Принцип Ферма , также известный как принцип наименьшего времени , является связующим звеном между лучевой оптикой и волновой оптикой . В своей исходной «сильной» форме [1] принцип Ферма гласит, что путь, пройденный лучом между двумя заданными точками, является путем, который можно пройти за наименьшее время. Чтобы это утверждение было истинным во всех случаях, это утверждение должно быть ослаблено заменой «наименьшего» времени на время, которое « стационарно » по отношению к вариациям пути - так, чтобы отклонение пути приводило, самое большее, изменение времени обхода второго порядка . Грубо говоря, путь луча окружен близкими путями, которые можно пройти очень быстро.близкие времена. Это можно показать , что это техническое определение соответствует более интуитивному понятию луча, таким как прямая видимость или путь узкого пучка.
Принцип Ферма, впервые предложенный французским математиком Пьером де Ферма в 1662 году для объяснения обычного закона преломления света (рис. 1), изначально был спорным, поскольку он, казалось, приписывал знания и намерения природе. Лишь в XIX веке стало понятно, что способность природы проверять альтернативные пути - это просто фундаментальное свойство волн. [2] Если указаны точки A и B , волновой фронт, расширяющийся от A, охватывает все возможные пути лучей, исходящие от A , независимо от того, проходят они через B или нет. Если волновой фронт достигает точки B , он охватывает не только путь (пути) луча от A до B , но также бесконечное количество ближайших путей с такими же конечными точками. Принцип Ферма описывает любой луч, который достигает точки B ; нет никакого смысла в том, что луч «знал» самый быстрый путь или «намеревался» пойти по нему.
В целях сравнения времени обхода время от одной точки до следующей назначенной точки берется так, как если бы первая точка была точкой-источником . [3] Без этого условия время обхода было бы неоднозначным; например, если время распространения от P до P ' отсчитывается от произвольного волнового фронта W, содержащего P (рис. 2), это время можно сделать произвольно малым путем подходящего угла наклона волнового фронта.
Рассмотрение точки на пути как источника является минимальным требованием принципа Гюйгенса и частью объяснения принципа Ферма. Но можно также показать, что геометрическая конструкция, с помощью которой Гюйгенс пытался применить свой собственный принцип (в отличие от самого принципа), является просто вызовом принципа Ферма. [4] Следовательно, все выводы, которые Гюйгенс сделал из этой конструкции, включая, помимо прочего, законы прямолинейного распространения света, обычное отражение, обычное преломление и необычайное преломление « исландского кристалла » (кальцита), также являются следствием Принцип Ферма.
Вывод
Достаточные условия
Предположим, что:
- (1) Возмущение распространяется последовательно через среду (вакуум или какой-либо материал, не обязательно однородный или изотропный ), без воздействия на расстоянии ;
- (2) Во время распространения влияние возмущения в любой промежуточной точке P на окружающие точки имеет ненулевой угловой разброс (как если бы P был источником), так что возмущение, возникающее в любой точке A, достигает любой другой точки B. через бесконечное количество путей, по которым B получает бесконечное количество отложенных версий возмущения в A ; [Примечание 1] и
- (3) Эти отложенные версии возмущения будут усиливать друг друга в точке B, если они синхронизированы в пределах некоторого допуска.
Тогда различные пути распространения от A до B будут помогать друг другу, если время их прохождения согласуется в пределах указанного допуска. Для небольшого допуска (в предельном случае) допустимый диапазон изменений траектории максимизируется, если траектория такова, что время ее прохождения стационарно по отношению к вариациям, так что изменение траектории вызывает не более секунды - изменение порядка во времени обхода. [5]
Наиболее очевидный пример стационарности во времени обхода - это (локальный или глобальный) минимум, то есть путь наименьшего времени, как в «сильной» форме принципа Ферма. Но это условие не является существенным для аргументации. [Заметка 2]
Установив, что путь стационарного времени прохождения подкрепляется максимально широким коридором из соседних путей, нам все же нужно объяснить, как это подкрепление соответствует интуитивным представлениям о луче. Но для краткости объяснений давайте сначала определим траекторию луча как траекторию стационарного времени прохождения.
Луч как путь прохождения сигнала (линия прямой видимости)
Если коридор путей, усиливающих путь луча от A к B , существенно затруднен, это значительно изменит возмущение, достигающее B от A - в отличие от препятствия аналогичного размера за пределами любого такого коридора, блокирующего пути, которые не усиливают друг друга. Первое препятствие значительно нарушит сигнал, достигающий B от A , а второе - нет; таким образом, путь луча отмечает путь прохождения сигнала . Если сигнал представляет собой видимый свет, первое препятствие значительно повлияет на внешний вид объекта в точке A, видимого наблюдателем в точке B , а второе - нет; таким образом, путь луча отмечает линию обзора .
В оптических экспериментах луч зрения обычно считается траекторией луча. [6]
Луч как энергетический путь (луч)
Если коридор путей, усиливающих путь луча от A к B, будет существенно затруднен, это существенно повлияет на энергию [Примечание 3], достигающую B от A - в отличие от препятствия аналогичного размера за пределами любого такого коридора. Таким образом, путь луча отмечает путь энергии - как и луч.
Предположим , что волновой фронт расширяется из точки А проходит точку Р , которая лежит на пути луча от точки A до точки B . По определению, все точки на фронте волны имеют одинаковое время распространения от А . Пусть теперь волновой фронт будет заблокирован для окна, с центром на , кроме Р , и достаточно малы , чтобы лежат в коридоре путей , которые усиливают путь луча от A до B . Тогда все точки на беспрепятственной части волнового фронта будут иметь почти одинаковое время распространения с B , но не с точками в других направлениях, так что B будет в направлении максимальной интенсивности луча, проходящего через окно. [7] Таким образом, путь луча отмечает луч. А в оптических экспериментах луч обычно рассматривается как совокупность лучей или (если он узкий) как приближение к лучу (рис. 3). [8]
Аналогии
Согласно «сильной» форме принципа Ферма, задача определения пути светового луча от точки A в среде с более быстрым распространением до точки B в среде с более медленным распространением ( рис. 1 ) аналогична задаче проблема, с которой сталкивается спасатель, решая, где войти в воду, чтобы как можно скорее добраться до тонущего пловца, учитывая, что спасатель может бежать быстрее, чем он (а) плавать. [9] Но эта аналогия не объясняет поведение света, потому что спасатель может подумать о проблеме (хотя бы на мгновение), тогда как свет, по-видимому, не может. Открытие того, что муравьи способны на аналогичные вычисления [10], не устраняет разрыва между живым и неодушевленным.
