Метод Рэлея – Ритца - это прямой численный метод аппроксимации собственных значений , возникший в контексте решения физических краевых задач и названный в честь лорда Рэлея и Вальтера Ритца .
Имя Рэлея – Ритца обсуждается [1] [2] по сравнению с методом Ритца после Вальтера Ритца , поскольку численная процедура была опубликована Вальтером Ритцем в 1908–1909. Согласно [1] лорд Рэйли написал статью, поздравляющую Ритца с его работой в 1911 году, но заявляя, что он сам использовал метод Ритца во многих местах своей книги и в другой публикации. Это утверждение, хотя позже оспаривается, и тот факт, что метод в тривиальном случае единственного вектора приводит к коэффициенту Рэлея, сохраняют спорное неправильное название. Согласно [2] со ссылкой на Ричарда Куранта , и лорд Рэлей, и Вальтер Ритц независимо друг от друга придумали идею использования эквивалентности между краевыми задачами уравнений в частных производных, с одной стороны, и проблемами вариационного исчисления, с другой стороны, для численных расчетов. решений, заменяя вариационные задачи более простыми аппроксимирующими экстремальными задачами, в которых необходимо определить конечное число параметров. По иронии судьбы, современное обоснование алгоритма отбрасывает вариационное исчисление в пользу более простого и общего подхода ортогональной проекции, как в методе Галеркина имени Бориса Галеркина , что приводит также к именованию метода Ритца-Галеркина .
Он используется во всех приложениях, которые включают аппроксимацию собственных значений и собственных векторов , часто под разными именами. В квантовой механике , где система частиц описывается с помощью гамильтониана , метод Ритца использует пробные волновые функции для аппроксимации собственной функции основного состояния с наименьшей энергией. В контексте метода конечных элементов математически тот же алгоритм обычно называют методом Ритца-Галеркина . Метод Рэлея – Ритца или терминология метода Ритца типичны в машиностроении для аппроксимации собственных мод физической системы, например, нахождения резонансных частот конструкции для определения соответствующего демпфирования .
Для матриц
В численной линейной алгебре метод Рэлея – Ритца обычно [3] применяется для аппроксимации задачи на собственные значения
для матрицы размера с использованием проецируемой матрицы меньшего размера , сгенерированный из заданной матрицы с ортонормированными столбцами. Матричный вариант алгоритма самый простой:
- Вычислить матрица , где обозначает комплексно-сопряженное транспонирование
- Решите проблему собственных значений
- Вычислить векторы Ритца и значение Ритца
- Выходные приближения , называемые парами Ритца, к собственным значениям и собственным векторам исходной матрицы
Если подпространство с ортонормированным базисом, заданным столбцами матрицы содержит векторы, близкие к собственным векторам матрицы , указанный выше метод Рэлея – Ритца находитВекторы Ритца, которые хорошо аппроксимируют эти собственные векторы. Легко вычисляемая величина определяет точность такого приближения для каждой пары Ритца.
В самом простом случае , то матрица превращается в единичный вектор-столбец , то матрица - скаляр, равный частному Рэлея , единственный решение проблемы собственных значений а также , а единственный вектор Ритца - это сам. Таким образом, метод Рэлея – Ритца превращается в вычисление фактора Рэлея, если.
Еще одна полезная связь с коэффициентом Рэлея заключается в том, что для каждой пары Ritz , позволяющий вывести некоторые свойства значений Ритца из соответствующей теории для фактора Рэлея . Например, еслиявляется эрмитовой матрицей , ее фактор Рэлея (и, следовательно, каждое ее значение Ритца) является действительным и принимает значения в пределах закрытого интервала наименьшего и наибольшего собственных значений матрицы.
Примеры
Матрица
имеет собственные значения и соответствующие собственные векторы
Возьмем
тогда
с собственными значениями и соответствующие собственные векторы
так что значения Ритца равны а векторы Ритца равны
Заметим, что каждый из векторов Ритца является в точности одним из собственных векторов для данного а также значения Ритца дают ровно два из трех собственных значений . Математическое объяснение точного приближения основано на том факте, что пространство столбцов матрицы оказывается точно таким же, как подпространство, натянутое на два собственных вектора а также в этом примере.
Вывод из вариационного исчисления
Используя эту технику, мы приближаем вариационную задачу и получаем конечномерную задачу. Итак, начнем с проблемы поиска функции что экстремизирует интеграл . Предположим, что мы можем приблизить линейной комбинацией линейно независимых функций типа,
где - константы, которые должны быть определены вариационным методом, например, описанным ниже.
Выбор аппроксимирующих функций использовать произвольно, за исключением следующих соображений:
а) Если у задачи есть граничные условия, такие как фиксированные конечные точки, то выбирается так, чтобы выполнялись граничные условия задачи, а все остальные исчезают на границе.
б) Если вид решения известен, то можно выбрать так, чтобы будет иметь такую форму.
Расширение в терминах аппроксимирующих функций заменяет вариационную задачу экстремума функционального интеграла к задаче нахождения набора констант что усугубляет . Теперь мы можем решить эту проблему, установив частные производные равными нулю. Для каждого значения,
Процедура состоит в том, чтобы сначала определить первоначальную оценку приближением . Далее приближение используется (с переопределение). Процесс продолжается св третьем приближении и так далее. На каждом этапе верны следующие два пункта:
- На этап, сроки переопределены
- Приближение на сцена будет не хуже, чем приближение на сцена
Сходимость процедуры означает, что при стремится к бесконечности, приближение будет стремиться к точной функции что экстремизирует интеграл .
