Исчисление вариаций является полем математического анализа , который использует вариацию, которые являются небольшими изменениями в функциях и функционалах , чтобы найти максимумы и минимумы функционалов: отображения из множества функций на действительные числа . [a] Функционалы часто выражаются как определенные интегралы, включающие функции и их производные . Функции, которые максимизируют или минимизируют функционалы, могут быть найдены с помощью уравнения Эйлера – Лагранжа вариационного исчисления.
Простой пример такой задачи - найти кривую наименьшей длины, соединяющую две точки. Если ограничений нет, решением будет прямая линия между точками. Однако, если кривая ограничена лежать на поверхности в пространстве, тогда решение будет менее очевидным, и, возможно, может существовать много решений. Такие решения известны как геодезические . Связанная с этим проблема возникает из- за принципа Ферма : свет следует по пути кратчайшей оптической длины, соединяющему две точки, где оптическая длина зависит от материала среды. Одно из соответствующих понятий в механике - принцип наименьшего / стационарного действия .
Многие важные проблемы связаны с функциями нескольких переменных. Решения краевых задач для уравнения Лапласа удовлетворяют принципу Дирихле . Проблема Плато требует найти поверхность минимальной площади, которая охватывает заданный контур в пространстве: решение часто можно найти, окунув рамку в раствор мыльной пены. Хотя такие эксперименты относительно легко выполнить, их математическая интерпретация далеко не проста: может быть более одной локально минимизирующей поверхности, и они могут иметь нетривиальную топологию .
История
Можно сказать, что вариационное исчисление началось с задачи Ньютона о минимальном сопротивлении в 1687 году, за которой следует проблема кривой брахистохроны, поставленная Иоганном Бернулли (1696). [2] Это сразу же привлекло внимание Якоба Бернулли и маркиза де л'Опиталь , но Леонард Эйлер впервые разработал эту тему, начиная с 1733 года. Лагранж находился под влиянием работ Эйлера, что внесло значительный вклад в теорию. После того, как Эйлер увидел работу 19-летнего Лагранжа 1755 года, Эйлер отказался от своего частично геометрического подхода в пользу чисто аналитического подхода Лагранжа и переименовал эту тему в вариационное исчисление в своей лекции 1756 года Elementa Calculi Variationum . [3] [4] [1]
Лежандр (1786) изложил метод, не совсем удовлетворительный, для различения максимумов и минимумов. Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц также вначале обратили внимание на эту тему. [5] В этом различении Винченцо Бруначчи (1810), Карл Фридрих Гаусс (1829), Симеон Пуассон (1831), Михаил Остроградский (1834) и Карл Якоби (1837) были среди авторов. Важной общей работой является работа Сарруса (1842 г.), которая была сокращена и улучшена Коши (1844 г.). Другие ценные трактаты и мемуары были написаны Штраухом (1849 г.), Джеллеттом (1850 г.), Отто Гессе (1857 г.), Альфредом Клебшем (1858 г.) и Карлом (1885 г.), но, возможно, самая важная работа века - это работа Вейерштрасса. . Его знаменитый теоретический курс является эпохальным, и можно утверждать, что он был первым, кто положил его на прочное и неоспоримое основание. Двадцатые и двадцать третий Гильберт опубликован в 1900 году призвали к дальнейшему развитию. [5]
В 20-м веке значительный вклад внесли Давид Гильберт , Эмми Нётер , Леонида Тонелли , Анри Лебег и Жак Адамар . [5] Марстон Морс применил вариационное исчисление в том, что сейчас называется теорией Морса . [6] Лев Понтрягин , Ральф Рокафеллар и Ф. Х. Кларк разработали новые математические инструменты для вариационного исчисления в теории оптимального управления . [6] динамическое программирование на Ричард Беллмана является альтернативой вариационного исчисления. [7] [8] [9] [b]
Extrema
Вариационное исчисление касается максимумов или минимумов (в совокупности называемых экстремумами ) функционалов. Функционал отображает функции в скаляры , поэтому функционалы были описаны как «функции функций». Функционалы имеют экстремумы по элементамзаданного функционального пространства, определенного в заданной области . Функциональный как говорят, имеет экстремум на функции если имеет один и тот же знак для всех в сколь угодно малой окрестности [c] Функцияназывается экстремальной функцией или экстремальной. [d] Экстремум называется локальным максимумом, если всюду в сколь угодно малой окрестности и местный минимум, если там. Для функционального пространства непрерывных функций экстремумы соответствующих функционалов называются слабыми экстремумами или сильными экстремумами , в зависимости от того, все ли первые производные непрерывных функций соответственно непрерывны или нет. [11]
И сильные, и слабые экстремумы функционалов относятся к пространству непрерывных функций, но сильные экстремумы имеют дополнительное требование, чтобы первые производные функций в пространстве были непрерывными. Таким образом, сильный экстремум также является слабым экстремумом, но обратное утверждение может быть неверным. Найти сильные экстремумы сложнее, чем найти слабые. [12] Примером необходимого условия , которое используется для поиска слабых экстремумов, является уравнение Эйлера – Лагранжа . [13] [e]
Уравнение Эйлера – Лагранжа.