Напротив, приведенные выше предположения (1) - (3) справедливы для любого волнового возмущения и объясняют принцип Ферма в чисто механистических терминах, без какого-либо вменения знания или цели.
Принцип применим к волнам в целом, включая, например, звуковые волны в жидкостях и упругие волны в твердых телах. [11] В модифицированной форме, она работает даже для волн материи : в квантовой механике , то классический путь частицы может быть получен путем применения принципа Ферма к соответствующей волне - за исключением того, что, так как частота может изменяться в зависимости от пути, стационарность находится в фазовом сдвиге (или количестве циклов), а не обязательно во времени. [12] [13]
Однако принцип Ферма наиболее известен в случае видимого света : это связь между геометрической оптикой , которая описывает определенные оптические явления в терминах лучей , и волновой теорией света , которая объясняет те же явления на основе гипотезы о том, что свет состоит из волн .
Эквивалентность конструкции Гюйгенса
В этой статье мы проводим различие между принципом Гюйгенса, согласно которому каждая точка, пересекаемая бегущей волной, становится источником вторичной волны, и конструкцией Гюйгенса , описанной ниже.
Пусть поверхность W будет волновым фронтом в момент времени t , а поверхность W ′ будет тем же волновым фронтом в более поздний момент времени t + Δt (рис. 4). Пусть P будет общая точка на W . Тогда согласно конструкции Гюйгенса [14]
- (a) W ′ - огибающая (общая касательная поверхность) на передней стороне W всех вторичных волновых фронтов, каждый из которых будет расширяться во времени Δt из точки на W , и
- (b) если вторичный волновой фронт, расширяющийся из точки P за время Δt, касается поверхности W ′ в точке P ′ , то P и P ′ лежат на луче .
Построение можно повторить, чтобы найти последовательные положения первичного волнового фронта и последовательные точки на луче.
Направление луча, задаваемое этой конструкцией, является радиальным направлением вторичного волнового фронта [15] и может отличаться от нормали вторичного волнового фронта (см. Рис. 2 ) и, следовательно, от нормали первичного волнового фронта в точке касание. Следовательно, лучевая скорость по величине и направлению является радиальной скоростью бесконечно малого вторичного волнового фронта и обычно является функцией местоположения и направления. [16]
Пусть теперь Q - точка на W, близкая к P , и пусть Q ′ - точка на W ′, близкая к P ′ . Тогда по построению
- (i) время, необходимое для того, чтобы вторичный волновой фронт от точки P достиг Q ', имеет зависимость не более второго порядка от смещения P'Q' , и
- (ii) время, необходимое вторичному волновому фронту, чтобы достичь P ' от Q, имеет зависимость не более второго порядка от смещения PQ .
Согласно (i) путь луча - это путь стационарного времени прохождения от P до W ′ ; [17] и согласно (ii), это путь стационарного времени прохождения от точки на W до P ′ . [18]
Таким образом, конструкция Гюйгенса неявно определяет путь луча как путь стационарного времени прохождения между последовательными положениями волнового фронта , причем время отсчитывается от точечного источника на более раннем волновом фронте. [Примечание 4] Этот вывод остается в силе, если вторичные волновые фронты отражаются или преломляются поверхностями с неоднородностью свойств среды, при условии, что сравнение ограничивается путями воздействия и затронутыми частями волновых фронтов. [Примечание 5]
Однако принцип Ферма обычно выражается в терминах точка-точка , а не в терминах волнового фронта. Соответственно, давайте модифицируем пример, предположив, что волновой фронт, который становится поверхностью W в момент времени t и который становится поверхностью W ' в более поздний момент времени t + Δt , излучается из точки A в момент времени 0 . Пусть P - точка на W (как и раньше), а B - точка на W ′ . И пусть A, W, W ', и B будет дано, так что проблема найти P .
Если P удовлетворяет Гюйгенса конструкции, так что вторичный фронт волны от Р является касательной к W ' на B , то РВ представляет собой путь стационарного времени обхода от W до B . Добавляя фиксированное время от A до W , мы обнаруживаем, что APB - это путь стационарного времени прохождения от A до B (возможно, с ограниченной областью сравнения, как отмечено выше) в соответствии с принципом Ферма. Аргумент работает так же , как и в направлении обратном, при условии , что W ' имеет четко определенную касательную плоскость в B . Таким образом, конструкция Гюйгенса и принцип Ферма геометрически эквивалентны. [19] [Примечание 6]
Благодаря этой эквивалентности принцип Ферма поддерживает конструкцию Гюйгенса и, следовательно, все выводы, которые Гюйгенс смог сделать из этой конструкции. Короче говоря, «законы геометрической оптики могут быть выведены из принципа Ферма». [20] За исключением самого принципа Ферма-Гюйгенса, эти законы являются частными случаями в том смысле, что они зависят от дальнейших предположений о среде. Два из них упомянуты под следующим заголовком.
Особые случаи
Изотропные среды: лучи перпендикулярны волновым фронтам.
В изотропной среде, поскольку скорость распространения не зависит от направления, вторичные волновые фронты, которые расширяются из точек на первичном волновом фронте за заданное бесконечно малое время, имеют сферическую форму [16], так что их радиусы перпендикулярны их общей касательной поверхности в точках касания. Но их радиусы отмечают направления лучей, а их общая касательная поверхность представляет собой общий волновой фронт. Таким образом, лучи перпендикулярны (ортогональны) волновым фронтам. [21]
Поскольку большая часть преподавания оптики концентрируется на изотропных средах, а анизотропные среды рассматриваются как дополнительная тема, предположение о том, что лучи нормальны к волновым фронтам, может стать настолько распространенным, что даже принцип Ферма объясняется с помощью этого предположения [22], хотя на самом деле Принцип Ферма более общий.
