В науке и особенно в математических исследованиях вариационный принцип - это принцип, который позволяет решить проблему с использованием вариационного исчисления , что касается поиска таких функций, которые оптимизируют значения величин, которые зависят от этих функций. Например, задача определения формы подвешенной на обоих концах цепочки - контактной сети - может быть решена с помощью вариационного исчисления, и в этом случае вариационный принцип выглядит следующим образом: решение представляет собой функцию, которая минимизирует гравитационный потенциал энергия цепи.
Обзор
Любой физический закон, который можно выразить в виде вариационного принципа, описывает самосопряженный оператор . [1] [ требуется проверка ] Эти выражения также называют эрмитовыми . Такое выражение описывает инвариант относительно эрмитова преобразования.
История
Феликс Клейн «ы программа Эрлангена пыталась определить такие инварианты относительно группы преобразований. В том, что в физике называется теоремой Нётер , группа преобразований Пуанкаре (то, что теперь называется калибровочной группой ) для общей теории относительности определяет симметрии относительно группы преобразований, которые зависят от вариационного принципа или принципа действия .
Примеры
По математике
- Метод Рэлея – Ритца приближенного решения краевых задач.
- Вариационный принцип Экланда в математической оптимизации
- Метод конечных элементов
- Принцип вариации, связывающий топологическую энтропию и энтропию Колмогорова-Синая .
В физике
- Принцип Ферма в геометрической оптике
- Принцип Мопертюи в классической механике
- Принцип наименьшего действия в механике , электромагнитной теории и квантовой механики
- Вариационный метод в квантовой механике
- Принцип наименьшего принуждения Гаусса и принцип наименьшей кривизны Герца
- Принцип действия Гильберта в общей теории относительности, приводящий к уравнениям поля Эйнштейна .
- Вариация Палатини
Рекомендации
- ^ Ланцош, Корнелиус (1974) [1-е опубликовано в 1970 году, University of Toronto Press ]. Вариационные принципы механики (4-е изд. В мягкой обложке). Дувр. ISBN 0-8020-1743-6.
- Экеланд, Ивар (1979). «Задачи невыпуклой минимизации» . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 1 (3): 443–474. DOI : 10.1090 / S0273-0979-1979-14595-6 . Руководство по ремонту 0526967 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- С. Т. Эпштейн 1974 "Вариационный метод в квантовой химии". (Нью-Йорк: академический)
- Р.П. Фейнман , «Принцип наименьшего действия», почти дословная стенограмма лекции Тома 2, главы 19 Лекций Фейнмана по физике , Эддисон-Уэсли, 1965. Введение в неподражаемом стиле Фейнмана.
- К. Ланцош, Вариационные принципы механики (Dover Publications)
- Р.К. Несбет 2003 "Вариационные принципы и методы теоретической физики и химии". (Нью-Йорк: Кембридж, UP)
- С.К. Адхикари 1998 "Вариационные принципы численного решения задач рассеяния". (Нью-Йорк: Wiley)
- CG Gray, G Karl G и VA Novikov 1996, Ann. Phys. 251 1.
- Грей К.Г., Карл Г. и Новиков В.А. " Прогресс в классических и квантовых вариационных принципах ". 11 декабря 2003. физика / 0312071 Классическая физика.
- Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.) . Прентис Холл. ISBN 0-13-805326-X.
- Джон Венейблс, " Вариационный принцип и некоторые приложения ". Кафедра физики и астрономии, Государственный университет Аризоны, Темпе, Аризона (аспирантура: квантовая физика)
- Эндрю Джеймс Уильямсон, " Вариационный принцип - вычисления электронных возбуждений квантовым методом Монте-Карло". Колледж Робинсона, Кембридж, Группа теории конденсированных сред, Кавендишская лаборатория. Сентябрь 1996 г. (диссертация доктора философских наук).
- Киёхиса Токунага, " Вариационный принцип электромагнитного поля ". Полный интеграл электромагнитного канонического действия, часть вторая, релятивистская каноническая теория электромагнетизма, глава VI
- Комков, Вадим (1986) Вариационные принципы механики сплошных сред с инженерными приложениями. Vol. 1. Теория критических точек. Математика и ее приложения, 24. D. Reidel Publishing Co., Dordrecht.
- Кассель, Кевин В.: Вариационные методы с приложениями в науке и технике, Cambridge University Press, 2013.