В дифференциальной геометрии и калибровочная теории , то уравнения Нама представляют собой система обыкновенных дифференциальных уравнений вводится Вернер Нам в контексте Нама преобразование - альтернатива Ward «s твисторного строительства монополей . Уравнения Нама формально аналогичны алгебраических уравнений в строительстве ADHM из инстантонами , где матрицы конечного порядка заменяются дифференциальными операторами.
Глубокое изучение уравнений Нама было проведено Найджелом Хитчином и Саймоном Дональдсоном . Концептуально уравнения возникают в процессе бесконечномерной гиперкэлеровой редукции . Среди их многочисленных приложений мы можем упомянуть: построение монополей Хитчина, где этот подход является критическим для установления невырожденности монопольных решений; Описание Дональдсоном пространства модулей монополей; и существование гиперкэлеровой структуры на коприсоединенных орбитах комплексных полупростых групп Ли , доказанное Петером Кронхеймером , Оливье Бикваром и А.Г. Ковалевым.
Уравнения
Позволять - три матричнозначные мероморфные функции комплексной переменной . Уравнения Нама представляют собой систему матричных дифференциальных уравнений
вместе с определенными свойствами аналитичности, условиями реальности и граничными условиями. Три уравнения можно кратко записать с помощью символа Леви-Чивиты в форме
В более общем плане вместо того, чтобы рассматривать от матриц, можно рассматривать уравнения Нама со значениями в алгебре Ли .
Дополнительные условия
Переменная ограничен открытым интервалом , и накладываются следующие условия:
- можно продолжить до мероморфной функции в окрестности отрезка , аналитический за пределами а также , а с простыми полюсами на а также ; а также
- На полюсах остатки образуют неприводимое представление группы SU (2) .
Описание монополей по Нему – Хитчину.
Между
- монополи заряда для группы , по модулю калибровочных преобразований и
- решения уравнений Нама, удовлетворяющие указанным выше дополнительным условиям, по модулю одновременного сопряжения группой .
Слабое представление
Уравнения Нама можно записать в форме Лакса следующим образом. Набор
то система уравнений Нама эквивалентна уравнению Лакса
Как непосредственное следствие получаем, что спектр матрицы не зависит от . Следовательно, характеристическое уравнение
определяющая так называемую спектральную кривую в твисторном пространстве инвариантен относительно потока в .
Смотрите также
Рекомендации
- Нахм, В. (1981). «Все самодуальные мультимонополи для произвольных калибровочных групп» . ЦЕРН, препринт TH. 3172 .
- Хитчин, Найджел (1983). «О строительстве монополей». Сообщения по математической физике . 89 (2): 145–190. Bibcode : 1983CMaPh..89..145H . DOI : 10.1007 / BF01211826 .
- Дональдсон, Саймон (1984). «Уравнения Нама и классификация монополей». Сообщения по математической физике . 96 (3): 387–407. Bibcode : 1984CMaPh..96..387D . DOI : 10.1007 / BF01214583 .
- Атья, Майкл ; Хитчин, штат Нью-Джерси (1988). Геометрия и динамика магнитных монополей . Лекции М.Б. Портера. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08480-7.
- Ковалев, АГ (1996). «Уравнения Нама и сложные сопряженные орбиты». Кварта. J. Math. Оксфорд . 47 (185): 41–58. DOI : 10.1093 / qmath / 47.1.41 .
- Бикар, Оливье (1996). "Уравнения Нама и структура Пуассона алгебр полупростых комплексов Ли" [Уравнения Нама и структура Пуассона комплексных полупростых алгебр Ли]. Математика. Аня. 304 (2): 253–276. DOI : 10.1007 / BF01446293 .
Внешние ссылки
- Островной проект - вики об уравнениях Нама и связанных темах