Однородные среды: прямолинейное распространение
В однородной среде (также называемой однородной средой) все вторичные волновые фронты, которые расширяются от заданного первичного волнового фронта W за заданное время Δt , совпадают и одинаково ориентированы, так что их огибающая W ' может рассматриваться как огибающая одного вторичный волновой фронт , который сохраняет свою ориентацию , пока ее центр (источник) двигается по W . Если Р является его центром , а Р ' является точкой касания с W' , то P ' движется параллельно Р , так что плоскость , касательная к W' на Р ' параллельна плоскости , касательной к W в P . Пусть другой (конгруэнтный и аналогично ориентированный) вторичный волновой фронт будет центрирован на P ′ , движется вместе с P , и пусть он встречается со своей огибающей W ″ в точке P ″ . Тогда, по тем же соображениям, плоскость, касательная к W ″ в точке P ″ , параллельна двум другим плоскостям. Следовательно, из-за конгруэнтности и аналогичной ориентации направления лучей PP ' и P'P ″ одинаковы (но не обязательно перпендикулярны волновым фронтам, поскольку вторичные волновые фронты не обязательно являются сферическими). Эту конструкцию можно повторять любое количество раз, получая прямой луч любой длины. Таким образом, однородная среда пропускает прямолинейные лучи. [23]
Современная версия
Формулировка показателя преломления
Пусть путь Γ простирается от точки А до точки Б . Пусть s - длина дуги, измеренная на пути от точки A , и пусть t - время, необходимое для прохождения этой длины дуги со скоростью луча.(то есть с радиальной скоростью локального вторичного волнового фронта для каждого местоположения и направления на пути). Тогда время обхода всего пути Γ равно
(1)
(где A и B просто обозначают конечные точки и не должны рассматриваться как значения t или s ). Условие того, что Γ является лучевой траекторией, состоит в том, что изменение первого порядка T из-за изменения Γ равно нулю; это,
- .
Теперь давайте определим оптическую длину заданного пути ( длина оптического пути , OPL ) как расстояние, которое проходит луч в однородной изотропной эталонной среде (например, в вакууме) за то же время, которое требуется для прохождения заданного пути в локальная лучевая скорость. [24] Затем, если с обозначает скорость распространения в эталонной среде (например, скорость света в вакууме), оптическая длина пути , пройденного во времени DT является = с DT , оптическая длина путь , пройденный за время T является = кТ . Итак, умножая уравнение (1) на c , получаем
где - это лучевой индекс, то есть показатель преломления, рассчитанный на основе лучевой скорости вместо обычной фазовой скорости (нормальная скорость волны). [25] Для бесконечно малого пути имеем указывает на то, что оптическая длина - это физическая длина, умноженная на индекс луча: OPL - это условная геометрическая величина, из которой вычтено время. В терминах OPL условие того, что Γ является лучевой траекторией (принцип Ферма), принимает вид
- .
(2)
Это имеет форму принципа Мопертюи в классической механике (для отдельной частицы), где лучевой индекс в оптике играет роль импульса или скорости в механике. [26]
В изотропной среде, при которой скорость луча и фазовая скорость, [Примечание 7] можно заменить обычный показатель преломления п для п р . [27] [28]
Связь с принципом Гамильтона
Если x, y, z - декартовы координаты, а точка обозначает дифференцирование по s , можно записать принцип Ферма (2) [29]
В случае изотропной среды мы можем заменить n r нормальным показателем преломления n ( x, y, z ) , который является просто скалярным полем . Если затем определить оптический лагранжиан [30] как
Принцип Ферма становится [31]
- .
Если направление распространения всегда таково, что мы можем использовать z вместо s в качестве параметра пути (и точку для обозначения дифференцирования по z вместо s ), вместо этого можно записать оптический лагранжиан [32]
так что принцип Ферма становится
- .
Это имеет форму принципа Гамильтона в классической механике, за исключением того, что отсутствует измерение времени: третья пространственная координата в оптике играет роль времени в механике. [33] Оптический лагранжиан - это функция, которая при интегрировании по параметру пути дает OPL; это основа лагранжевой и гамильтоновой оптики . [34]
История
Ферма против картезианцев
Если луч следует по прямой, он, очевидно, выбирает путь наименьшей длины . Герой Александрии в своих « Катоптриках» (I век н. Э.) Показал, что обычный закон отражения от плоской поверхности следует из предпосылки, что общая длина пути луча минимальна. [36] В 1657 году Пьер де Ферма получил от Marin Cureau de la Chambre копию недавно опубликованного трактата, в котором Ла Шамбр отметил принцип Героя и жаловался, что он не работает при преломлении. [37]
Ферма ответил, что преломление можно привести к одной и той же схеме, если предположить, что свет идет по пути наименьшего сопротивления и что разные среды обладают разным сопротивлением. Его возможное решение, описанное в письме к Ла Шамбру от 1 января 1662 года, истолковало «сопротивление» как обратно пропорциональное скорости, так что свет шел по пути наименьшего времени . Эта предпосылка привела к обычному закону преломления при условии, что свет движется медленнее в оптически более плотной среде. [38] [Примечание 8]
Решение Ферма было вехой в том, что оно объединило известные тогда законы геометрической оптики в рамках вариационного принципа или принципа действия , создав прецедент для принципа наименьшего действия в классической механике и соответствующих принципов в других областях (см. Историю вариационных принципов по физике ). [39] Это было более примечательно, потому что в нем использовался метод адекватности , который можно понимать ретроспективно как нахождение точки, в которой наклон бесконечно короткого хорды равен нулю, [40] без промежуточного шага нахождения общего выражения для наклон ( производная ).