Нахождение экстремумов функционалов аналогично поиску максимумов и минимумов функций. Максимумы и минимумы функции можно найти, найдя точки, в которых ее производная равна нулю (т. Е. Равна нулю). Экстремумы функционалов могут быть получены путем нахождения функций, у которых функциональная производная равна нулю. Это приводит к решению связанного уравнения Эйлера – Лагранжа . [f]
Рассмотрим функционал
где
- являются постоянными ,
- дважды непрерывно дифференцируемо,
- дважды непрерывно дифференцируемо по своим аргументам а также
Если функционал достигает местного минимума на а также - произвольная функция, имеющая хотя бы одну производную и обращающаяся в нуль на концах а также тогда для любого числа близко к 0,
Термин называется вариацией функции и обозначается [1] [г]
Подстановка для в функционале результат является функцией
Поскольку функционал имеет минимум для функция имеет минимум на и, таким образом, [h]
Взяв полную производную от где а также рассматриваются как функции скорее, чем дает
и потому что а также
Следовательно,
где когда и мы использовали интегрирование по частям для второго члена. Второй член во второй строке исчезает, потому что в а также по определению. Кроме того, как упоминалось ранее, левая часть уравнения равна нулю, так что
Согласно основной лемме вариационного исчисления , часть подынтегрального выражения в скобках равна нулю, т. Е.
которое называется уравнением Эйлера – Лагранжа . Левая часть этого уравнения называется функциональной производной от и обозначается
В общем, это дает обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, которое может быть решено для получения экстремальной функцииУравнение Эйлера – Лагранжа является необходимым , но недостаточным условием экстремума.Достаточное условие минимума дано в разделе Варианты и достаточное условие минимума .
Пример
Чтобы проиллюстрировать этот процесс, рассмотрим задачу нахождения экстремальной функции которая является самой короткой кривой, соединяющей две точки а также Длина дуги кривой определяется выражением
с участием
[я]
Теперь уравнение Эйлера – Лагранжа будет использоваться для нахождения экстремальной функции что минимизирует функционал
с участием
С не фигурирует явно в первый член в уравнении Эйлера – Лагранжа обращается в нуль при всех и поэтому,
Замена на и взяв производную,
Таким образом
для некоторой постоянной потом
где
Решив, получаем
откуда следует, что
является константой, поэтому кратчайшая кривая, соединяющая две точки а также является
и, таким образом, мы нашли экстремальную функцию что минимизирует функционал чтобы это минимум. Уравнение прямой линии имеет видДругими словами, кратчайшее расстояние между двумя точками - прямая линия. [j]
Личность Бельтрами
В задачах физики может случиться так, что означает, что подынтегральное выражение является функцией а также но отдельно не фигурирует. В этом случае уравнение Эйлера – Лагранжа можно упростить до тождества Бельтрами [16]
где является константой. Левая рука является преобразование Лежандра из относительно
Интуиция, стоящая за этим результатом, заключается в том, что если переменная на самом деле время, тогда утверждение означает, что лагранжиан не зависит от времени. По теореме Нётер существует соответствующая сохраняющаяся величина. В данном случае эта величина является гамильтонианом, преобразованием Лежандра лагранжиана, которое (часто) совпадает с энергией системы. Это (минус) константа в личности Бельтрами.
