Действие Эйнштейна – Гильберта является основой наиболее элементарного вариационного принципа, из которого могут быть определены полевые уравнения общей теории относительности . Однако использование действия Эйнштейна – Гильберта уместно только тогда, когда лежащее в основе пространственно-временное многообразиеявляется замкнутым , т. е. компактным и без края многообразием . В случае, если многообразие имеет границу, действие следует дополнить граничным членом, чтобы вариационный принцип был четко определен.
Необходимость такого граничного термина была впервые осознана Йорком, а затем незначительно уточнена Гиббонсом и Хокингом .
Для незамкнутого многообразия подходящим действием является
где действие Эйнштейна – Гильберта, - граничный член Гиббонса – Хокинга – Йорка, - индуцированная метрика (определения см. ниже) на границе, его определитель, является следом второй фундаментальной формы , равно где нормаль к космический и где нормаль к времяподобно, и - координаты на границе. Варьируя действие относительно метрики, при условии
дает уравнения Эйнштейна ; добавление граничного члена означает, что при выполнении вариации геометрия границы, закодированная в поперечной метрикеисправлено (см. раздел ниже). Остается неоднозначность действия с точностью до произвольного функционала индуцированной метрики.
Граничный член необходим в гравитационном случае потому, что , гравитационная плотность лагранжиана, содержит вторые производные метрического тензора. Это нетипичная особенность теорий поля, которые обычно формулируются в терминах лагранжианов, которые включают только первые производные полей, которые нужно варьировать.
Термин GHY желателен, поскольку он обладает рядом других ключевых особенностей. При переходе к гамильтонову формализму необходимо включить член GHY, чтобы воспроизвести правильную энергию Арновитта – Дезера – Миснера ( энергия ADM ). Этот член необходим, чтобы гарантировать, что интеграл по путям (а-ля Хокинг) для квантовой гравитации имеет правильные композиционные свойства. При вычислении энтропии черной дыры с использованием евклидова полуклассического подхода весь вклад вносит член GHY. Этот термин нашел более недавнее применение в петлевой квантовой гравитации при вычислении амплитуд переходов и амплитуд рассеяния, не зависящих от фона.
Чтобы определить конечное значение действия, может потребоваться вычесть поверхностный член для плоского пространства-времени:
где - внешняя кривизна границы вложенного плоского пространства-времени. В виде инвариантен относительно вариаций , этот дополнительный член не влияет на уравнения поля; как таковой, это называется нединамическим термином.
Введение в гиперповерхности
Определение гиперповерхностей
В четырехмерном пространственно-временном многообразии гиперповерхность - это трехмерное подмногообразие, которое может быть времяподобным, пространственноподобным или нулевым.
Особая гиперповерхность можно выбрать либо путем наложения ограничения на координаты
или задав параметрические уравнения,
где - координаты, присущие гиперповерхности.
Например, двумерная сфера в трехмерном евклидовом пространстве может быть описана либо следующим образом:
где - радиус сферы, или
где а также являются внутренними координатами.
Гиперповерхностные ортогональные векторные поля
Возьмем метрическое соглашение (-, +, ..., +). Начнем с семейства гиперповерхностей:
где разные члены семейства соответствуют разным значениям постоянной . Рассмотрим две соседние точки а также с координатами а также соответственно, лежащие на одной гиперповерхности. Затем мы должны сначала заказать
Вычитание из этого уравнения дает
в . Это означает, чтонормально к гиперповерхности. Единица нормальнаяможет быть введен в случае, когда гиперповерхность не равна нулю. Это определяется
и мы требуем, чтобы указать в сторону увеличения . Тогда легко проверить, что дан кем-то
если гиперповерхность либо пространственноподобная, либо времениподобная.
Индуцированная и поперечная метрика
Три вектора
касаются гиперповерхности.
Индуцированная метрика - это трехтензорный определяется
Это действует как метрический тензор на гиперповерхности в координаты. Для перемещений, ограниченных гиперповерхностью (чтобы)
Поскольку три вектора касаются гиперповерхности,
где - единичный вектор () нормально к гиперповерхности.
Введем так называемую поперечную метрику
Он изолирует часть метрики, поперечную к нормали. .
