Тензор энергии определяется как тензор Т ае второго порядка , что дает поток из альфа - го компонента импульса вектора по всей поверхности с постоянной х β координат . В теории относительности этот вектор импульса принимается за четырехмерный импульс . В общей теории относительности тензор энергии-импульса симметричен, [1]
В некоторых альтернативных теориях, таких как теория Эйнштейна – Картана , тензор энергии-импульса может не быть идеально симметричным из-за ненулевого тензора спина , который геометрически соответствует ненулевому тензору кручения .
Выявление компонентов тензора
Поскольку тензор энергии-импульса имеет второй порядок, его компоненты могут быть отображены в матричной форме 4 × 4:
Далее k и ℓ находятся в диапазоне от 1 до 3.
Компонент время-время - это плотность релятивистской массы, то есть плотность энергии, деленная на квадрат скорости света. [2] Его компоненты имеют прямую физическую интерпретацию. В случае идеальной жидкости этот компонент равен
где - релятивистская масса на единицу объема, а для электромагнитного поля в пустом пространстве, в противном случае, эта компонента равна
где E и B - электрическое и магнитное поля соответственно. [3]
Поток релятивистской массы через поверхность x k эквивалентен плотности k- й компоненты количества движения,
Компоненты
представляют поток k- й компоненты количества движения через поверхность x ℓ . В частности,
(не суммировано) представляет собой нормальное напряжение в k- м координатном направлении ( k = 1, 2, 3), которое называется « давлением », когда оно одинаково во всех направлениях, k . Остальные компоненты
В физике твердого тела и механике жидкости тензор напряжений определяется как пространственные компоненты тензора напряжения-энергии в соответствующей системе отсчета. Другими словами, тензор энергии напряжения в технике отличается от релятивистского тензора энергии-импульса импульсно-конвективным членом.
Ковариантные и смешанные формы
Большая часть данной статьи работает с контравариантной формой тензора энергии-импульса T μν . Однако часто бывает необходимо работать с ковариантной формой,
Дивергенция негравитационного напряжения-энергии равна нулю. Другими словами, сохраняются негравитационная энергия и импульс,
Когда гравитация пренебрежимо мала и используется декартова система координат для пространства-времени, это может быть выражено в терминах частных производных как
Интегральная форма этого
где N - любая компактная четырехмерная область пространства-времени;его граница, трехмерная гиперповерхность; а также является элементом границы, рассматриваемой как направленная наружу нормаль.
В плоском пространстве-времени и с использованием декартовых координат, если объединить это с симметрией тензора энергии-импульса, можно показать, что угловой момент также сохраняется:
В общей теории относительности
Когда гравитацией нельзя пренебречь или при использовании произвольных систем координат, расхождение между напряжением и энергией все равно исчезает. Но в этом случае используется безкоординатное определение расходимости , включающее ковариантную производную
где - символ Кристоффеля, который представляет собой поле силы тяжести .
Следовательно, если - любое векторное поле Киллинга , то закон сохранения, связанный с симметрией, порожденной векторным полем Киллинга, может быть выражен как
Интегральная форма этого
В специальной теории относительности
В специальной теории относительности тензор энергии-импульса содержит информацию о плотности энергии и импульса данной системы в дополнение к плотностям импульса и потока энергии. [4]
С учетом лагранжевой плотности это функция набора полей и их производные, но явно не от каких-либо пространственно-временных координат, мы можем построить тензор, глядя на полную производную по одной из обобщенных координат системы. Итак, с нашим условием
Тогда, используя цепное правило, мы имеем
Написано полезной стенографией,
Тогда мы можем использовать уравнение Эйлера – Лагранжа:
А затем воспользуйтесь тем фактом, что частные производные коммутируют, так что теперь мы имеем
Мы можем распознать правую часть как правило продукта. Запись его как производной от произведения функций говорит нам, что
Теперь в плоском пространстве можно написать . Сделав это и переместив его на другую сторону уравнения, мы узнаем, что
И по условиям перегруппировки,
Это означает, что дивергенция тензора в скобках равна 0. В самом деле, этим мы определяем тензор энергии-импульса:
По построению он обладает тем свойством, что
Отметим, что это свойство бездивергентности этого тензора эквивалентно четырем уравнениям неразрывности . То есть поля имеют по крайней мере четыре набора величин, которые подчиняются уравнению неразрывности. В качестве примера можно увидеть, что - плотность энергии системы, и, таким образом, можно получить плотность гамильтониана из тензора энергии-импульса.