Уравнение Эйлера – Пуассона.
Если зависит от высших производных от то есть, если
тогда должен удовлетворять уравнению Эйлера – Пуассона ,
[17]
Теорема Дюбуа-Реймона
До сих пор обсуждение предполагало, что экстремальные функции обладают двумя непрерывными производными, хотя существование интеграла требуются только первые производные от пробных функций. Условие обращения в нуль первой вариации на экстремали можно рассматривать как слабую форму уравнения Эйлера – Лагранжа. Теорема Дюбуа-Реймона утверждает, что из этой слабой формы следует сильная. Если имеет непрерывные первую и вторую производные по всем своим аргументам, и если
тогда имеет две непрерывные производные и удовлетворяет уравнению Эйлера – Лагранжа.
Феномен Лаврентьева
Гильберт был первым, кто дал хорошие условия для того, чтобы уравнения Эйлера – Лагранжа давали стационарное решение. В пределах выпуклой области и положительного трижды дифференцируемого лагранжиана решения состоят из счетного набора сечений, которые либо проходят вдоль границы, либо удовлетворяют уравнениям Эйлера – Лагранжа внутри.
Однако Лаврентьев в 1926 году показал, что есть обстоятельства, при которых нет оптимального решения, но к нему можно подойти сколь угодно близко, увеличивая количество разделов. Явление Лаврентьева определяет разницу в нижней грани задачи минимизации для разных классов допустимых функций. Например, следующая проблема, представленная Маниа в 1934 году: [18]
Четко, минимизирует функционал, но мы находим любую функцию дает значение, отграниченное от нижней грани.
Примеры (в одном измерении) традиционно проявляются через а также но Болл и Мизель [19] разработали первый функционал, который отображал Феномен Лаврентьева через а также для Есть несколько результатов, которые дают критерии, при которых это явление не возникает - например, «стандартный рост», лагранжиан без зависимости от второй переменной или аппроксимирующая последовательность, удовлетворяющая условию Чезари (D), - но результаты часто бывают частными, и применимо к небольшому классу функционалов.
С Феноменом Лаврентьева связано свойство отталкивания: любой функционал, отображающий Феномен Лаврентьева, будет проявлять свойство слабого отталкивания. [20]
Функции нескольких переменных
Например, если обозначает смещение мембраны над доменом в плоскости, то его потенциальная энергия пропорциональна площади его поверхности:
Задача Плато состоит в нахождении функции, которая минимизирует площадь поверхности, принимая заданные значения на границе; решения называются минимальными поверхностями . Уравнение Эйлера – Лагранжа для этой задачи нелинейно:
См. Подробности в Courant (1950).
Принцип Дирихле
Часто достаточно рассматривать только небольшие смещения мембраны, разность энергии которых от отсутствия смещения аппроксимируется выражением
Функционал должно быть минимизировано среди всех пробных функций принимающие заданные значения на границе Если - минимизирующая функция и - произвольная гладкая функция, обращающаяся в нуль на границе затем первая вариация должно исчезнуть:
При условии, что u имеет две производные, мы можем применить теорему о расходимости, чтобы получить
где граница длина дуги а также нормальная производная от на С исчезает на и первая вариация исчезает, результат
для всех гладких функций v, обращающихся в нуль на границе Доказательство для случая одномерных интегралов может быть адаптировано к этому случаю, чтобы показать, что
- в
Сложность этого рассуждения состоит в предположении, что минимизирующая функция u должна иметь две производные. Риман утверждал, что существование гладкой минимизирующей функции было обеспечено связью с физической проблемой: мембраны действительно принимают конфигурации с минимальной потенциальной энергией. Риман назвал эту идею принципом Дирихле в честь своего учителя Петера Густава Лежена Дирихле . Однако Вейерштрасс привел пример вариационной задачи без решения: минимизировать
среди всех функций это удовлетворяет а также можно сделать сколь угодно малым, выбрав кусочно-линейные функции, которые совершают переход между -1 и 1 в небольшой окрестности начала координат. Однако нет функции, которая заставляет[k] В конце концов было показано, что принцип Дирихле верен, но требует сложного применения теории регулярности для эллиптических уравнений в частных производных ; см. Jost and Li – Jost (1998).