Легко видеть, что этот четырехтензорный
проецирует часть четырехвектора, перпендикулярного нормали в виде
У нас есть
Если мы определим быть противоположностью , легко проверить
где
Обратите внимание, что изменение зависит от условия
подразумевает, что , индуцированная метрика на , фиксируется во время вариации.
О доказательстве основного результата
В следующих подразделах мы сначала вычислим вариацию члена Эйнштейна – Гильберта, а затем вариацию граничного члена, и покажем, что их сумма дает
где нормальна ли единица к а также , а также - координаты на границе. А также где где , является инвариантным элементом трехмерного объема на гиперповерхности. В нашем конкретном случае мы берем.
Теперь мы оцениваем на границе , имея в виду, что на . Принимая это во внимание, имеем
Полезно отметить, что
где во второй строке мы поменяли местами а также и использовал, что метрика симметрична. Тогда нетрудно отработать.
А сейчас
где во второй строке мы использовали тождество , а в третьей строке мы использовали антисимметрию в а также . В виде исчезает всюду на границе его тангенциальные производные также должны исчезнуть: . Следует, что. Итак, наконец, у нас есть
Собирая результаты, получаем
Далее мы покажем, что указанный выше граничный член будет отменен вариацией .
Вариация граничного срока
Теперь обратимся к варианту срок. Поскольку индуцированная метрика фиксируется на единственное количество, которое можно изменить, это - след внешней кривизны .
У нас есть
где мы использовали это подразумевает Итак, вариация является
где мы использовали тот факт, что касательные производные от исчезнуть на Мы получили
который сокращает второй интеграл в правой части уравнения. 1. Суммарное изменение гравитационного воздействия составляет:
Это дает правильную левую часть уравнений Эйнштейна. Это доказывает основной результат.
Этот результат был обобщен на теории гравитации четвертого порядка на многообразиях с границами в 1983 г. [1] и опубликован в 1985 г. [2]
Нединамичный термин
Мы подробно остановимся на роли
в гравитационном действии. Как уже было сказано выше, поскольку этот срок зависит только от, его вариация по дает ноль и поэтому не влияет на уравнения поля, его цель - изменить числовое значение воздействия. Поэтому мы будем называть его нединамическим термином.
Предположим, что является решением уравнений вакуумного поля, и в этом случае скаляр Риччи исчезает. Численное значение гравитационного воздействия тогда
где мы пока игнорируем нединамический член. Давайте оценим это для плоского пространства-времени. Выберите границу состоять из двух гиперповерхностей постоянного значения времени и большой трехцилиндровый на (то есть произведение конечного интервала и трехсферы радиуса ). У нас естьна гиперповерхностях постоянного времени. На трех цилиндрах в координатах, присущих гиперповерхности, линейный элемент имеет вид
означает, что индуцированная метрика
чтобы . Единица нормальная, так . потом
и расходится как , то есть когда пространственная граница отодвинута до бесконечности, даже когда ограничен двумя гиперповерхностями постоянного времени. Можно было бы ожидать такой же проблемы для искривленных пространств-времени, которые являются асимптотически плоскими (нет проблем, если пространство-время компактно). Эта проблема решается нединамичным термином. Различия будет хорошо определен в пределе .
Вариация модифицированных условий гравитации
Есть много теорий, которые пытаются модифицировать общую теорию относительности разными способами, например, гравитация f (R) заменяет R, скаляр Риччи в действии Эйнштейна – Гильберта, на функцию f (R). Guarnizo et al. нашел граничный член для общей теории f (R). [3] Они обнаружили, что «модифицированное действие в метрическом формализме f (R) гравитации плюс граничный член, подобный Гиббонсу – Йорку – Хокингу, должен быть записан как:»
где .
Используя разложение ADM и вводя дополнительные вспомогательные поля, в 2009 году Deruelle et al. нашел способ найти граничный член для «теорий гравитации, лагранжиан которых является произвольной функцией тензора Римана». [4] Этот метод можно использовать для нахождения граничных членов GHY для бесконечной производной силы тяжести . [5]
Интегральный подход к квантовой гравитации
Как упоминалось в начале, член GHY требуется, чтобы гарантировать, что интеграл по путям (а-ля Хокинг и др.) Для квантовой гравитации имеет правильные композиционные свойства.