Это тоже сразу вызвало споры. Обычный закон преломления в то время был приписан Рене Декарту (ум. 1650), который пытался объяснить его, предполагая, что свет - это сила, которая распространяется мгновенно или что свет аналогичен теннисному мячу, который движется быстрее в пространстве. более плотная среда [41] [42], любая из предпосылок несовместима с предположением Ферма. Самый выдающийся защитник Декарта, Клод Клерселье , критиковал Ферма за то, что он явно приписывал знания и намерения природе, а также за неспособность объяснить, почему природа должна предпочитать экономить на времени, а не на расстоянии. Клерселье частично писал:
1. Принцип, который вы берете за основу своей демонстрации, а именно, что природа всегда действует кратчайшими и простейшими способами, является просто моральным принципом, а не физическим; оно не является и не может быть причиной какого-либо следствия в природе ... В противном случае мы приписали бы знание природе; но здесь под «природой» мы понимаем только этот порядок и этот закон, установленный в мире как таковом, который действует без предвидения, без выбора и с необходимой детерминацией.
2. Этот же принцип сделал бы природу нерешительной ... Ибо я спрашиваю вас ... когда луч света должен пройти из точки в редкой среде в точку в плотной среде, нет ли причин для природы колебаться, если , по вашему принципу, он должен выбирать прямую сразу же, как и изогнутую, так как если последняя окажется короче по времени, то первая короче и проще по длине? Кто будет решать, а кто произносит? [43]
Ферма, не зная о механистических основах своего собственного принципа, был не в состоянии защищать его, за исключением чисто геометрического и кинематического утверждения. [44] [45] волновая теория света , впервые предложенная Робертом Гуком в год смерти Ферма, [46] и быстро улучшается Игнас Гастон Пардис [47] и (особенно) Христианом Гюйгенсом , [48] содержала необходимые основы; но признание этого факта было на удивление медленным.
Надзор Гюйгенса
Гюйгенс неоднократно называл огибающую своих вторичных волновых фронтов окончанием движения [49], имея в виду, что более поздний волновой фронт был внешней границей, которую возмущение могло достичь за заданное время [50], что, следовательно, было минимальным временем, в течение которого каждая точка на более позднем волновом фронте могла быть достигнута. Но он не утверждал, что направление минимума времени было направлением от вторичного источника к точке касания; вместо этого он вывел направление луча из протяженности общей касательной поверхности, соответствующей данной протяженности начального волнового фронта. [51] Его единственное одобрение принципа Ферма было ограниченным по объему: выведя закон обычного преломления, для которого лучи нормальны к волновым фронтам, [52] Гюйгенс дал геометрическое доказательство того, что луч, преломленный в соответствии с этим законом, принимает путь наименьшего времени. [53] Он вряд ли счел бы это необходимым, если бы знал, что принцип наименьшего времени непосредственно следует из той же конструкции общей касательной, с помощью которой он вывел не только закон обычного преломления, но также законы прямолинейного распространения и обычное отражение (которое, как известно, следует из принципа Ферма), и ранее неизвестный закон необыкновенного преломления - последний из-за вторичных волновых фронтов, которые были сфероидальными, а не сферическими, в результате чего лучи обычно наклонялись к волновым фронтам. Казалось, Гюйгенс не заметил, что его конструкция подразумевает принцип Ферма, и даже как если бы он думал, что нашел исключение из этого принципа. Свидетельства из рукописей, цитируемые Аланом Э. Шапиро, подтверждают, что Гюйгенс считал принцип наименьшего времени недействительным «при двойном лучепреломлении , когда лучи не перпендикулярны волновым фронтам». [54] [Примечание 9]
Шапиро далее сообщает, что единственные три авторитета, которые приняли «принцип Гюйгенса» в 17-м и 18-м веках, а именно Филипп де Ла Ир , Дени Папен и Готфрид Вильгельм Лейбниц , сделали это потому, что он объяснил необычайное преломление « исландского кристалла » (кальцит) так же, как известные ранее законы геометрической оптики. [55] Но пока что соответствующее расширение принципа Ферма осталось незамеченным.
Лаплас, Янг, Френель и Лоренц
30 января 1809 года [56] Пьер-Симон Лаплас , сообщая о работе своего протеже Этьена-Луи Малюса , заявил, что необычайное преломление кальцита можно объяснить в рамках корпускулярной теории света с помощью принципа наименьшего действия Мопертюи. : что интеграл скорости по отношению к расстоянию был минимальным. Корпускулярная скорость, удовлетворяющая этому принципу, была пропорциональна скорости луча, обратной радиусу сфероида Гюйгенса. Лаплас продолжал:
Согласно Гюйгенсу, скорость необыкновенного луча в кристалле просто выражается радиусом сфероида; следовательно, его гипотеза не согласуется с принципом наименьшего действия: но примечательно то, что она согласуется с принципом Ферма, который состоит в том, что свет проходит из данной точки вне кристалла в данную точку внутри него, в минимально возможное время; поскольку легко видеть, что этот принцип совпадает с принципом наименьшего действия, если мы инвертируем выражение скорости. [57]
Отчет Лапласа стал предметом широкого опровержения Томаса Янга , который, в частности, писал:
Принцип Ферма, хотя он предполагался этим математиком на гипотетических или даже мнимых основаниях, на самом деле является фундаментальным законом в отношении волнообразного движения и явно [ sic ] основой каждого определения в теории Гюйгена ... Г-н Лаплас, кажется, не знаком с этим важнейшим принципом одной из двух теорий, которые он сравнивает; ибо он говорит, что «это замечательно», что закон необычайного преломления Гюйгена согласуется с принципом Ферма; который он вряд ли бы заметил, если бы знал, что закон является непосредственным следствием этого принципа. [58]
Фактически Лаплас было известно , что принцип Ферма следует из построения Гюйгенса в случае преломления от изотропной среды в анизотропную один; геометрическое доказательство содержалось в длинной версии отчета Лапласа, напечатанной в 1810 году [59].
Утверждение Юнга было более общим, чем утверждение Лапласа, и аналогичным образом поддерживало принцип Ферма даже в случае необычайной рефракции, когда лучи обычно не перпендикулярны волновым фронтам. Однако, к сожалению, опущенное среднее предложение процитированного абзаца Янга начиналось со слов «Движение каждой волнистости обязательно должно происходить в направлении, перпендикулярном его поверхности ...» (курсив мой), и поэтому должно было внести путаницу, а не ясность .