Обобщение на другие краевые задачи
Более общее выражение для потенциальной энергии мембраны:
Это соответствует плотности внешней силы в внешняя сила на границе и упругие силы с модулем действующий на Функция, минимизирующая потенциальную энергию без ограничения ее граничных значений, будет обозначаться как При условии, что а также непрерывны, из теории регулярности следует, что минимизирующая функция будет иметь две производные. При выборе первого варианта не требуется налагать граничные условия на приращениеПервая вариация дан кем-то
Если мы применим теорему о расходимости, результат будет
Если мы сначала установим на граничный интеграл обращается в нуль, и мы по-прежнему заключаем, что
в Тогда, если мы позволим чтобы принять произвольные граничные значения, это означает, что должен удовлетворять граничному условию
на Это граничное условие является следствием минимизирующего свойства : заранее не навязывается. Такие условия называются естественными граничными условиями .
Предыдущее рассуждение недействительно, если одинаково исчезает на В таком случае мы могли бы разрешить пробную функцию где является константой. Для такой пробной функции
При соответствующем выборе может принимать любое значение, если только количество в скобках не обращается в нуль. Следовательно, вариационная задача бессмысленна, если
Это условие означает, что чистые внешние силы, действующие на систему, находятся в равновесии. Если эти силы находятся в равновесии, то вариационная задача имеет решение, но оно не единственное, поскольку может быть добавлена произвольная константа. Дальнейшие подробности и примеры можно найти у Куранта и Гильберта (1953).
Проблемы с собственными значениями
Как одномерные, так и многомерные задачи на собственные значения могут быть сформулированы как вариационные задачи.
Задачи Штурма – Лиувилля.
Проблема собственных значений Штурма – Лиувилля включает общую квадратичную форму
где ограничивается функциями, удовлетворяющими граничным условиям
Позволять быть нормализационным интегралом
Функции а также требуются, чтобы всюду были положительны и отделены от нуля. Основная вариационная задача - минимизировать отношение среди всего удовлетворяющие условиям конечной точки. Ниже показано, что уравнение Эйлера – Лагранжа для минимизации является
где это частное
Можно показать (см. Гельфанд, Фомин, 1963), что минимизирующая имеет две производные и удовлетворяет уравнению Эйлера – Лагранжа. Связанный будем обозначать ; это наименьшее собственное значение для этого уравнения и граничных условий. Соответствующую минимизирующую функцию обозначим черезЭта вариационная характеризация собственных значений приводит к методу Рэлея – Ритца : выбираем аппроксимирующуюкак линейная комбинация базисных функций (например, тригонометрических функций) и выполнять конечномерную минимизацию среди таких линейных комбинаций. Этот метод часто бывает на удивление точным.
Следующее наименьшее собственное значение и собственная функция могут быть получены путем минимизации при дополнительном ограничении
Эту процедуру можно расширить, чтобы получить полную последовательность собственных значений и собственных функций для задачи.
Вариационная задача также применима к более общим граничным условиям. Вместо того, чтобы требовать этого исчезают в конечных точках, мы не можем налагать какие-либо условия на конечные точки и устанавливать
где а также произвольны. Если мы установимпервая вариация отношения является
где λ определяется соотношением как раньше. После интеграции по частям,
Если мы сначала потребуем, чтобы исчезают в конечных точках, первая вариация исчезнет для всех таких только если
Если удовлетворяет этому условию, то первая вариация обращается в нуль для произвольного только если
Эти последние условия являются естественными граничными условиями для этой задачи, поскольку они не накладываются на пробные функции для минимизации, а являются следствием минимизации.
Проблемы собственных значений в нескольких измерениях
Задачи на собственные значения в высших измерениях определяются аналогично одномерному случаю. Например, учитывая домен с границей в трех измерениях мы можем определить
а также
Позволять - функция, которая минимизирует частное без каких-либо условий на границе Уравнение Эйлера – Лагранжа, которому удовлетворяет является
где
Сведение к минимуму также должно удовлетворять естественному граничному условию
на границе Этот результат зависит от теории регулярности эллиптических уравнений в частных производных; подробнее см. Jost and Li – Jost (1998). Многие расширения, включая результаты о полноте, асимптотические свойства собственных значений и результаты, касающиеся узлов собственных функций, содержатся в Куранте и Гильберте (1953).