Этот старый подход к интегральной по траекториям квантовой гравитации имел ряд трудностей и нерешенных проблем. Отправной точкой в этом подходе является идея Фейнмана о том, что можно представить амплитуду
перейти из состояния с метрикой и поля материи на поверхности в состояние с метрикой и поля материи на поверхности , как сумма по всем конфигурациям полей а также которые принимают граничные значения полей на поверхностях а также . Мы пишем
где - мера на пространстве всех конфигураций полей а также , - действие полей, а интеграл берется по всем полям, которые имеют заданные значения на а также .
Утверждается, что достаточно указать трехмерную индуцированную метрику на границе.
Теперь рассмотрим ситуацию, когда происходит переход от метрики , на поверхности , в метрику , на поверхности а затем перейти к метрике на более поздней поверхности
Хотелось бы иметь обычное правило композиции
выражая, что амплитуда перехода от начального к конечному состоянию должна быть получена путем суммирования по всем состояниям на промежуточной поверхности .
Позволять быть метрикой между а также а также быть метрикой между а также . Хотя индуцированная метрика а также согласится на , нормальная производная от в в целом не будет равняться в . Принимая во внимание последствия этого, затем можно показать, что правило композиции будет выполняться тогда и только тогда, когда мы включим граничный член GHY. [6]
В следующем разделе показано, как этот интегральный подход к квантовой гравитации приводит к концепции температуры черной дыры и внутренней квантово-механической энтропии.
Расчет энтропии черной дыры с использованием евклидова полуклассического подхода
Применение в петлевой квантовой гравитации
Амплитуды переходов и главная функция Гамильтона
В квантовой теории объектом, который соответствует главной функции Гамильтона, является амплитуда перехода . Рассмотрим гравитацию, заданную в компактной области пространства-времени с топологией четырехмерного шара. Граница этой области представляет собой трехмерное пространство с топологией трех сфер, которое мы называем. В чистой гравитации без космологической постоянной, поскольку скаляр Риччи обращается в нуль на решениях уравнений Эйнштейна, объемное действие исчезает и главная функция Гамильтона полностью задается в терминах граничного члена,
где - внешняя кривизна границы, - трехметрика, индуцированная на границе, а - координаты на границе.
Функционал является весьма нетривиальным для вычисления функционалом; это потому, что внешняя кривизнаопределяется объемным решением, выделенным внутренней геометрией границы. Как таковойне является локальным. Зная общую зависимость из равносильно знанию общего решения уравнений Эйнштейна.
Амплитуды рассеяния, не зависящие от фона
Петлевая квантовая гравитация сформулирована на независимом от фона языке. Никакое пространство-время не предполагается априори, а скорее построено на самих состояниях теории - однако амплитуды рассеяния выводятся из-точечные функции ( корреляционная функция (квантовая теория поля) ) и они, сформулированные в традиционной квантовой теории поля, являются функциями точек фонового пространства-времени. Связь между формализмом, не зависящим от фона, и традиционным формализмом квантовой теории поля в данном пространстве-времени далеко не очевидна, и далеко не очевидно, как восстановить низкоэнергетические величины из полной теории, не зависящей от фона. Хотелось бы вывести-точечные функции теории из не зависящего от фона формализма, чтобы сравнить их со стандартным пертурбативным разложением квантовой общей теории относительности и, следовательно, проверить, что петлевая квантовая гравитация дает правильный низкоэнергетический предел.
Предложена стратегия решения этой проблемы; [7] идея состоит в том, чтобы изучить граничную амплитуду или амплитуду перехода компактной области пространства-времени, а именно интеграл по путям в конечной области пространства-времени, рассматриваемый как функцию граничного значения поля. [8] [9] В традиционной квантовой теории поля эта граничная амплитуда четко определена [10] [11] и кодирует физическую информацию теории; это происходит и в квантовой гравитации, но полностью независимым от фона образом. [12] Общековариантное определение-точечные функции могут быть основаны на идее, что расстояние между физическими точками - аргументы -точечная функция определяется состоянием гравитационного поля на границе рассматриваемой области пространства-времени.