Никакой такой путаницы нет во "Вторых мемуарах" Огюстена-Жана Френеля о двойном лучепреломлении ( Fresnel, 1827 ), в которых принцип Ферма рассматривается в нескольких местах (без упоминания Ферма), исходя из особого случая, когда лучи нормальны к фронтам волн к общему случаю, когда лучи являются путями наименьшего времени или стационарного времени. (В следующем резюме номера страниц относятся к переводу Альфреда В. Хобсона .)
- Для преломления плоской волны при параллельном падении на одну грань анизотропного кристаллического клина (стр. 291–2), чтобы найти «первый луч прибыл» в точку наблюдения за другой стороной клина, достаточно рассматривать лучи вне кристалла как нормальные к волновым фронтам, а внутри кристалла рассматривать только параллельные волновые фронты (независимо от направления луча). Таким образом, в этом случае Френель не пытается проследить весь путь луча. [Примечание 10]
- Затем Френель рассматривает луч, преломленный от точечного источника M внутри кристалла через точку A на поверхности к точке наблюдения B снаружи (стр. 294–6). Поверхность, проходящая через точку B и заданная «геометрическим местом возмущений, которые приходят первыми», согласно конструкции Гюйгенса, нормальна «лучу AB наиболее быстрого прихода». Но это построение требует знания «поверхности волны» (то есть вторичного волнового фронта) внутри кристалла.
- Затем он рассматривает плоский волновой фронт, распространяющийся в среде с несферическими вторичными волновыми фронтами, ориентированными так, что путь луча, заданный конструкцией Гюйгенса - от источника вторичного волнового фронта до точки его касания с последующим первичным волновым фронтом - не является нормальным. к первичным волновым фронтам (стр. 296). Он показывает, что этот путь, тем не менее, является «путем наиболее быстрого прибытия возмущения» от более раннего первичного волнового фронта до точки касания.
- В более позднем заголовке (стр. 305) он заявляет, что «конструкция Гюйгенса, определяющая путь наиболее быстрого прибытия» применима к вторичным волновым фронтам любой формы. Затем он отмечает, что, когда мы применим конструкцию Гюйгенса к преломлению в кристалле с двулистным вторичным волновым фронтом и проведем линии от двух точек касания к центру вторичного волнового фронта, «мы получим направления двух пути скорейшего прибытия и, следовательно, обычного и необычайного лучей ".
- Под заголовком «Определение слова Луч » (стр. 309) он заключает, что этот термин должен применяться к линии, которая соединяет центр вторичной волны с точкой на ее поверхности, независимо от наклона этой линии к оси. поверхность.
- В качестве «нового соображения» (стр. 310–11) он отмечает, что если плоский волновой фронт проходит через небольшое отверстие с центром в точке E , то направление ED максимальной интенсивности результирующего пучка будет таким, в котором вторичный волна, начинающаяся из E , «прибудет туда первой», а вторичные волновые фронты с противоположных сторон дыры (равноудалены от E ) «достигнут точки D одновременно» друг с другом. Это направление не считается нормальным ни к одному волновому фронту.
Таким образом, Френель показал, даже для анизотропных сред, что путь луча, заданный конструкцией Гюйгенса, - это путь наименьшего времени между последовательными положениями плоского или расходящегося волнового фронта, что лучевые скорости - это радиусы вторичной "волновой поверхности" после единицы. время, и что стационарное время прохождения учитывает направление максимальной интенсивности луча. Однако установление общей эквивалентности между конструкцией Гюйгенса и принципом Ферма потребовало бы дальнейшего рассмотрения принципа Ферма в терминах точка-точка.
Хендрик Лоренц в статье, написанной в 1886 году и переизданной в 1907 году, [60] вывел принцип наименьшего времени в двухточечной форме из конструкции Гюйгенса. Но суть его аргумента была несколько затемнена очевидной зависимостью от эфира и сопротивления эфира .
Работа Лоренца была процитирована в 1959 году Адрианом Дж. Де Витте, который затем предложил свой собственный аргумент, который «хотя по сути тот же самый, но считается более убедительным и более общим». Трактовка де Витте более оригинальна, чем можно предположить из этого описания, хотя и ограничена двумя измерениями; он использует вариационное исчисление, чтобы показать, что конструкция Гюйгенса и принцип Ферма приводят к одному и тому же дифференциальному уравнению для пути луча, а в случае принципа Ферма верно обратное. Де Витте также отметил, что «этот вопрос, кажется, не освещен в учебниках». [61]
Смотрите также
- Экшен (физика)
- Адекватность
- Огюстен-Жан Френель
- Двулучепреломление
- Вариационное исчисление
- Уравнение эйконала
- Принципы Ферма и вариации энергии в теории поля
- Геодезический
- Принцип Гамильтона
- Принцип Гюйгенса
- Формулировка интеграла по траекториям
- Пьер де Ферма
- Принцип наименьшего действия
- Закон Снеллиуса
- Томас Янг (ученый)
Заметки
- ^ Предположение (2) почти следует из (1), потому что: (а) в той степени, в которой возмущение в промежуточной точке P может быть представлено скаляром , его влияние является всенаправленным; (b) в той степени, в которой он может быть представлен вектором в предполагаемом направлении распространения (как в продольной волне ), он имеет ненулевую составляющую в диапазоне соседних направлений; и (с) в той степеничто он может быть представлен вектором поперек предполагаемого направления распространения (как в поперечной волны ), она имеет ненулевую компоненту через целый ряд соседних направлений. Таким образомсуществует бесконечное множество путей от A до B , потому что существует бесконечное множество путейидущих из каждой промежуточной точке P .