Приложения
Оптика
Принцип Ферма гласит, что свет проходит по пути, который (локально) минимизирует оптическую длину между его конечными точками. Если-координата выбирается в качестве параметра по пути, а вдоль пути, то оптическая длина определяется выражением
где показатель преломления зависит от материала. Если мы попробуемто первая вариация из (производная от относительно ε) является
После интегрирования по частям первого члена в скобках получаем уравнение Эйлера – Лагранжа
Световые лучи могут быть определены интегрированием этого уравнения. Этот формализм используется в контексте лагранжевой оптики и гамильтоновой оптики .
Закон Снеллиуса
Показатель преломления нарушается, когда свет попадает в линзу или выходит из нее. Позволять
где а также являются константами. Тогда уравнение Эйлера – Лагранжа выполняется по-прежнему в области, где или же и фактически путь там является прямой линией, поскольку показатель преломления постоянен. На должен быть непрерывным, но может быть прерывистым. После интегрирования по частям в отдельных областях и с использованием уравнений Эйлера – Лагранжа первая вариация принимает вид
Фактор умножения это синус угла падающего луча с ось, а множитель, умножающий это синус угла преломленного луча с ось. Закон Снеллиуса для преломления требует, чтобы эти члены были равны. Как показывает этот расчет, закон Снеллиуса эквивалентен обращению в нуль первой вариации длины оптического пути.
Принцип Ферма в трех измерениях
Целесообразно использовать векторные обозначения: пусть позволять - параметр, пусть - параметрическое представление кривой и разреши - его касательный вектор. Оптическая длина кривой определяется выражением
Отметим, что этот интеграл инвариантен относительно изменений параметрического представления Уравнения Эйлера – Лагранжа для минимизирующей кривой имеют симметричный вид
где
Из определения следует, что удовлетворяет
Следовательно, интеграл можно также записать как
Эта форма предполагает, что если мы сможем найти функцию чей градиент задается тогда интеграл дается разностью в конечных точках интервала интегрирования. Таким образом, проблема изучения кривых, делающих интеграл стационарным, может быть связана с исследованием поверхностей уровняЧтобы найти такую функцию, обратимся к волновому уравнению, которое определяет распространение света. Этот формализм используется в контексте лагранжевой оптики и гамильтоновой оптики .
Связь с волновым уравнением
Волновое уравнение для неоднородной среды
где - скорость, которая обычно зависит от Волновые фронты для света являются характеристическими поверхностями для этого уравнения в частных производных: они удовлетворяют
Мы можем искать решения в виде
В этом случае, удовлетворяет
где Согласно теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка , если тогда удовлетворяет
вдоль системы кривых ( световых лучей ), которые задаются
Эти уравнения для решения дифференциального уравнения с частными производными первого порядка идентичны уравнениям Эйлера – Лагранжа, если мы сделаем отождествление
Мы заключаем, что функция - значение минимизирующего интеграла как функция от верхней конечной точки. То есть, когда построено семейство минимизирующих кривых, значения оптической длины удовлетворяют характеристическому уравнению, соответствующему волновому уравнению. Следовательно, решение соответствующего уравнения в частных производных первого порядка эквивалентно нахождению семейств решений вариационной задачи. Это основное содержание теории Гамильтона – Якоби , которая применяется к более общим вариационным задачам.
Механика
В классической механике действие, определяется как интеграл от лагранжиана по времени, Лагранжиан - это разность энергий,
где это кинетическая энергия механической системы иего потенциальная энергия . Принцип Гамильтона (или принцип действия) утверждает, что движение консервативной голономной (интегрируемые связи) механической системы таково, что интеграл действия
стационарен по отношению к вариациям пути Уравнения Эйлера – Лагранжа для этой системы известны как уравнения Лагранжа:
и они эквивалентны уравнениям движения Ньютона (для таких систем).
