пространство де Ситтера

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) ‹Приведенный ниже шаблон ( необходим эксперт ) рассматривается для удаления. См. Шаблоны для обсуждения, чтобы помочь достичь консенсуса. › Эта статья требует внимания специалиста по физике . Добавьте причину или параметр обсуждения в этот шаблон, чтобы объяснить проблему со статьей. WikiProject Physics может помочь нанять эксперта. ( Май 2017 г. ) Эта статья может быть слишком технической для понимания большинства читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технических деталей. ( Май 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) В этой статье слишком много ссылок на первоисточники . Пожалуйста, улучшите это, добавив вторичные или третичные источники . ( Июль 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математической физике , п - мерная де Ситтер (часто сокращенно Ds _п ) является максимально симметричным лоренцевым многообразие с постоянной положительной скалярной кривизной . Это лоренцев аналог n -сферы (с ее канонической римановой метрикой ).

Основное применение пространства де Ситтера - его использование в общей теории относительности , где оно служит одной из простейших математических моделей Вселенной, согласующихся с наблюдаемым ускоряющимся расширением Вселенной . Более конкретно, де Ситтера является максимально симметричным вакуумное решение из уравнений Эйнштейна с положительной космологической постоянной ( что соответствует положительной плотности энергии вакуума и отрицательного давления). Существует космологическое свидетельство того, что сама Вселенная является асимптотически де Ситтеровой - см. Вселенную де Ситтера .${\ displaystyle \ Lambda}$

Пространство де Ситтера и пространство анти-де Ситтера названы в честь Виллема де Ситтера (1872–1934), ^{[1] [2]} профессора астрономии в Лейденском университете и директора Лейденской обсерватории . Виллем де Ситтер и Альберт Эйнштейн тесно работали вместе в Лейдене в 1920-х годах над пространственно-временной структурой нашей Вселенной. Пространство де Ситтера было независимо открыто примерно в то же время Туллио Леви-Чивита . ^[3]

Определение [ править ]

пространство де Ситтера можно определить как подмногообразие обобщенного пространства Минковского одного высшего измерения . Возьмем пространство Минковского R ^{1, n} со стандартной метрикой :

${\ displaystyle ds ^ {2} = - dx_ {0} ^ {2} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} dx_ {i} ^ {2}.}$

пространство де Ситтера - это подмногообразие, описываемое гиперболоидом одного листа

${\ displaystyle -x_ {0} ^ {2} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2} = \ alpha ^ {2}}$

где - некоторая ненулевая константа размерности длины. Метрика на пространстве де Ситтера является метрикой , индуцированной из окружающего метрики Минковского. Индуцированная метрика невырождена и имеет лоренцеву сигнатуру. (Обратите внимание , что если заменить с в приведенном выше определении, получается гиперболоид из двух листов. Индуцированная метрика в этом случае является положительно определенной , и каждый лист представляет собой копию гиперболического п - пространства . Подробное доказательство см геометрии пространства Минковского .)${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha ^ {2}}$${\ displaystyle - \ alpha ^ {2}}$

Пространство де Ситтера также можно определить как фактор O (1, n ) / O (1, n - 1) двух неопределенных ортогональных групп , что показывает, что это нериманово симметрическое пространство .

Топологически пространство де Ситтера R × S ^{n −1} (так что если n ≥ 3, то пространство де Ситтера односвязно ).

Свойства [ править ]

Группа изометрий пространства де Ситтера - это группа Лоренца O (1, n ) . Таким образом, метрика имеет n ( n + 1) / 2 независимых векторных полей Киллинга и является максимально симметричной. Каждое максимально симметричное пространство имеет постоянную кривизну. Тензор кривизны де Ситтера дается

${\ Displaystyle R _ {\ rho \ sigma \ mu \ nu} = {1 \ over \ alpha ^ {2}} (g _ {\ rho \ mu} g _ {\ sigma \ nu} -g _ {\ rho \ nu} g_ {\ sigma \ mu}).}$

Пространство де Ситтера является многообразием Эйнштейна, поскольку тензор Риччи пропорционален метрике:

${\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} = {\ frac {n-1} {\ alpha ^ {2}}} g _ {\ mu \ nu}}$

Это означает, что пространство де Ситтера является вакуумным решением уравнения Эйнштейна с космологической постоянной, задаваемой формулой

${\ displaystyle \ Lambda = {\ frac {(n-1) (n-2)} {2 \ alpha ^ {2}}}.}$

Скалярная кривизна в пространстве де Ситтера дается

${\ displaystyle R = {\ frac {n (n-1)} {\ alpha ^ {2}}} = {\ frac {2n} {n-2}} \ Lambda.}$

Для случая n = 4 имеем Λ = 3 / α ² и R = 4Λ = 12 / α ² .