В самом деле, поскольку это так, учитывая, что , тогда мы имеем
Тогда мы можем сделать вывод, что условия представляют собой плотность потока энергии системы.
След
Отметим, что след тензора энергии-импульса определяется как , где
Когда мы используем формулу для тензора энергии-импульса, найденную выше,
Используя повышающие и понижающие свойства метрики и этого ,
С ,
В общей теории относительности
В ОТО , то симметричен тензор энергии-действует как источник пространственно - временной кривизны , а плотность тока , связанная с калибровочными преобразованиями тяжести , которые вообще криволинейные преобразования координат . (Если есть кручение , то тензор больше не является симметричным. Это соответствует случаю с ненулевым тензором спина в теории гравитации Эйнштейна – Картана .)
В общей теории относительности частные производные, используемые в специальной теории относительности, заменены ковариантными производными . Это означает, что уравнение неразрывности больше не подразумевает, что негравитационная энергия и импульс, выраженные тензором, абсолютно сохраняются, то есть гравитационное поле может действовать на материю и наоборот. В классическом пределе ньютоновской гравитации это имеет простую интерпретацию: кинетическая энергия обменивается с гравитационной потенциальной энергией , которая не входит в тензор, а импульс передается через поле другим телам. В общей теории относительности псевдотензор Ландау – Лифшица - это уникальный способ определения плотности энергии и импульса гравитационного поля. Любой такой псевдотензор энергии-напряжения может быть локально обращен в нуль с помощью преобразования координат.
В искривленном пространстве-времени пространственноподобный интеграл теперь вообще зависит от пространственноподобного среза. Фактически невозможно определить глобальный вектор энергии-импульса в искривленном пространстве-времени.
Уравнения поля Эйнштейна
В общей теории относительности тензор напряжений изучается в контексте уравнений поля Эйнштейна, которые часто записываются как
где - тензор Риччи ,- скаляр Риччи ( тензорное сжатие тензора Риччи),- метрический тензор , Λ - космологическая постоянная (пренебрежимо малая в масштабе галактики или меньше), и- универсальная гравитационная постоянная .
Стресс – энергия в особых ситуациях
Изолированная частица
В специальной теории относительности напряжение-энергия невзаимодействующей частицы с массой покоя m и траекторией является:
где - вектор скорости (который не следует путать с четырехскоростной , так как в нем отсутствует)
- дельта-функция Дирака иэто энергия частицы.
Написанный на языке классической физики, тензор энергии-импульса будет иметь вид (релятивистская масса, импульс, диадное произведение импульса и скорости)
.
Напряжение – энергия жидкости в равновесии.
Для идеальной жидкости в термодинамическом равновесии тензор энергии-импульса принимает особенно простой вид
где - удельная масса – энергия (килограммы на кубический метр), - гидростатическое давление ( паскали ),- четыре скорости жидкости , а- величина, обратная метрическому тензору . Следовательно, след определяется выражением
Эти четыре скоростей удовлетворяет
В инерциальной системе отсчета, сопутствующей с жидкостью, более известной как собственная система отсчета жидкости , четыре скорости равны
обратная величина метрического тензора просто
а тензор энергии-импульса - диагональная матрица
Электромагнитный тензор энергии-напряжения.
Тензор энергии-импульса Гильберта электромагнитного поля без источника имеет вид
где - тензор электромагнитного поля .