Сопряженные импульсы определены
Например, если
тогда
Гамильтонова механика получается, если вместо сопряженных импульсов вводить преобразованием Лежандра лагранжиана в гамильтониан определяется
Гамильтониан - это полная энергия системы: Аналогия с принципом Ферма предполагает, что решения уравнений Лагранжа (траектории частиц) могут быть описаны в терминах поверхностей уровня некоторой функции Эта функция является решением уравнения Гамильтона – Якоби :
Дальнейшие приложения
Дальнейшие применения вариационного исчисления включают следующее:
- Возникновение цепной формы
- Решение проблемы минимального сопротивления Ньютона
- Решение проблемы брахистохрона
- Решение изопериметрических задач
- Расчет геодезических
- Нахождение минимальных поверхностей и решение проблемы Плато
- Оптимальный контроль
Вариации и достаточное условие минимума
Вариационное исчисление связано с вариациями функционалов, которые представляют собой небольшие изменения значения функционала из-за небольших изменений функции, являющейся его аргументом. Первый вариант [л] определяются как линейная часть изменения функционала, а вторая вариация [м] определяются как квадратичная часть. [22]
Например, если - функционал с функцией в качестве аргумента, и есть небольшое изменение в его аргументе от к где функция в том же функциональном пространстве, что и то соответствующее изменение функционала равно
- [n]
Функционал называется дифференцируемой, если
где - линейный функционал, [o] это норма [p] и в виде Линейный функционал это первая вариация и обозначается, [26]
Функционал называется дважды дифференцируемым, если
где - линейный функционал (первая вариация), - квадратичный функционал, [q] и в виде Квадратичный функционал это вторая вариация и обозначается, [28]
Вторая вариация называется сильно положительным, если
для всех и для некоторой постоянной . [29]
Используя приведенные выше определения, особенно определения первой вариации, второй вариации и строго положительного, можно сформулировать следующее достаточное условие минимума функционала.
- Функционал имеет минимум на если его первая вариация в и его вторая вариация сильно положителен при [30] [r] [s]
Смотрите также
- Первая вариация
- Изопериметрическое неравенство
- Вариационный принцип
- Вариационный бикомплекс
- Принцип Ферма
- Принцип наименьшего действия
- Бесконечномерная оптимизация
- Функциональный анализ
- Вариационный принцип Экланда
- Обратная задача для лагранжевой механики.
- Проблема с препятствием
- Методы возмущений
- Молодая мера
- Оптимальный контроль
- Прямой метод вариационного исчисления
- Теорема Нётер
- Теория де Дондера – Вейля
- Вариационные байесовские методы
- Проблема Чаплыгина
- Коллектор Нехари
- Принцип Ху – Васидзу
- Вариационный принцип Люка
- Теорема о горном перевале
- Категория: Вариационные аналитики
- Меры центральной тенденции как решения вариационных задач
- Медаль Stampacchia
- Приз Ферма
- Удобное векторное пространство
Заметки
- ^ В то время как элементарное исчисление касается бесконечно малых изменений значений функций без изменений самой функции, вариационное исчисление касается бесконечно малых изменений самой функции, которые называются вариациями. [1]
- ^ См. Гарольд Дж. Кушнер (2004) : относительно динамического программирования: «Вариационное исчисление имело связанные идеи (например, работа Каратеодори, уравнение Гамильтона-Якоби). Это привело к конфликтам с сообществом вариационного исчисления».
- ^ Окрестности часть данного функционального пространства, где во всей области функций, причем положительное число, определяющее размер района. [10]
- ^ Обратите внимание на разницу между терминами экстремум и экстремум. Экстремаль - это функция, превращающая функционал в экстремум.
- ^ Достаточное условие см. В разделе Вариации и достаточное условие минимума .
- ^ Следующий вывод уравнения Эйлера – Лагранжа соответствует выводу Куранта и Гильберта (1953) на стр. 184–185. [14]
- ^ Обратите внимание, что а также оцениваются при тех же значениях что в более общем случае неверно в вариационном исчислении с неголономными ограничениями.
- ^ Продукт называется первой вариацией функционала и обозначается В некоторых источниках первая вариация определяется по- другому, опуская фактор.
- ^ Обратите внимание, что предположение, что y является функцией x, теряет общность; в идеале оба должны быть функцией какого-то другого параметра. Такой подход хорош исключительно в поучительных целях.
- ^ Как историческое примечание, это аксиома Архимеда . См., Например, Келланд (1843). [15]
- ^ Получившееся противоречие по поводу законности принципа Дирихле объясняет Тернбулл. [21]
- ^ Первая вариация также называется вариацией, дифференциалом или первым дифференциалом.