- ^ Если луч отражается от достаточно вогнутой поверхности, точка отражения такова, что общее время прохождения является локальным максимумом, при условии, что пути к и от точки отражения, рассматриваемые отдельно, должны быть возможными путями луча. . Но принцип Ферма не налагает таких ограничений; и без этого ограничения всегда можно изменить общий путь, чтобы увеличить время его прохождения. Таким образом, стационарное время прохождения луча никогда не является локальным максимумом (см. Born & Wolf, 1970 , стр. 129n). Но, как показывает случай вогнутого отражателя, это не обязательно локальный минимум. Следовательно, это не обязательно экстремум. Поэтому мы должны довольствоваться тем, что называем это стационарностью.
- ^ Точнее, плотность потока энергии .
- ^ Если бы время отсчитывалось от более раннего волнового фронта в целом, это время везде было бы точно Δt , и было бы бессмысленно говорить о «стационарном» или «наименьшем» времени.
«Стационарное» время будет наименьшим при условии, что вторичные волновые фронты более выпуклые, чем первичные волновые фронты (как на рис. 4). Однако эта оговорка не всегда выполняется. Например, если первичный волновой фронт в пределах диапазона вторичного волнового фронта сходится к фокусу и снова начинает расходиться, вторичный волновой фронт будет касаться более позднего первичного волнового фронта снаружи, а не изнутри. Чтобы учесть такие сложности, мы должны довольствоваться выражением «стационарное» время, а не «наименьшее». Ср. Born & Wolf, 1970 , стр. 128–9 (что означает «регулярное соседство»). - ^ Более того, использование конструкции Гюйгенса для определения закона отражения или преломления - это вопрос поиска пути стационарного времени прохождения между двумя конкретными волновыми фронтами; ср. Френель, 1827, тр. Хобсон , стр. 305–6.
- ^ В конструкции Гюйгенса выбор огибающей вторичных волновых фронтов на передней стороне W - то есть отклонение «обратных» или «ретроградных» вторичных волн - также объясняется принципом Ферма. Например, на рис. 2 время прохождения пути APP′P (где последний участок «удваивается») не являетсястационарным по отношению к изменению P ′ , но максимально чувствительно к перемещению P ′ вдоль участка. ПП ′ .
- ^ Направление луча - это направление конструктивной интерференции, которое является направлением групповой скорости . Однако «лучевая скорость» определяется не как групповая скорость, а как фазовая скорость, измеренная в этом направлении, так что «фазовая скорость - это проекция лучевой скорости на направление волновой нормали» (цитата взято из Born & Wolf, 1970 , p. 669). В изотропной среде по симметрии направления лучевой и фазовой скоростей совпадают, так что «проекция» сводится к тождеству. Другими словами: в изотропной среде, поскольку лучевая и фазовая скорости имеют одинаковое направление (по симметрии) и поскольку обе скорости следуют за фазой (по определению), они также должны иметь одинаковую величину.
- ↑ Ибн аль-Хайтам , писавший в Каире во 2-м десятилетии 11-го века, также считал, что свет идет по пути наименьшего сопротивления и что более плотные средства массовой информации оказывают большее сопротивление, но он сохранил более традиционное понятие «сопротивление». Если это понятие должно было объяснить преломление, оно требовало, чтобы сопротивление изменялось в зависимости от направления таким образом, что было трудно согласовать с отражением. Тем временем Ибн Сахл уже пришел к правильному закону преломления другим методом; но его закон не распространялся ( Михась, 2006 , стр 761-5;. Darrigol, 2012 , стр
Задача, решенная Ферма, математически эквивалентна следующему: для двух точек в разных средах с разной плотностью минимизировать взвешенную по плотности длину пути между двумя точками. В Лувене в 1634 году (к тому времени Виллеброрд Снеллиус заново открыл закон Ибн Сала, а Декарт вывел его, но еще не опубликовал)профессор- иезуит Вильгельм Бельманс дал правильное решение этой проблемы и сделал его доказательство упражнением для его ученики-иезуиты ( Зиггелаар, 1980 ). 41). - ↑ В последней главе своего Трактата Гюйгенс определил требуемые формы поверхностей, формирующих изображение, исходя из предпосылки, что все части волнового фронта должны проходить от точки объекта к точке изображения за равные промежутки времени, и рассматривая лучи как нормальные. к фронтам волны. Но он не упомянул Ферма в этом контексте.
- ^ В переводе на схеме отсутствуют некоторые линии и символы; исправленную диаграмму можно найти в Oeuvres Complètes Френеля, т. 2, стр. 547 .
Рекомендации
- ^ Ср. Born & Wolf, 1970 , стр. 740.
- ^ Ср. Янг, 1809 , с. 342; Френель, 1827, тр. Hobson , стр. 294–6, 310–11 ; Де Витте, 1959 , стр. 293н.
- ^ Де Витте (1959) с самого начала использует условие точечного источника (стр. 294, столбец 1).
- ^ Де Витте (1959) дает доказательство, основанное на вариационном исчислении . В данной статье предлагается более простое объяснение .
- ^ А. Липсон, С.Г. Липсон и Х. Липсон, 2011 г., Оптическая физика , 4-е изд., Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-49345-1 , стр. 36. ( Примечание: там, где авторы подразумевают, что свет, распространяющийся вдоль оси волокна с градиентным показателем преломления, проходит по пути максимального времени, они пренебрегают возможностью дальнейшего удлинения времени путем обхода без лучевых переходов, например, путем удвоения назад).
- ^ См. (Например) Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон , стр 82-6 ; Ньютон, 1730 , стр. 173.
- ^ В этом суть аргументации Френеля ( 1827, tr. Hobson , стр. 310–11 ).
- ^ См. (Например) Newton, 1730 , p. 55; Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон , стр. 40–41, 56.
- ↑ Р.П. Фейнман, 1985 (седьмое издание, 1988 г.), QED: The Strange Theory of Light and Matter , Princeton University Press, ISBN 0-691-02417-0 , стр. 51–2 .
- ^ Л. Зыга (1 апреля 2013 г.), «Муравьи следуют принципу наименьшего времени Ферма» , Phys.org , данные получены 9 августа 2019 г..
- ↑ Де Витте, 1959 , стр. 294.
- ^ J. Ogborn и EF Taylor (январь 2005), "Квантовая физика объясняет законы движения Ньютона" , физики Образование , 40 (1): 26-34 , DOI : 10,1088 / 0031-9120 / 40/1/001 .
