Строительство ADHM

В математической физике и калибровочной теории , то строительство ADHM или строительство монада является строительство всех инстантонами с использованием методов линейной алгебры по Атья , Дринфельд , Найджел Хитчин , Манин в своей статье «Строительство Инстантоны.»

Данные ADHM [ править ]

В конструкции ADHM используются следующие данные:

• комплексные векторные пространства V и W размерности k и N ,
• K  ×  K комплексные матрицы B ₁ , B ₂ , A K  ×  N комплексная матрица I и N  ×  K сложной матрицы  J ,
• реальная карта момента ${\ displaystyle \ mu _ {r} = [B_ {1}, B_ {1} ^ {\ dagger}] + [B_ {2}, B_ {2} ^ {\ dagger}] + II ^ {\ dagger} -J ^ {\ dagger} J,}$
• сложный момент на карте${\ displaystyle \ displaystyle \ mu _ {c} = [B_ {1}, B_ {2}] + IJ.}$

Тогда конструкция ADHM утверждает, что при определенных условиях регулярности

• Для B ₁ , B ₂ , I , J таких, что антиавтодуальный инстантон в SU ( N ) калибровочной теории с инстантонным номером k может быть построен,${\ displaystyle \ mu _ {r} = \ mu _ {c} = 0}$
• Все антиавтодуальные инстантоны могут быть получены таким образом и находятся во взаимно однозначном соответствии с решениями с точностью до вращения U ( k ), которое действует на каждый B в присоединенном представлении, а также на I и J через фундаментальное и антифундаментальные представления
• Метрика на пространстве модулей инстантонов является то , что унаследовал от плоской метрики на B , I и J .

Обобщения [ править ]

Некоммутативные инстантоны [ править ]

В некоммутативной калибровочной теории конструкция ADHM идентична, но отображение момента устанавливается равным самодвойственной проекции матрицы некоммутативности пространства-времени, умноженной на единичную матрицу . В этом случае инстантоны существуют даже тогда, когда калибровочной группой является U (1). Некоммутативные инстантоны были открыты Никитой Некрасовым и Альбертом Шварцем в 1998 году.${\ displaystyle {\ vec {\ mu}}}$

Вихри [ править ]

Приравнивая B ₂ и J к нулю, мы получаем классическое пространство модулей неабелевых вихрей в суперсимметричной калибровочной теории с равным числом цветов и ароматов, как было продемонстрировано в Вихрях, инстантонах и бранах . Обобщение на большее количество вкусов появилось в Солитонах в фазе Хиггса: матричный подход модулей . В обоих случаях член Файе-Илиопулоса , определяющий скварк- конденсат , играет роль параметра некоммутативности в реальном отображении момента.

Формула построения [ править ]

Пусть x - 4-мерное евклидово пространство-время, координаты которого записаны в кватернионной записи.${\displaystyle x_{ij}={\begin{pmatrix}z_{2}&z_{1}\\-{\bar {z_{1}}}&{\bar {z_{2}}}\end{pmatrix}}.}$

Рассмотрим матрицу 2 k  × ( N  + 2 k )

${\displaystyle \Delta ={\begin{pmatrix}I&B_{2}+z_{2}&B_{1}+z_{1}\\J^{\dagger }&-B_{1}^{\dagger }-{\bar {z_{1}}}&B_{2}^{\dagger }+{\bar {z_{2}}}\end{pmatrix}}.}$

Тогда условия эквивалентны условию факторизации ${\displaystyle \displaystyle \mu _{r}=\mu _{c}=0}$

${\displaystyle \Delta \Delta ^{\dagger }={\begin{pmatrix}f^{-1}&0\\0&f^{-1}\end{pmatrix}}}$где f ( x ) - эрмитова матрица размера k × k .

Тогда эрмиты проекционного оператора Р может быть выполнен в виде

${\displaystyle P=\Delta ^{\dagger }{\begin{pmatrix}f&0\\0&f\end{pmatrix}}\Delta .}$

Нуль - пространства из А ( х ) имеет размерность N для общего х . Базисные векторы для этого нулевого пространства могут быть собраны в матрицу U ( x ) ( N  + 2 k ) ×  N с условием ортонормировки U ^† U  = 1.

Условие регулярности ранга Δ гарантирует выполнение условия полноты

${\displaystyle P+UU^{\dagger }=1.\,}$

Тогда антисамодуальная связь строится из U по формуле

${\displaystyle A_{m}=U^{\dagger }\partial _{m}U.}$

См. Также [ править ]

• Монада (линейная алгебра)
• Твисторная теория

Ссылки [ править ]

• Атья, Майкл Фрэнсис (1979), Геометрия полей Янга-Миллса , Scuola Normale Superiore Pisa, Пиза, MR  0554924
• Атия, Майкл Фрэнсис ; Дринфельд, В.Г . ; Хитчин, штат Нью-Джерси ; Манин, Юрий Иванович (1978), «Конструирование инстантонов», Physics Letters A , 65 (3): 185–187, Bibcode : 1978PhLA ... 65..185A , doi : 10.1016 / 0375-9601 (78) 90141- X , ISSN  0375-9601 , Руководство по ремонту  0598562
• Хитчин, Н. (1983), "О построении монополей" , Commun. Математика. Phys. 89, 145–190.