Ключевое наблюдение состоит в том, что в гравитации граничные данные включают гравитационное поле, следовательно, геометрию границы и, следовательно, все соответствующие относительные расстояния и временные интервалы. Другими словами, граничная формулировка очень элегантно реализует в квантовом контексте полное отождествление геометрии пространства-времени и динамических полей.
^Гуарнизо, Алехандро; Кастанеда, Леонардо; Техейро, Хуан М. (2010). «Граничный член в метрической f (R) гравитации: уравнения поля в метрическом формализме». Общая теория относительности и гравитации . 42 (11): 2713–2728. arXiv : 1002.0617 . Bibcode : 2010GReGr..42.2713G . DOI : 10.1007 / s10714-010-1012-6 .
^Теймури, Али; Талаганис, Спиридон; Эдхольм, Джеймс; Мазумдар, Анупам (2016). «Обобщенные граничные условия для высших производных теорий гравитации». Журнал физики высоких энергий . 2016 (8). arXiv : 1606.01911 . Bibcode : 2016JHEP ... 08..144T . DOI : 10.1007 / JHEP08 (2016) 144 .
↑ Например, см. Книгу Стивена Хокинга «Хокинг о большом взрыве и черных дырах», глава 15.
^Модесто, Леонардо; Ровелли, Карло (1 ноября 2005 г.). «Рассеяние частиц в петлевой квантовой гравитации». Письма с физическим обзором . Американское физическое общество (APS). 95 (19): 191301. arXiv : gr-qc / 0502036 . DOI : 10.1103 / physrevlett.95.191301 . ISSN 0031-9007 .
^Окль, Роберт (2003). «Общая граничная формулировка для квантовой механики и квантовой гравитации» . Физика Письма Б . Elsevier BV. 575 (3–4): 318–324. DOI : 10.1016 / j.physletb.2003.08.043 . ISSN 0370-2693 .
^Окль, Роберт (2003-11-03). «Кот Шредингера и часы: уроки квантовой гравитации». Классическая и квантовая гравитация . IOP Publishing. 20 (24): 5371–5380. arXiv : gr-qc / 0306007 . DOI : 10.1088 / 0264-9381 / 20/24/009 . ISSN 0264-9381 .
^Conrady, Florian; Rovelli, Carlo (2004-09-30). "Generalized Schrödinger equation in Euclidean field theory". International Journal of Modern Physics A. World Scientific Pub Co Pte Lt. 19 (24): 4037–4068. arXiv:hep-th/0310246. doi:10.1142/s0217751x04019445. ISSN 0217-751X.
^Doplicher, Luisa (2004-09-24). "Generalized Tomonaga-Schwinger equation from the Hadamard formula". Physical Review D. American Physical Society (APS). 70 (6): 064037. arXiv:gr-qc/0405006. doi:10.1103/physrevd.70.064037. ISSN 1550-7998.
^Conrady, Florian; Doplicher, Luisa; Oeckl, Robert; Rovelli, Carlo; Testa, Massimo (2004-03-18). "Minkowski vacuum in background independent quantum gravity". Physical Review D. American Physical Society (APS). 69 (6): 064019. arXiv:gr-qc/0307118. doi:10.1103/physrevd.69.064019. ISSN 1550-7998.
Рекомендации
York, J. W. (1972). "Role of conformal three-geometry in the dynamics of gravitation". Physical Review Letters. 28 (16): 1082. Bibcode:1972PhRvL..28.1082Y. doi:10.1103/PhysRevLett.28.1082.
Gibbons, G. W.; Hawking, S. W. (1977). "Action integrals and partition functions in quantum gravity". Physical Review D. 15 (10): 2752. Bibcode:1977PhRvD..15.2752G. doi:10.1103/PhysRevD.15.2752.
Hawking, S W; Horowitz, Gary T (1996-06-01). "The gravitational Hamiltonian, action, entropy and surface terms". Classical and Quantum Gravity. IOP Publishing. 13 (6): 1487–1498. arXiv:gr-qc/9501014. doi:10.1088/0264-9381/13/6/017. ISSN 0264-9381.
Brown, J. David; York, James W. (1993-02-15). "Microcanonical functional integral for the gravitational field". Physical Review D. American Physical Society (APS). 47 (4): 1420–1431. arXiv:gr-qc/9209014. doi:10.1103/physrevd.47.1420. ISSN 0556-2821.