Гиперкомплексное многообразие

В дифференциальной геометрии , гиперкомплексная многообразие является многообразием с касательным расслоением , снабженным действием по алгебре кватернионов таким образом , что кватернионы определяют интегрируемые почти комплексные структуры .${\ Displaystyle I, J, K}$

Если вместо этого почти комплексные структуры не считаются интегрируемыми, многообразие называется кватернионным или почти гиперкомплексным. ^[1]

Примеры [ править ]

Каждое гиперкэлерово многообразие также гиперкомплексно. Обратное неверно. Поверхность Хопфа

${\ displaystyle {\ bigg (} {\ mathbb {H}} \ backslash 0 {\ bigg)} / {\ mathbb {Z}}}$

(с действующим в качестве умножения на кватернион , ) является гиперкомплексным, но не Кэлерово , следовательно , не гиперкэлеровым либо. Чтобы увидеть, что поверхность Хопфа не кэлерова, заметим, что она диффеоморфна произведению, следовательно, ее группа нечетных когомологий нечетномерна. По разложению Ходжа нечетные когомологии компактного кэлерова многообразия всегда четномерны. Фактически Хидекиё Вакакува доказал ^[2] это на компактном гиперкэлеровом многообразии . Миша Вербицкий показал, что любое компактное гиперкомплексное многообразие, допускающее кэлерову структуру, также является гиперкэлеровым. ^[3]${\ Displaystyle {\ mathbb {Z}}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle | q |> 1}$${\ displaystyle S ^ {1} \ times S ^ {3},}$ ${\ Displaystyle \ B_ {2p + 1} \ Equiv 0 \ Mod \ 4}$

В 1988 г. левоинвариантные гиперкомплексные структуры на некоторых компактных группах Ли были построены физиками Филиппом Шпинделем, Александром Севриным, Вальтером Троостом и Антуаном Ван Пройеном. В 1992 году Доминик Джойс переоткрыл эту конструкцию и дал полную классификацию левоинвариантных гиперкомплексных структур на компактных группах Ли. Вот полный список.

${\ displaystyle T ^ {4}, SU (2l + 1), T ^ {1} \ times SU (2l), T ^ {l} \ times SO (2l + 1),}$

${\ displaystyle T ^ {2l} \ times SO (4l), T ^ {l} \ times Sp (l), T ^ {2} \ times E_ {6},}$

${\ displaystyle T ^ {7} \ times E ^ {7}, T ^ {8} \ times E ^ {8}, T ^ {4} \ times F_ {4}, T ^ {2} \ times G_ { 2}}$

где обозначает -мерный компактный тор.${\ displaystyle T ^ {i}}$${\displaystyle i}$

Примечательно, что любая компактная группа Ли становится гиперкомплексной после умножения на достаточно большой тор.

Основные свойства [ править ]

Гиперкомплексные многообразия как таковые были изучены Чарльз Бойер в 1988 году и доказал , что в реальном измерении 4, только компактные гиперкомплексные многообразия являются комплексными тор , тем поверхность Хопфа и поверхность K3 .${\displaystyle T^{4}}$

Гораздо раньше (в 1955 году) Морио Обата изучал аффинную связность , связанную с почти гиперкомплексными структурами (по старой терминологии Карл Эресмана ^[4] из почти кватернионных структур ). Его конструкция приводит к тому, что Эдмонд Бонан назвал связностью Обаты ^{[5] [6],} которая не имеет кручения тогда и только тогда, когда «две» почти комплексных структур интегрируемы и в этом случае многообразие гиперкомплексно.${\displaystyle I,J,K}$

Твисторные пространства [ править ]

Есть 2-мерная сфера кватернионов удовлетворяющих . Каждый из этих кватернионов дает комплексную структуру на гиперкомплексном многообразии M . Это определяет почти сложную структуру на многообразии , которая расслоена слоями, отождествленными с . Эта сложная структура интегрируема, как следует из теоремы Обаты (впервые это явно доказал Дмитрий Каледин ^[7] ). Это комплексное многообразие называется пространство твисторов из . Если M есть , то его твисторное пространство изоморфно .${\displaystyle L\in {\mathbb {H} }}$${\displaystyle L^{2}=-1}$${\displaystyle M\times S^{2}}$${\displaystyle {\mathbb {C} }P^{1}=S^{2}}$${\displaystyle (M,L)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathbb {H} }}$${\displaystyle {\mathbb {C} }P^{3}\backslash {\mathbb {C} }P^{1}}$

См. Также [ править ]

• Кватернионное многообразие

Ссылки [ править ]