- ^ Х. ван Хаутен и CWJ Beenakker, 1995, «Принципы твердотельных электронной оптики» , в Е. Бурштейн и С. Вайсбух (ред), Замкнутые электронами и фотонами: Новая физика и приложения (ASI Series НАТО; Series B: Physics, vol. 340), Бостон, Массачусетс: Springer, ISBN 978-1-4615-1963-8 , стр. 269-303 , DOI : 10.1007 / 978-1-4615-1963-8_9 , на стр. 272-3 .
- ^ Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон , стр. 75.
- ^ Френель, 1827, тр. Хобсон , стр. 309.
- ^ а б Де Витте, 1959 , стр. 294, кол. 2.
- ^ Ср. Френель, 1827, тр. Хобсон , стр. 305.
- ^ Ср. Френель, 1827, тр. Хобсон , стр. 296.
- ^ Де Витте (1959) дает более сложное доказательство того же результата, используя вариационное исчисление .
- ↑ Цитата из Born & Wolf, 1970 , стр. 740.
- ↑ Де Витте, 1959 , стр. 295, цв. 1.
- ^ Это происходит в Born & Wolf, 1970 , стр. 128–30, и сохраняется в более поздних изданиях.
- ^ Де Витте, 1959 (стр. 295, столбец 1 и рис. 2), формулирует результат и сокращает объяснение в одну диаграмму.
- ↑ Born & Wolf, 1970 , стр. 115.
- ↑ Born & Wolf, 1970 , стр. 669, ур. (13).
- ^ Ср. Чавес, 2016 , с. 673.
- ^ Ср. Born & Wolf, 1970 , стр. 740, ур. (10а).
- ^ Ср. Веселаго (октябрь 2002), «принцип Формулируя Ферма для светараспространяющегося в отрицательным коэффициентом преломления», Успехи физических наук , 45 (10): 1097-9 , DOI : 10,1070 / PU2002v045n10ABEH001223 , стр. 1099.
- ^ Ср. Чавес, 2016. С. 568–9.
- Перейти ↑ Chaves, 2016 , p. 581.
- Перейти ↑ Chaves, 2016 , p. 569.
- ^ Ср. Чавес, 2016 , с. 577.
- ^ Ср. Born & Wolf, 1970 , стр 741; Чавес, 2016 , с. 669.
- ^ Чавес, 2016 , гл. 14.
- ^ Ф. Качер (май 2016 г.), «Когда родился Пьер де Ферма?» , Конвергенция , дата обращения 22 августа 2019.
- ↑ Sabra, 1981 , стр. 69–71. Как отмечает автор, закон самого отражения найден в предложении XIX в Евклида оптики .
- ^ Сабра, 1981 , стр 137-9. Дарригол, 2012 , с. 48.
- ^ Сабра, 1981 , стр 143-7; Darrigol, 2012 , pp. 48–9 (где в сноске 21 «Декарт к ...», очевидно, должно быть «Ферма к ...»).
- ↑ Chaves, 2016 , главы 14, 19.
- ^ Сабра, 1981 , стр. 144-5.
- ^ JA Schuster, 2000, "Descartes opticien : построение закона преломления и производство его физических обоснований, 1618–29", в S. Gaukroger, JA Schuster и J. Sutton (ред.), Descartes 'Natural Философия , Лондон: Рутледж, стр. 258–312, стр. 261, 264–5 .
- ^ Darrigol, 2012 , стр. 41-2.
- ^ Clerselier к Ферма (на французском языке), 6 мая 1662, в П. кожевенного и С. Генри (ред.), Террин де Ферма , т. 2 (Париж: Gauthier-Villars et fils, 1894), стр. 464–72 .
- ↑ DE Smith, 1959, A Source Book in Mathematics , vol. 3 (McGraw-Hill, 1929), перепечатано Dover, 1959, стр. 651н.
- ^ Ферма для Clerselier (на французском языке), 21 мая 1662, в П. кожевенного и С. Генри (ред.), Террин де Ферма , т. 2 (Париж: Gauthier-Villars et fils, 1894), стр. 482–4 .
- ^ Darrigol, 2012 , стр. 53.
- ^ Darrigol, 2012 , стр. 60-64.
- ^ Darrigol, 2012 , стр 64-71. Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон .
- ^ Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон , стр. 20, 24, 37, 51, 80, 108, 119, 122 (с различными наклонами слова).
- ^ Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон , начало стр. 20.
- ^ Ср. Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон , стр. 63-5 .
- ^ Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон , стр. 34–9.
- ^ Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон , стр. 42–5.
- ^ Шапиро, 1973 , стр. 229, примечание 294 (слова Шапиро) со ссылкой на « Oeuvres Complètes» Гюйгенса, т. 13 (изд. DJ Korteweg , 1916), Quatrième Complément à la Dioptrique , стр. 834, «Parte 2 da ...» (на латыни, с аннотациями на французском).
- ^ Шапиро, 1973 , стр. 245-6, 252.
- ^ П.-С. Лаплас (прочитано 30 января 1809 г.), «Sur la loi de la refraction extraordinaire de la lumière dans les cristaux diaphanes» , Journal de Physique, de Chimie et d'Histoire Naturelle , 68 : 107–11 (на январь 1809 г.).
- ^ Перевод Янга (1809) , стр. 341; Курсив Юнга.
- ^ Янг, 1809 , стр. 342.
- ^ О доказательстве см. Darrigol, 2012 , p. 190. О дате прочтения (в ранних источниках опечатано как 1808) см. Frankel, 1974 , p. 234н. Полный текст (с опечаткой): «Mémoire sur les mouvements de la lumière dans les milieux diaphanes», Mémoires de l'Académie des Sciences , 1st Series, vol. X (1810), перепечатано в Oeuvres complete de Laplace , vol. 12 (Париж, Gauthier-Villars et fils, 1898), стр. 267–298 . Промежуточная версия, включающая доказательство, но не прилагаемое «Примечание», появилась как «Sur le mouvement de la lumière dans les milieux diaphanes», Mémoires de Physique et de Chimie de la Société d'Arcueil , vol. 2 (1809), стр. 111–142 и пластина 1 (после стр. 494).