Во многих случаях используется полный набор функций, например полиномы или синусы и косинусы . Набор функций называется завершенным если для каждой интегрируемой функции Римана, есть набор значений коэффициентов что воспроизводит .
Вышеописанная процедура может быть распространена на случаи с более чем одной независимой переменной.
Применение в машиностроении
Метод Рэлея-Ритца часто используется в машиностроении для нахождения приблизительных реальных резонансных частот систем с несколькими степенями свободы , таких как системы пружинных масс или маховики на валу с переменным поперечным сечением . Это расширение метода Рэлея. Его также можно использовать для определения нагрузок при продольном изгибе и поведения колонн после продольного изгиба.
Рассмотрим случай, когда мы хотим найти резонансную частоту колебаний системы. Сначала запишите колебание в виде
с неизвестной формой моды . Затем найдите полную энергию системы, состоящую из члена кинетической энергии и члена потенциальной энергии. Член кинетической энергии включает квадрат производной по времени от и, таким образом, получает коэффициент . Таким образом, мы можем вычислить полную энергию системы и выразить ее в следующем виде:
По закону сохранения энергии средняя кинетическая энергия должна быть равна средней потенциальной энергии. Таким образом,
который также известен как фактор Рэлея . Таким образом, если бы мы знали форму моды, мы сможем вычислить а также , и, в свою очередь, получить собственную частоту. Однако мы еще не знаем формы колебаний. Чтобы найти это, мы можем приблизить как комбинация нескольких аппроксимирующих функций
где - константы, которые предстоит определить. В общем, если мы выберем случайный набор, он будет описывать суперпозицию реальных собственных мод системы. Однако если мы будем искать такая, что собственная частота минимизируется, то режим, описываемый этим набором будет близка к наименьшей возможной фактической собственной моде системы. Таким образом, будет найдена самая низкая собственная частота. Если мы найдем собственные моды, ортогональные этой аппроксимированной самой низкой собственной моде, мы также сможем приблизительно найти следующие несколько собственных частот.
В общем, мы можем выразить а также как набор членов, квадратичных по коэффициентам :
Минимизация становится:
Решая это,
Для нетривиального решения c мы требуем, чтобы определитель матричного коэффициента c был равен нулю.
Это дает решение для первых N собственных частот и собственных мод системы, где N является числом аппроксимирующих функций.
Простой корпус двойной пружинно-массовой системы
В следующем обсуждении используется простейший случай, когда система имеет две сосредоточенные пружины и две сосредоточенные массы, и предполагаются только две формы колебаний. Следовательно, M = [ m 1 , m 2 ] и K = [ k 1 , k 2 ].
Для системы предполагается форма моды с двумя членами, один из которых взвешен с коэффициентом B , например Y = [1, 1] + B [1, −1]. Простая теория гармонического движения гласит, что скорость в момент, когда отклонение равно нулю, является угловой частотой умноженное на отклонение (y) во время максимального отклонения. В этом примере кинетическая энергия (KE) для каждой массы равнаи т. д., а потенциальная энергия (PE) для каждой пружины равна и т.п.
Мы также знаем, что без демпфирования максимальный KE равен максимальному PE. Таким образом,
Обратите внимание, что общая амплитуда формы колебаний всегда компенсируется с каждой стороны. То есть фактический размер предполагаемого отклонения не имеет значения, важна только форма колебаний .
Математические манипуляции затем дают выражение для , в терминах B, которые можно дифференцировать по B, чтобы найти минимум, т. е. когда. Это дает значение B, для которогосамый низкий. Это решение с верхней оценкой для если предполагается, что это прогнозируемая основная частота системы, потому что форма моды предполагается , но мы нашли самое низкое значение этой верхней границы, учитывая наши предположения, потому что B используется для поиска оптимального `` сочетания '' двух предполагаемых мод. функции формы.
Есть много уловок с этим методом, самый важный - попытаться выбрать реалистичные предполагаемые формы колебаний. Например, в случае проблем с отклонением балки разумно использовать деформированную форму, которая аналитически аналогична ожидаемому решению. Квартика может соответствовать большинству из простых проблем просто связанные пучков , даже если порядок деформированного раствора может быть ниже. Пружины и массы не обязательно должны быть дискретными, они могут быть непрерывными (или смешанными), и этот метод можно легко использовать в электронной таблице для поиска собственных частот довольно сложных распределенных систем, если вы можете описать распределенные KE и PE легко определяется или разбивает непрерывные элементы на отдельные части.
Этот метод можно использовать итеративно, добавляя дополнительные формы колебаний к предыдущему лучшему решению, или вы можете создать длинное выражение с множеством B и множеством форм колебаний, а затем частично их дифференцировать .
Смотрите также
- Метод Ритца
- Фактор Рэлея
- Итерация Арнольди
Примечания и ссылки
- ^ а б Лейсса, AW (2005). «Исторические основы методов Рэлея и Ритца» . Журнал звука и вибрации . 287 (4–5): 961–978. Bibcode : 2005JSV ... 287..961L . DOI : 10.1016 / j.jsv.2004.12.021 .
- ^ а б Иланко, Синния (2009). «Комментарии к историческим основам методов Рэлея и Ритца». Журнал звука и вибрации . 319 (1–2): 731–733. DOI : 10.1016 / j.jsv.2008.06.001 .
- ^ Trefethen, Lloyd N .; Бау, III, Дэвид (1997). Числовая линейная алгебра . СИАМ. п. 254. ISBN 978-0-89871-957-4.
Внешние ссылки
- В курсе по вариационному исчислению есть раздел, посвященный методу Рэлея – Ритца .