В математике , первое неравенство Минковского для выпуклых тел является геометрический результат из - за немецкого математика Германа Минковского . Неравенство тесно связано с неравенством Брунна – Минковского и изопериметрическим неравенством .
Формулировка неравенства
Пусть K и L два п - мерных выпуклых тел в п - мерном евклидовом пространстве R п . Определим величину V 1 ( K , L ) как
где V обозначает n -мерную меру Лебега, а + обозначает сумму Минковского . потом
равенство тогда и только тогда , когда K и L являются гомотетичны , т.е. равны с точностью до перевода и расширения .
Замечания
- V 1 - лишь один из примеров класса величин, известных как смешанные объемы .
- Если L - n -мерный единичный шар B , то n V 1 ( K , B ) - ( n - 1) -мерная поверхностная мера K , обозначаемая S ( K ).
Связь с другими видами неравенства
Неравенство Брунна – Минковского.
Можно показать, что неравенство Брунна – Минковского для выпуклых тел в R n влечет первое неравенство Минковского для выпуклых тел в R n , а равенство в неравенстве Брунна – Минковского влечет равенство в первом неравенстве Минковского.
Изопериметрическое неравенство
Взяв L = B , n- мерный единичный шар, в первом неравенстве Минковского для выпуклых тел, получаем изопериметрическое неравенство для выпуклых тел в R n : если K - выпуклое тело в R n , то
с равенством тогда и только тогда, когда K - шар некоторого радиуса.
Рекомендации
- Гарднер, Ричард Дж. (2002). «Неравенство Брунна – Минковского» . Бык. Амер. Математика. Soc. (NS) . 39 (3): 355–405 (электронный). DOI : 10.1090 / S0273-0979-02-00941-2 .