В дифференциальной геометрии , A гиперкэлеровым многообразие является римановым многообразием размерностии группа голономии, содержащаяся в Sp ( k ) (здесь Sp ( k ) обозначает компактную форму симплектической группы , отождествляемую с группой кватернионно-линейных унитарных эндоморфизмов-мерное кватернионное эрмитово пространство). Гиперкэлеровы многообразия - это особые классы кэлеровых многообразий . Их можно рассматривать как кватернионные аналоги кэлеровых многообразий. Все гиперкэлеровы многообразия являются Риччи-плоским , и, таким образом , Калаби-Яу многообразия (это можно легко увидеть, заметив , что Sp ( к ) является подгруппой из специальной унитарной группы SU (2 к ) ).
Гиперкэлеровы многообразия были определены Эухенио Калаби в 1978 году.
Кватернионная структура
Каждое гиперкэлерово многообразие M имеет 2-сферу комплексных структур (т. Е. Интегрируемых почти комплексных структур ), по отношению к которой метрика кэлерова.
В частности, это гиперкомплексное многообразие , что означает наличие трех различных комплексных структур, I , J и K , которые удовлетворяют кватернионным отношениям
Любая линейная комбинация
с участием реальные числа такие, что
также комплексная структура на М . В частности, касательное пространство Т х М является кватернионно векторное пространство , для каждой точки х из М . Sp ( k ) можно рассматривать как группу ортогональных преобразований, которые являются линейными по отношению к I , J и K . Отсюда следует, что голономия многообразия содержится в Sp ( k ) . Наоборот, если группа голономии риманова многообразия M содержится в Sp ( k ) , выберите комплексные структуры I x , J x и K x на T x M, которые превращают T x M в кватернионное векторное пространство. Параллельный перенос этих сложных структур дает требуемую кватернионную структуру на М .
Голоморфная симплектическая форма
Гиперкэлерово многообразие ( M , I , J , K ) , рассматриваемое как комплексное многообразие ( M , I ) , голоморфно симплектическое (снабженное голоморфной невырожденной 2-формой). Обратное также верно в случае компактных многообразий в связи с доказательством Шинг-Тунг Яу гипотезы Калаби : данное компактное кэлерово голоморфно симплектическое многообразие ( M , I ) всегда снабжено совместимой гиперкэлеровой метрикой . Такая метрика единственна в данном кэлеровом классе. Компактные гиперкэлеровы многообразия широко изучаются с использованием методов алгебраической геометрии , иногда под названием голоморфно симплектических многообразий . Группа голономии любой метрики Калаби – Яу на односвязном компактном голоморфно симплектическом многообразии сточно Sp ( k ) ; и если односвязное многообразие Калаби – Яу вместо этого имеет, это просто риманово произведение гиперкэлеровых многообразий меньшей размерности. Этот факт непосредственно следует из формулы Бохнера для голоморфных форм на кэлеровом многообразии и классификации Бергера групп голономии; по иронии судьбы, это часто приписывают Богомолову, который в той же статье ошибочно утверждал, что компактных гиперкэлеровых многообразий на самом деле не существует!
Примеры
Благодаря классификации комплексных поверхностей Кунихико Кодаира мы знаем, что любое компактное гиперкэлерово 4-многообразие является либо поверхностью K3, либо компактным тором.. (Каждое многообразие Калаби – Яу в 4 (вещественных) измерениях является гиперкэлеровым многообразием, поскольку SU (2) изоморфно Sp (1) .)
Как было обнаружено Бовилем, схема Гильберта из k точек на компактном гиперкэлеровом 4-многообразии является гиперкэлеровым многообразием размерности 4k . Это дает начало двум сериям компактных примеров: схемам Гильберта точек на K3-поверхности и обобщенным многообразиям Куммера .
Некомпактные полные гиперкэлеровы 4-многообразия, асимптотические для H / G , где H обозначает кватернионы, а G - конечная подгруппа в Sp (1) , известны как асимптотически локально евклидовы или ALE-пространства. Эти пространства и различные обобщения, включающие различные асимптотики, изучаются в физике под названием гравитационные инстантоны . В Gibbons-Хокинг Анзац дает примеры инвариантным под действием окружности.
Многие примеры некомпактных гиперкэлеровых многообразия возникают как пространств модулей решений некоторых уравнений калибровочной теории , которые вытекают из размерной редукции анти-я дуал уравнений Янга-Миллса : инстантонные пространств модулей, монопольные модулей пространства, пространства решений Найджел Хитчин «с уравнения автодуальности на римановых поверхностях , пространство решений уравнений Нама . Другой класс примеров - разновидности колчана Накадзима , которые имеют большое значение в теории представлений.
Когомологии
Курносов, Солдатенков и Вербицкий (2019) показывают, что когомологии любого компактного гиперкэлерового многообразия вкладываются в когомологии тора таким образом, что сохраняется структура Ходжа .
Смотрите также
Внешние ссылки
- Дунайски, Мацей; Мейсон, Лайонел Дж. (2000), «Гиперкелеровы иерархии и их твисторная теория», Коммуникации в математической физике , 213 (3): 641–672, arXiv : math / 0001008 , Bibcode : 2000CMaPh.213..641D , doi : 10.1007 / PL00005532 , Руководство по эксплуатации 1785432 , S2CID 17884816
- Киран Г. О'Грейди, (2011) « Многомерные аналоги поверхностей K3 ». MR2931873
- Хитчин, Найджел (1991–1992), «Гиперкелеровы многообразия» , Семинар Н. Бурбаки , 34 (Обсуждение № 748): 137–166, MR 1206066
- Курносов, Никон; Солдатенков Андрей; Вербицкий Миша (2019), "строительство Kuga-Сатаке и когомология гиперкэлеровых многообразий", Успехи математических наук , 351 : 275-295, Arxiv : 1703,07477 , DOI : 10.1016 / j.aim.2019.04.060 , MR 3952121 , S2CID 119124485