Статические координаты [ править ]

Мы можем ввести статические координаты де Ситтера следующим образом:${\ Displaystyle (т, г, \ ldots)}$

${\displaystyle x_{0}={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\sinh(t/\alpha )}$

${\displaystyle x_{1}={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\cosh(t/\alpha )}$

${\displaystyle x_{i}=rz_{i}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 2\leq i\leq n.}$

где дает стандартное вложение ( n - 2) -сферы в R ^{n −1} . В этих координатах метрика де Ситтера принимает вид:${\displaystyle z_{i}}$

${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)dt^{2}+\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{n-2}^{2}.}$

Обратите внимание , что существует космологическая горизонт в .${\displaystyle r=\alpha }$

Плоская нарезка [ править ]

Позволять

${\displaystyle x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha )+r^{2}e^{t/\alpha }/2\alpha ,}$

${\displaystyle x_{1}=\alpha \cosh(t/\alpha )-r^{2}e^{t/\alpha }/2\alpha ,}$

${\displaystyle x_{i}=e^{t/\alpha }y_{i},\qquad 2\leq i\leq n}$

где . Затем в метрике координат читается:${\displaystyle r^{2}=\sum _{i}y_{i}^{2}}$${\displaystyle (t,y_{i})}$

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+e^{2t/\alpha }dy^{2}}$

где - плоская метрика на 's.${\displaystyle dy^{2}=\sum _{i}dy_{i}^{2}}$${\displaystyle y_{i}}$

Получаем конформно плоскую метрику:${\displaystyle \zeta =\zeta _{\infty }-\alpha e^{-t/\alpha }}$

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{(\zeta _{\infty }-\zeta )^{2}}}(dy^{2}-d\zeta ^{2})}$

Открыть нарезку [ править ]

Позволять

${\displaystyle x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha )\cosh \xi ,}$

${\displaystyle x_{1}=\alpha \cosh(t/\alpha ),}$

${\displaystyle x_{i}=\alpha z_{i}\sinh(t/\alpha )\sinh \xi ,\qquad 2\leq i\leq n}$

где образуют со стандартной метрикой . Тогда метрика пространства де Ситтера имеет вид${\displaystyle \sum _{i}z_{i}^{2}=1}$${\displaystyle S^{n-2}}$${\displaystyle \sum _{i}dz_{i}^{2}=d\Omega _{n-2}^{2}}$

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}(t/\alpha )dH_{n-1}^{2},}$

куда

${\displaystyle dH_{n-1}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}(\xi )d\Omega _{n-2}^{2}}$

стандартная гиперболическая метрика.

Закрытая нарезка [ править ]

Позволять

${\displaystyle x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha ),}$

${\displaystyle x_{i}=\alpha \cosh(t/\alpha )z_{i},\qquad 1\leq i\leq n}$

где s описать a . Затем метрика гласит:${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle S^{n-1}}$

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\cosh ^{2}(t/\alpha )d\Omega _{n-1}^{2}.}$

Изменив переменную времени на конформное время с помощью, мы получим метрику, конформно эквивалентную статической вселенной Эйнштейна:${\displaystyle \tan(\eta /2)=\tanh(t/2\alpha )}$

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{\cos ^{2}\eta }}(-d\eta ^{2}+d\Omega _{n-1}^{2}).}$

Эти координаты, также известные как «глобальные координаты», охватывают максимальное расширение пространства де Ситтера и, следовательно, могут использоваться для нахождения его диаграммы Пенроуза . ^[4]

dS нарезка [ править ]

Позволять

${\displaystyle x_{0}=\alpha \sin(\chi /\alpha )\sinh(t/\alpha )\cosh \xi ,}$

${\displaystyle x_{1}=\alpha \cos(\chi /\alpha ),}$

${\displaystyle x_{2}=\alpha \sin(\chi /\alpha )\cosh(t/\alpha ),}$

${\displaystyle x_{i}=\alpha z_{i}\sin(\chi /\alpha )\sinh(t/\alpha )\sinh \xi ,\qquad 3\leq i\leq n}$

где s описать a . Затем метрика гласит:${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle S^{n-3}}$

${\displaystyle ds^{2}=d\chi ^{2}+\sin ^{2}(\chi /\alpha )ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2},}$

куда

${\displaystyle ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}(t/\alpha )dH_{n-2}^{2}}$

- метрика размерного пространства де Ситтера с радиусом кривизны в открытых координатах сечения. Гиперболическая метрика определяется выражением:${\displaystyle n-1}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle dH_{n-2}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}\xi d\Omega _{n-3}^{2}.}$

Это аналитическое продолжение открытых координат среза при переключении и также потому, что они меняют свою временноподобную / пространственноподобную природу.${\displaystyle (t,\xi ,\theta ,\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n-3})\to (i\chi ,\xi ,it,\theta ,\phi _{1},\cdots ,\phi _{n-4})}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{2}}$

См. Также [ править ]

• Анти-де Ситтер пространство
• Вселенная де Ситтера
• AdS / CFT корреспонденция
• метрика де Ситтера – Шварцшильда

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Qingming Cheng (2001) [1994], "Пространство Де Ситтера" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Номидзу, Катсуми (1982), "Лоренц-Пуанкаре метрика на верхнем полупространстве и ее расширение", Хоккайдо математический журнал , 11 (3): 253-261, DOI : 10.14492 / hokmj / 1381757803
• Косетер, HSM (1943), "Геометрический фон для де Ситтера мира", American Mathematical Monthly , Математическая ассоциация Америки, 50 (4): 217-228, DOI : 10.2307 / 2303924 , JSTOR  2303924
• Сасскинд, Л .; Линдесей, Дж. (2005), Введение в черные дыры, информация и революция в теории струн: голографическая Вселенная , стр. 119 (11.5.25)

Внешние ссылки [ править ]

• Упрощенное руководство по пространствам де Ситтера и анти-де Ситтера Педагогическое введение в пространства де Ситтера и анти-де Ситтера. Основная статья упрощена, почти без математики. Приложение носит технический характер и предназначено для читателей с физическим или математическим образованием.