Кватернионное многообразие

В дифференциальной геометрии , А кватернионно многообразие является кватернионно аналогом комплексного многообразия . Определение более сложное и техническое, чем определение для комплексных многообразий, отчасти из-за некоммутативности кватернионов и отчасти из-за отсутствия подходящего исчисления голоморфных функций для кватернионов. Наиболее сжатое определение использует язык G -структур на многообразии . В частности, кватернионное n- многообразие можно определить как гладкое многообразие реальной размерности 4 n, снабженное системой без кручения.${\ Displaystyle \ OperatorName {GL} (п, \ mathbb {H}) \ cdot \ mathbb {H} ^ {\ times}}$-состав. Более наивные, но простые определения приводят к недостатку примеров и исключают такие пространства, как кватернионное проективное пространство, которые, очевидно, следует рассматривать как кватернионные многообразия.

Определения [ править ]

Расширенная кватернионная общая линейная группа [ править ]

Если мы рассматриваем кватернионное векторное пространство как правый -модуль , мы можем отождествить алгебру праволинейных отображений с алгеброй кватернионных матриц, действующих слева . Обратимые правые -линейные карты затем образуют подгруппу из . Мы можем расширить эту группу с помощью группы ненулевых кватернионов, действующих скалярным умножением справа . Поскольку это скалярное умножение является -линейным (но не -линейным), у нас есть еще одно вложение в . Затем группа определяется как произведение этих подгрупп в${\ Displaystyle \ mathbb {H} ^ {n} \ cong \ mathbb {R} ^ {4n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$${\ Displaystyle п \ раз п}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$${\ Displaystyle \ OperatorName {GL} (п, \ mathbb {H})}$${\ Displaystyle \ OperatorName {GL} (4n, \ mathbb {R})}$${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {\ times}}$${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {\ times}}$${\ Displaystyle \ OperatorName {GL} (4n, \ mathbb {R})}$${\ Displaystyle \ OperatorName {GL} (п, \ mathbb {H}) \ cdot \ mathbb {H} ^ {\ times}}$${\ Displaystyle \ OperatorName {GL} (4n, \ mathbb {R})}$. Поскольку пересечение подгрупп и в является их взаимным центром (группа скалярных матриц с ненулевыми действительными коэффициентами), имеем изоморфизм${\ Displaystyle \ OperatorName {GL} (п, \ mathbb {H})}$${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {\ times}}$${\ Displaystyle \ OperatorName {GL} (4n, \ mathbb {R})}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ times}}$

${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }\cong (\operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\times \mathbb {H} ^{\times })/\mathbb {R} ^{\times }.}$

Почти кватернионная структура [ править ]

Почти кватернионная структура на гладком многообразии просто -структуре на . Эквивалентно, она может быть определена как подрасслоение из эндоморфизм расслоения таким образом, что каждое волокно изоморфно (как вещественная алгебра ) к алгебре кватернионов . Подрасслоение называется расслоением почти кватернионной структуры . Многообразие с почти кватернионной структурой называется почти кватернионным многообразием .${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (TM)}$${\displaystyle H_{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle H}$

Структурное расслоение кватернионов естественным образом допускает метрику расслоения, происходящую из структуры кватернионной алгебры, и с этой метрикой разбивается на ортогональную прямую сумму векторных расслоений, где - тривиальное линейное расслоение через единичный оператор, и является векторным расслоением ранга 3 соответствующие чисто мнимым кватернионам. Ни связки, ни обязательно тривиальны.${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H=L\oplus E}$${\displaystyle L}$${\displaystyle E}$${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$

Блок сферического расслоения внутри соответствует чистым единичным мнимым кватернионам. Это эндоморфизмы касательных пространств, равных −1. Пучок называется твисторным пространством многообразия , и его свойства более подробно описаны ниже. Локальные участки представляют собой (определенные локально) почти сложные конструкции . Существует окрестность каждой точки почти кватернионного многообразия с целой 2-сферой почти комплексных структур, определенной на . Всегда можно найти такое, что ${\displaystyle Z=S(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle M}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle U}$${\displaystyle I,J,K\in \Gamma (Z|_{U})}$

${\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1}$

Обратите внимание, однако, что ни один из этих операторов не может быть расширен на все . То есть связка может не допускать никаких глобальных секций (например, это имеет место с кватернионным проективным пространством ). Это резко контрастирует с ситуацией для сложных многообразий, которые всегда имеют глобально определенную почти сложную структуру.${\displaystyle M}$${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$

Кватернионная структура [ править ]

Кватернионная структура на гладком многообразии является почти кватернионная структура , которая допускает кручения аффинная связность , сохраняющий . Такая связь никогда не бывает уникальной и не считается частью кватернионной структуры. Кватернионно многообразие является гладким многообразием вместе с кватернионной структурой на .${\displaystyle M}$${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle Q}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

Особые случаи и дополнительные конструкции [ править ]

Гиперкомплексные многообразия [ править ]

Гиперкомплексная многообразие является кватернионно многообразием с кручением -структуры. Редукция структурной группы к возможна тогда и только тогда, когда почти кватернионное структурное расслоение тривиально (т. Е. Изоморфно ). Почти гиперкомплексная структура соответствует глобальному каркасу или, что то же самое, тройке почти сложных структур , и такой, что${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )}$${\displaystyle H\subset \operatorname {End} (TM)}$${\displaystyle M\times \mathbb {H} }$${\displaystyle H}$${\displaystyle I,J}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1}$

Гиперкомплексная структура - это почти гиперкомплексная структура, в которой каждая из и интегрируема. ${\displaystyle I,J}$${\displaystyle K}$

Кватернионные кэлеровы многообразия [ править ]

Кватернионно кэлерово многообразием является кватернионно многообразием с кручением -структуры.${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)\cdot \operatorname {Sp} (1)}$

Гиперкэлеровы многообразия [ править ]

Гиперкэлеровое многообразие является кватернионно многообразием с кручением -структуры. Гиперкэлерово многообразие одновременно является гиперкомплексным многообразием и кватернионным кэлеровым многообразием.${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$

Твистор пространство [ править ]

Учитывая кватернионное -многообразие , блок 2-сфера подрасслоения соответствующего чистых единиц мнимых кватернионы (или почти комплексные структуры) называется твисторным пространство в . Оказывается, когда существует естественная комплексная структура на такой, что слои проекции изоморфны . Когда пространство допускает естественную почти комплексную структуру , но эта структура интегрируема только в том случае, если многообразие самодвойственно . Оказывается, что кватернионная геометрия может быть полностью восстановлена ​​по голоморфным данным на .${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle Z=S(E)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z\to M}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle M}$${\displaystyle Z}$

Теория твисторного пространства дает метод перевода проблем на кватернионных многообразиях в задачи на комплексных многообразиях, которые гораздо лучше поняты и поддаются методам из алгебраической геометрии . К сожалению, твисторное пространство кватернионного многообразия может быть довольно сложным даже для таких простых пространств, как .${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$

Ссылки [ править ]

• Бесс, Артур Л. (1987). Многообразия Эйнштейна . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-15279-2.
• Джойс, Доминик (2000). Компактные многообразия со специальной голономией . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-850601-5. CS1 maint: discouraged parameter (link)