mathbb {R} ^{m}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$
• Позвольте быть комплексным проективным пространством , и пусть обозначает грассманиан всех комплексных проективных подпространств фиксированной размерности . Функция${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$${\displaystyle \mathrm {Gr} _{k}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle k}$

где интегрирование по вероятностной мере Хаара на , является гладкой оценкой. Это следует из работы Фу. ^[10]${\displaystyle \mathrm {Gr} _{k}^{\mathbb {C} }}$

Фильтрация [ править ]

Пространство вообще не допускает естественной градуировки, но имеет каноническую фильтрацию. ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)}$

Здесь состоит из гладких мер на , и задается формами в идеале, порожденными , где - каноническая проекция.${\displaystyle W_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle W_{j}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \pi ^{*}\Omega ^{j}(X)}$${\displaystyle \pi :\mathbb {P} _{X}\to X}$

Соответствующее градуированное векторное пространство канонически изоморфно пространству гладких сечений${\displaystyle \bigoplus _{i=0}^{n}W_{i}/W_{i+1}}$

где обозначает векторное расслоение над таким, что слой над точкой является пространством -однородных гладких трансляционно-инвариантных нормирований на касательном пространстве .${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{\infty }(TX)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{\infty }(T_{x}X)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle T_{x}X}$

Продукт [ править ]

Пространство допускает натуральный продукт. Это произведение непрерывно, коммутативно, ассоциативно, совместимо с фильтрацией:${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)}$

и имеет эйлерову характеристику как единичный элемент. Он также коммутирует с ограничением на вложенные подмногообразия и группу диффеоморфизмов полигонов на автоморфизмах алгебры.${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)}$

Например, если он является римановым, оценки Липшица-Киллинга удовлетворяют ${\displaystyle X}$

Двойственность Алескера-Пуанкаре все еще сохраняется. Для компактных это говорит о том , что спаривание , является невырожденной. Как и в случае инвариантной трансляции, эту двойственность можно использовать для определения обобщенных оценок. В отличие от трансляционно-инвариантного случая, хорошего определения непрерывных оценок для оценок на многообразиях не существует.${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)\times {\mathcal {V}}^{\infty }(X)\to \mathbb {C} }$${\displaystyle (\phi ,\psi )\mapsto (\phi \cdot \psi )(X)}$

Произведение оценок точно отражает геометрическую операцию пересечения подмножеств. Неформально рассмотрим обобщенную оценку . Продукт предоставлен . Теперь можно получить гладкие оценки, усредняя обобщенные оценки формы , точнее, является гладкой оценкой, если является достаточно большим измеренным семейством диффеоморфизмов. Тогда есть ${\displaystyle \chi _{A}=\chi (A\cap \bullet )}$${\displaystyle \chi _{A}\cdot \chi _{B}=\chi _{A\cap B}}$${\displaystyle \chi _{A}}$${\displaystyle \phi (X)=\int _{S}\chi _{s(A)}ds}$${\displaystyle S}$

видеть. ^[11]

Откат и вперед [ править ]

Каждое гладкое погружение гладких многообразий индуцирует обратное отображение . Если - вложение, то ${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle f^{*}\colon {\mathcal {V}}^{\infty }(Y)\to {\mathcal {V}}^{\infty }(X)}$${\displaystyle f}$

Обратный вызов - это морфизм фильтрованных алгебр. Каждое гладкое собственное погружение определяет прямую карту следующим образом: ${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle f^{*}\colon {\mathcal {V}}^{\infty }(X)\to {\mathcal {V}}^{\infty }(Y)}$ Прямой образ совместим с фильтрацией , а также: . Для общих гладких отображений можно определить откат и вперед для обобщенных оценок при некоторых ограничениях.${\displaystyle f_{*}:W_{i}(X)\to W_{i-(\dim X-\dim Y)}(Y)}$

Приложения в интегральной геометрии [ править ]

Пусть - риманово многообразие и пусть - группа Ли изометрий, транзитивно действующих на расслоении сфер . В этих предположениях пространства от -инвариантных гладких оценок на конечномерене; пусть будет основой. Пусть - дифференцируемые многогранники в . Тогда интегралы вида выражаются в виде линейных комбинаций с коэффициентами, не зависящими от и :${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle SM}$${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \phi _{1},\ldots ,\phi _{m}}$${\displaystyle A,B\in {\mathcal {P}}(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \int _{G}\phi _{i}(A\cap gB)dg}$${\displaystyle \phi _{k}(A)\phi _{l}(B)}$${\displaystyle c_{i}^{kl}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

$${\displaystyle \int _{G}\phi _{i}(A\cap gB)dg=\sum _{k,l=1}^{m}c_{i}^{kl}\phi _{k}(A)\phi _{l}(B),\qquad A,B\in {\mathcal {P}}(M).}$$

( 2 )

Формулы этого типа называются кинематическими . Их существование в этой общности было доказано Фу. ^[10] За три односвязными реального пространственных форм, т.е., сфера, евклидово пространство и гиперболического пространства, они восходят к Блашке , Сантало , Черна и Федерером .

Явное описание кинематических формул обычно является сложной задачей. Фактически уже на этапе перехода от реальных пространственных форм к сложным возникают значительные трудности, и только недавно они были разрешены Бернигом, Фу и Соланесом ^{[12] [13]} . Ключевое открытие, ответственное за этот прогресс, состоит в том, что кинематические формулы содержат та же информация, что и алгебра инвариантных оценок . Для точного утверждения, пусть ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}}$

- кинематический оператор, т. е. отображение, определяемое кинематическими формулами ( 2 ). Позволять обозначают двойственность Алескера-Пуанкаре, которая является линейным изоморфизмом. Наконец, позвольте быть сопряженным к отображению продукта${\displaystyle m_{G}^{*}}$Фундаментальная теорема алгебраической интегральной геометрии, связывающая операции над оценками с интегральной геометрией, утверждает, что если двойственность Пуанкаре используется для отождествления с , то :${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G*}}$${\displaystyle k_{G}=m_{G}^{*}}$

.

См. Также [ править ]

• Смешанный объем
• Теорема Хадвигера
• Интегральная геометрия

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• С. Алескер (2018). Введение в теорию оценок . Серия региональных конференций CBMS по математике, 126. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд. ISBN 978-1-4704-4359-7.
• С. Алескер ; JHG Fu (2014). Интегральная геометрия и оценки . Высшие курсы математики. CRM Барселона. Birkhäuser / Springer, Базель. ISBN 978-1-4704-4359-7.
• Д.А. Клайн; Г.-К. Рота (1997). Введение в геометрическую вероятность . Lezioni Lincee. [Лекции Линчеи]. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-59362-X.
• Р. Шнайдер (2014). Выпуклые тела: теория Брунна-Минковского . Энциклопедия математики и ее приложений, 151. Cambridge University Press, Cambridge, RI. ISBN 978-1-107-60101-7.