- ^ Второй вариант также называется вторым дифференциалом.
- ^ Обратите внимание, что и приведенные ниже варианты зависят от обоих а также Аргумент был опущен для упрощения обозначений. Например, мог быть написан [23]
- ^ Функционалназывается линейным, если а также где функции и это действительное число. [24]
- ^ Для функции что определено для где а также являются действительными числами, норма - его максимальное абсолютное значение, т. е. [25]
- ^ Функционал называется квадратичным, если это билинейный функционал с двумя равными функциями аргумента. Билинейный функционал является функциональнымчто зависит от двух функций аргумента и является линейнымкогда каждая функция аргумента в свою очередьзакреплена другой аргумент функции является переменной. [27]
- ^ По поводу других достаточных условий см. У Гельфанда и Фомина 2000 ,
- Глава 5: «Вторая вариация. Достаточные условия слабого экстремума» - Достаточные условия слабого минимума даются теоремой на с. 116.
- Глава 6: «Поля. Достаточные условия сильного экстремума» - Достаточные условия сильного минимума даются теоремой на с. 148.
- ^ Можно отметить сходство с достаточным условием минимума функции, где первая производная равна нулю, а вторая производная положительна.
Рекомендации
- ^ a b Курант и Гильберт 1953 , стр. 184
- ^ Гельфанд, IM ; Фомин, С.В. (2000). Сильверман, Ричард А. (ред.). Вариационное исчисление (Без сокращений). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 3. ISBN 978-0486414485.
- ^ а б Тиле, Рюдигер (2007). «Эйлер и вариационное исчисление» . В Брэдли, Роберт Э .; Сандифер, К. Эдвард (ред.). Леонард Эйлер: жизнь, работа и наследие . Эльзевир. п. 249. ISBN 9780080471297.
- ^ Голдстайн, Герман Х. (2012). История вариационного исчисления с 17 по 19 век . Springer Science & Business Media. п. 110. ISBN 9781461381068.
- ^ а б в ван Брант, Брюс (2004). Вариационное исчисление . Springer. ISBN 978-0-387-40247-5.
- ^ а б Фергюсон, Джеймс (2004). «Краткий обзор истории вариационного исчисления и его приложений». arXiv : math / 0402357 .
- ^ Дмитрий Бертсекас . Динамическое программирование и оптимальное управление. Афина Сайентифик, 2005.
- ^ Беллман, Ричард Э. (1954). «Динамическое программирование и новый формализм в вариационном исчислении» . Proc. Natl. Акад. Sci . 40 (4): 231–235. Полномочный код : 1954PNAS ... 40..231B . DOI : 10.1073 / pnas.40.4.231 . PMC 527981 . PMID 16589462 .
- ^ «Премия Ричарда Беллмана за культурное наследие» . Американский совет по автоматическому контролю . 2004 . Проверено 28 июля 2013 .
- ^ Courant, R ; Гильберт, Д. (1953). Методы математической физики . I (Первое англ. Ред.). Нью-Йорк: Interscience Publishers, Inc., стр. 169. ISBN. 978-0471504474.
- ↑ Гельфанд и Фомин, 2000 , стр. 12–13.
- ^ Гельфанд и Фомин 2000 , стр. 13
- ↑ Гельфанд и Фомин, 2000 , стр. 14–15.
- ^ Courant, R .; Гильберт, Д. (1953). Методы математической физики . I (Первое англ. Ред.). Нью-Йорк: ISBN Interscience Publishers, Inc. 978-0471504474.
- ^ Келланд, Филипп (1843). Лекции по принципам показательной математики . п. 58 - через Google Книги.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Дифференциальное уравнение Эйлера – Лагранжа" . mathworld.wolfram.com . Вольфрам. Уравнение (5).
- ^ Кот, Марк (2014). «Глава 4: Основные обобщения». Первый курс вариационного исчисления . Американское математическое общество. ISBN 978-1-4704-1495-5.
- ^ Маниа, Бернар (1934). "Sopra un esempio di Lavrentieff". Bollenttino dell'Unione Matematica Italiana . 13 : 147–153.