Скалярное поле
Тензор энергии-импульса для комплексного скалярного поля удовлетворяющее уравнению Клейна – Гордона, имеет вид
а когда метрика плоская (Минковский в декартовых координатах), ее компоненты получаются такими:
Варианты определения напряжения – энергии
Существует ряд неэквивалентных определений [5] негравитационного напряжения – энергии:
Гильбертовый тензор энергии-импульса
Тензор энергии-импульса Гильберта определяется как функциональная производная
где негравитационная часть действия ,- негравитационная часть плотности лагранжиана , и было использовано уравнение Эйлера-Лагранжа . Это симметрично и калибровочно-инвариантно. См. Действие Эйнштейна – Гильберта для получения дополнительной информации.
Канонический тензор энергии-импульса
Теорема Нётер подразумевает, что существует сохраняющийся ток, связанный с переводами в пространстве и времени. Это называется каноническим тензором энергии-импульса. Как правило, это не симметрично, и если у нас есть калибровочная теория, она может не быть калибровочно-инвариантной, потому что пространственно-зависимые калибровочные преобразования не коммутируют с пространственными переносами.
В общей теории относительности трансляции относятся к системе координат и, как таковые, не преобразуются ковариантно. См. Раздел ниже о гравитационном псевдотензоре энергии-импульса.
Тензор энергии-импульса Белинфанте – Розенфельда
При наличии спина или другого собственного углового момента канонический тензор энергии напряжения Нётер не может быть симметричным. Тензор энергии напряжения Белинфанте – Розенфельда строится из канонического тензора энергии-импульса и спинового тока таким образом, чтобы он был симметричным и все еще сохранялся. В общей теории относительности этот модифицированный тензор согласуется с тензором энергии-импульса Гильберта.
Гравитационное напряжение – энергия
Согласно принципу эквивалентности, гравитационное напряжение-энергия всегда будет локально обращаться в нуль в любой выбранной точке в некоторой выбранной системе отсчета, поэтому гравитационное напряжение-энергия не может быть выражено как ненулевой тензор; вместо этого мы должны использовать псевдотензор .
В общей теории относительности существует множество различных определений гравитационного псевдотензора напряжения-энергии-импульса. К ним относятся псевдотензор Эйнштейна и псевдотензор Ландау – Лифшица . Псевдотензор Ландау – Лифшица можно свести к нулю в любом событии пространства-времени, выбрав подходящую систему координат.
Смотрите также
Гипотеза Куперстока о локализации энергии
Электромагнитный тензор энергии-напряжения.
Энергетическое состояние
Плотность энергии электрического и магнитного полей
Тензор напряжений Максвелла
Вектор Пойнтинга
Исчисление Риччи
Классификация Сегре
Примечания и ссылки
↑ На стр. 141–142 Мизнера, Торна и Уиллера раздел 5.7 «Симметрия тензора напряжения-энергии» начинается со слов: «Все исследованные выше тензоры энергии-напряжения были симметричными. следует. "
^ Миснер, Чарльз У .; Thorne, Kip S .; Уиллер, Джон А. (1973). Гравитация . Сан-Франциско, Калифорния: WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-0334-3.
^д'Инверно, РА (1992). Введение в теорию относительности Эйнштейна . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-859686-8.
^Ландау, ЛД; Лифшиц, Э.М. (2010). Классическая теория поля (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. С. 84–85. ISBN 978-0-7506-2768-9.
^Бейкер, MR; Кирющева, Н .; Кузьмин, С. (2021). «Нётер и гильбертовские (метрические) тензоры энергии-импульса, вообще говоря, не эквивалентны» . Ядерная физика Б . 962 (1): 115240. arXiv : 2011.10611 . DOI : 10.1016 / j.nuclphysb.2020.115240 .
В. Висс (2005). "Тензор энергии-импульса в классической теории поля" (PDF) . Колорадо, США.
Внешние ссылки
Лекция, Стефан Ванер
Учебник Калифорнийского технологического института по теории относительности - простое обсуждение связи между тензором напряжения – энергии общей теории относительности и метрикой.