В математике , точнее, в выпуклой геометрии , смешанный объем - это способ связать неотрицательное число с-кратные из выпуклых тел в-мерное пространство. Это количество зависит от размера и формы тел, а также от их взаимной ориентации.
Определение
Позволять быть выпуклыми телами в и рассмотрим функцию
где означает -мерный объем и его аргумент - сумма Минковского масштабированных выпуклых тел. Можно показать, чтоявляется однородным многочленом степени, поэтому его можно записать как
где функции симметричны. Для конкретной индексной функции, коэффициент называется смешанным объемом .
Характеристики
- Смешанный объем однозначно определяется следующими тремя свойствами:
- ;
- симметричен по своим аргументам;
- является полилинейным: для .
- Смешанный объем неотрицателен и монотонно увеличивается по каждой переменной: для .
- Неравенство Александрова – Фенхеля, открытое Александром Даниловичем Александровым и Вернером Фенхелем :
- Многочисленные геометрические неравенства, такие как неравенство Брунна – Минковского для выпуклых тел и первое неравенство Минковского , являются частными случаями неравенства Александрова – Фенхеля.
Quermassintegrals
Позволять - выпуклое тело и пусть - евклидов шар единичного радиуса. Смешанный объем
называется J -м quermassintegral из. [1]
Определение смешанного объема дает формулу Штайнера (названную в честь Якоба Штайнера ):
Собственные объемы
J -го внутреннего объема в это другая нормализация квермассинтеграла, определяемая
- или другими словами
где объем -мерный шар.
Характеризационная теорема Хадвигера
Теорема Хадвигера утверждает, что любая оценка выпуклых тел в непрерывный и инвариантный относительно жестких движений представляет собой линейную комбинацию квермассинтегралов (или, что то же самое, внутренних объемов). [2]
Заметки
- Перейти ↑ McMullen, P. (1991). «Неравенства между собственными объемами» . Монатш. Математика . 111 (1): 47–53. DOI : 10.1007 / bf01299276 . Руководство по ремонту 1089383 .
- ^ Клайн, Д.А. (1995). «Краткое доказательство характеризационной теоремы Хадвигера». Математика . 42 (2): 329–339. DOI : 10.1112 / s0025579300014625 . Руководство по ремонту 1376731 .
Внешние ссылки
Бураго, Ю.Д. (2001) [1994], "Теория смешанного объема" , Энциклопедия математики , EMS Press