- ^ Болл и Мизель (1985). «Одномерные вариационные задачи, минимизаторы которых не удовлетворяют уравнению Эйлера-Лагранжа». Архив рациональной механики и анализа . 90 (4): 325–388. Bibcode : 1985ArRMA..90..325B . DOI : 10.1007 / BF00276295 . S2CID 55005550 .
- ^ Ферриеро, Алессандро (2007). «Свойство слабого отталкивания». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 88 (4): 378–388. DOI : 10.1016 / j.matpur.2007.06.002 .
- ^ Тернбулл. "Биография Римана" . Великобритания: У. Сент-Эндрю.
- ↑ Гельфанд и Фомин, 2000 , стр. 11–12, 99.
- ^ Гельфанд и Фомин 2000 , стр. 12, сноска 6
- ^ Гельфанд и Фомин 2000 , стр. 8
- ^ Гельфанд и Фомин 2000 , стр. 6
- ↑ Гельфанд и Фомин, 2000 , стр. 11–12.
- ↑ Гельфанд и Фомин, 2000 , стр. 97–98.
- ^ Гельфанд и Фомин 2000 , стр. 99
- ^ Гельфанд и Фомин 2000 , стр. 100
- ^ Гельфанд и Фомин 2000 , стр. 100, теорема 2
дальнейшее чтение
- Бенесова, Б., Крузик, М .: "Слабая полунепрерывность снизу интегральных функционалов и приложений" . SIAM Review 59 (4) (2017), 703–766.
- Больца, О .: Лекции по вариационному исчислению . Chelsea Publishing Company, 1904 г., имеется в библиотеке цифровой математики. 2-е издание переиздано в 1961 г., в мягкой обложке в 2005 г., ISBN 978-1-4181-8201-4 .
- Кассель, Кевин В.: Вариационные методы с приложениями в науке и технике , Cambridge University Press, 2013.
- Клегг, Дж. К.: Расчет вариаций , Interscience Publishers Inc., 1968.
- Курант Р .: Принцип Дирихле, конформное отображение и минимальные поверхности . Interscience, 1950.
- Дакорогна, Бернар : « Введение », Введение в вариационное исчисление , 3-е издание. 2014, Мировое научное издательство, ISBN 978-1-78326-551-0 .
- Эльсголк, Л.Е .: Расчет вариаций , Pergamon Press Ltd., 1962.
- Форсайт, АР: Вариационное исчисление , Довер, 1960.
- Фокс, Чарльз: Введение в вариационное исчисление , Dover Publ., 1987.
- Джакинта, Мариано; Хильдебрандт, Стефан: Вариационное исчисление I и II, Springer-Verlag, ISBN 978-3-662-03278-7 и ISBN 978-3-662-06201-2
- Йост, Дж. И X. Ли-Йост: вариационное исчисление . Издательство Кембриджского университета, 1998.
- Лебедев, Л. П. и Клауд, М. Дж.: Вариационное исчисление и функциональный анализ с оптимальным управлением и приложениями в механике , World Scientific, 2003, страницы 1–98.
- Логан, Дж. Дэвид: Прикладная математика , 3-е издание. Wiley-Interscience, 2006 г.
- Пайк, Ральф В. "Глава 8: Вариационное исчисление" . Оптимизация инженерных систем . Государственный университет Луизианы . Архивировано из оригинала на 2007-07-05.
- Рубичек, Т .: « Вариационное исчисление ». Глава 17 в: Математические инструменты для физиков . (Ред. М. Гринфельд) J. Wiley, Weinheim, 2014 г., ISBN 978-3-527-41188-7 , стр. 551–588.
- Саган, Ганс: Введение в вариационное исчисление , Довер, 1992.
- Вайншток, Роберт: Вариационное исчисление с приложениями к физике и технике , Довер, 1974 г. (перепечатка изд. 1952 г.).
Внешние ссылки
- Вариационное исчисление . Энциклопедия математики .
- вариационное исчисление . PlanetMath .
- Вариационное исчисление . MathWorld .
- Вариационное исчисление . Примеры проблем.
- Математика - вариационное исчисление и интегральные уравнения . Лекции на YouTube .
- Избранные статьи по геодезическим полям. Часть I , Часть II .