- ^ HA Lorentz, 1907, Abhandlungen über Theoretische Physik , т. 1 , Берлин: Teubner, гл. 14, сс. 12, 13 и гл. 16, с. 18; переводится как «А. Лоренц об эквивалентности построения Гюйгенса и принципа Ферма», DOI : 10.5281 / zenodo.3835134 , 2020.
- ↑ Де Витте, 1959 , особенно. С. 293н, 298.
Библиография
- М. Борн и Э. Вольф, 1970, Принципы оптики , 4-е изд., Оксфорд: Pergamon Press.
- Дж. Чавес, 2016 г., Введение в оптику без формирования изображений , 2-е изд., Бока-Ратон, Флорида: CRC Press , ISBN 978-1-4822-0674-6 .
- О. Дарригол, 2012, История оптики: от греческой древности до девятнадцатого века , Оксфорд, ISBN 978-0-19-964437-7 .
- А.Дж. де Витте, 1959, "Эквивалентность принципа Гюйгенса и принципа Ферма в лучевой геометрии", American Journal of Physics , vol. 27, нет. 5 (май 1959), стр 293-301,. Дои : 10.1119 / 1,1934839 . Ошибка : на рис. 7 (b) каждый экземпляр «луча» должен быть «нормальным» (отмечен в томе 27, № 6, стр. 387).
- Э. Франкель, 1974, "Поиск корпускулярной теории двойного лучепреломления: Малус, Лаплас и ценовая [ sic ] конкуренция 1808 года", Centaurus , vol. 18, нет. 3 (сентябрь 1974), стр 223-245,. Дои : 10.1111 / j.1600-0498.1974.tb00298.x .
- A. Fresnel, 1827, "Mémoire sur la double refraction", Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France , vol. VII (за 1824 г., напечатано 1827 г.), стр. 45–176 ; переиздано как « Второй мемуар ...» в Oeuvres Complete d'Augustin Fresnel , vol. 2 (Париж: Imprimerie Impériale, 1868), стр. 479–596 ; переведенный А. В. Хобсоном как «Воспоминания о двойном лучепреломлении» в R. Taylor (ed.), Scientific Memoirs , vol. V (Лондон: Тейлор и Фрэнсис, 1852 г.), стр. 238–333. (Приведенные номера страниц взяты из перевода.)
- К. Гюйгенс, 1690, Traité de la Lumière (Лейден: Ван дер Аа), переведенный С. П. Томпсоном как « Трактат о свете» , University of Chicago Press, 1912; Project Gutenberg, 2005. (Указанные номера страниц соответствуют изданию 1912 года и изданию Gutenberg HTML.)
- П. Михас, 2006, «Развитие идей преломления, линз и радуги с использованием исторических ресурсов» , Наука и образование , том. 17, нет. . 7 (август 2008), стр 751-777 (онлайн 6 сентября 2006), DOI : 10.1007 / s11191-006-9044-8 .
- I. Newton, 1730, Opticks: or, Трактат об отражениях, преломлениях, перегибах и цветах света , 4-е изд. (Лондон: Уильям Иннис, 1730; Проект Гутенберг, 2010); переиздан с предисловием А. Эйнштейна и предисловием Е. Т. Уиттакера (Лондон: Джордж Белл и сыновья, 1931); перепечатано с дополнительным предисловием И.Б. Коэна и аналитическим оглавлением DHD Roller, Минеола, Нью-Йорк: Дувр, 1952, 1979 (с пересмотренным предисловием), 2012. (Номера страниц соответствуют редакции Gutenberg HTML и изданию Dover).
- А.И. Сабра, 1981, Теории света: от Декарта до Ньютона (Лондон: Oldbourne Book Co., 1967), перепечатано Cambridge University Press, 1981, ISBN 0-521-28436-8 .
- А.Е. Шапиро, 1973, "Кинематическая оптика: исследование волновой теории света в семнадцатом веке", Архив истории точных наук , вып. 11, вып. 2/3 (июнь 1973 г.), стр 134-266,. DOI : 10.1007 / BF00343533 .
- Т. Янг, 1809, статья X в Ежеквартальном обзоре , т. 2, вып. 4 (ноябрь 1809 г.), стр. 337–48 .
- A. Ziggelaar, 1980, "Синусоидальный закон преломления, выведенный из принципа Ферма - до Ферма? Тезисы Вильгельма Боэльмана SJ в 1634 году", Centaurus , vol. 24, вып. 1 (сентябрь 1980), стр 246-62,. Дои : 10.1111 / j.1600-0498.1980.tb00377.x .
дальнейшее чтение
- А. Бхатия (26 марта 2014 г.), «Чтобы спасти тонущих людей, спросите себя:« Что сделает свет? » » , Наутилус , получено 7 августа 2019 г..
- Дж. З. Бухвальд , 1989, Расцвет волновой теории света: оптическая теория и эксперимент в начале девятнадцатого века , University of Chicago Press, ISBN 0-226-07886-8 , особенно стр. 36-40 .
- М.Г. Кац ; DM Schaps; С. Шнидер (2013), «Почти равные: метод адекватности от Диофанта до Ферма и далее», « Перспективы науки» , 21 (3): 283–324, arXiv : 1210.7750 , Bibcode : 2012arXiv1210.7750K , doi : 10.1162 / POSC_a_00101.
- М.С. Махони (1994), Математическая карьера Пьера де Ферма, 1601–1665 , 2-е изд., Princeton University Press, ISBN 0-691-03666-7 .
- Р. Маркес; Ф. Мартин ; М. Соролла, 2008 г. (перепечатано в 2013 г.), Метаматериалы с отрицательными параметрами: теория, дизайн и микроволновые приложения , Хобокен, штат Нью-Джерси: Wiley, ISBN 978-0-471-74582-2 .
- JB Pendry и DR Smith (2004), "Свет заднего хода с отрицательной рефракцией" , Physics Today , 57 (6): 37-43 , DOI : 10.1063 / 1.1784272 .